7969x

7969. Два маленьких тела с равными зарядами q =
10-7 Кл расположены на внутренней поверхности
гладкой непроводящей сферы радиусом R = 1 м.
Первое тело закреплено в нижней точке сферы, а
второе может свободно скользить по ее поверхности.
Найти массу второго тела, если известно, что в
состоянии равновесия оно находится на высоте h =
0,1 м от нижней точки поверхности сферы.
Ускорение свободного падения g = 10 м/c2, электрическая постоянная ε0 = 8,85∙10-12
Ф/м.
Дано: q = 10-7 Кл; R = 1 м; h = 0,1 м; g = 10 м/c2; ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м.
Найти: q=?
Решение. Будем использовать неподвижную относительно земли систему отсчета,
которую можно считать инерциальной. Заряженное тело, способное свободно
скользить по гладкой сферической поверхности, займет положение равновесия, когда
сумма действующих на него сил окажется равной нулю. Эти силы показаны на
рисунке, где m∙g - сила тяжести, N -сила реакции поверхности, a FK - сила
кулоновского отталкивания зарядов. Условие равновесия заряженного тела удобно
записать в проекции на касательную к сфере, проведенную в плоскости рисунка
(линию ОО'). С учетом известной из геометрии теоремы об угле, образованном
касательной и хордой, имеем:
𝛼
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼 = 𝐹𝐾 ∙ cos ;
2
𝛼
2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin = 𝐹𝐾 .
2
В соответствии с законом Кулона
𝑞2
𝐹𝐾 =
,
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜀0 ∙ 𝑥 2
причем расстояние между заряженными телами x, как видно из рисунка, равно:
𝛼
𝑥 = 2 ∙ 𝑅 ∙ sin .
2
Отсюда
sin
𝛼
ℎ
=√
.
2
2∙𝑅
Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
3
3
𝑞2
2∙𝑅 2
𝑞2
2∙1 2
𝑚=
∙
,
𝑚
=
∙
(
)
(
) = 0,1 г.
32 ∙ 𝜋 ∙ 𝜀0 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅2
ℎ
32 ∙ 𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12 ∙ 9,8 ∙ 12 0,1
Ответ.
𝟑
𝒒𝟐
𝟐∙𝑹 𝟐
𝒎=
∙
(
) , 𝒎 = 𝟎, 𝟏 г.
𝟑𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝜺𝟎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑹𝟐
𝒉