ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 8: ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА 1. Уравнения Пуассона OXYZ Oxyz неподвижная система координат подвижная система координат (ПСС), жестко связанная с телом G a, b, c центр тяжести n 1, 2 , 3 единичный вектор верт. оси OZ в ПСС Выражение компонент орта n через углы Эйлера 1 sin sin , 2 sin cos , 3 cos dn dn 0 ω n 0 Уравнения Пуассона dt dt d 1 d 2 d 3 r 2 q 3 , p 3 r 1 , q 1 p 2 dt dt dt 2. Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести Ap C B qr M xe Динамические уравнения Bq A C rp M ye Эйлера в общем случае e Cr B A pq M z MO OG Pn M x P 2c 3b M y P 3a 1c M z P 1b 2a Ap C B qr P 2c 3b Bq A C rp P 3a 1c Cr B A pq P 1b 2a Динамические уравнения Эйлера для движения тяжелого твердого тела 3. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 1 r 2 q 3 2 p 3 r 1 Замкнутая система уравнений для нахождения 3 q 1 p 2 Ap C B qr P 2c 3b 1 (t ), 2 (t ), 3 (t ), p(t ), q(t ), r(t ) Bq A C rp P 3a 1c Cr B A pq P 1b 2a После нахождения 1 (t ), 2 (t ), 3 (t ), p(t ), q(t ), r(t ) зависимости (t ), (t ) находятся из условий 1 sin sin , 2 sin cos , 3 cos а оставшийся угол Эйлера (t ) из одного из кинематических уравнений Эйлера p sin sin cos q sin cos sin r cos 4. Первые интегралы системы 1) 12 22 32 1 n 1 2) Теорема об изменении кинетического момента Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ K O n const Ap 1 Bq 2 Cr 3 const 3) Сохранение энергии T const 1 T Ap 2 Bq 2 Cr 2 2 Ph P OG n P a 1 b 2 c 3 2 2 2 Ap Bq Cr 2P a 1 b 2 c 3 const Из общей теории множителя Якоби известно, что для того, чтобы интегрирование исходной системы можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, нужно найти еще один независимый от них интеграл. 5. Известные случаи интегрируемости А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О abc0 дополнительный интеграл KO2 A2 p 2 B 2 q 2 C 2 r 2 const В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения A B, a b 0 r const дополнительный интеграл С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции A B 2C , c 0 дополнительный интеграл p 2 q2 1 2 pq 2 const 2 2 = Pa C 6. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа 12 22 32 1 (2) A p 1 q 2 Cr 3 b 2 2 (3) A p q 2 Pc 3 2e (1) 1 r 2 q 3 2 p 3 r 1 q p A (4) 3 q 1 p 2 Ap C A rq P 2c 2 Aq C A rp P 1c 1 q 1 p 2 r q 2 p 1 3 p 2 q 2 A q 1 p 2 C A r q 2 p 1 Pc 12 22 d A q 1 p 2 Cr q 2 p 1 A 3 p 2 q 2 Pc 12 22 dt 2 b Cr 3 2 ( e Pc ) Pc 1 3 3 A 3 (1) (4) (2) Cr 3 A (3) d 2 d 2 2 3 A2 3 2 3 A2 32 3 3 A 3 3 3 dt dt 7. Качественный анализ движения ТТ в случае Лагранжа A2 32 3 3 t A s1 3 s2 d 3 3 3 1 2 1 1 s1 Z апекс A 3 s 3 cos s2 s s3 Движение апекса А по сфере изображает движение оси Oz , т. е. прецессию и нутацию n ось динамической симметрии Сферическое представление движения тела 8. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия Начальные условия размерности t 0 : , 0, 0 , 0 f , C, c, P, A / C, 0 ML 1 2 ML L 1 1 1 T2 T Аргументами должны являться безразмерные комплексы, а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от единиц измерения cP f 2 , A / C , 0 C Быстро вращающееся тело – большие – малые значения параметра cP 2C 0 c 0 случай Эйлера вращения симметричного тела 0 0 (регулярная прецессия) f , A / C, 0 0 0 A 2 Раскладывая в ряд Тейлора f , A / C , 0 b( A / C , 0 ) O b sin 0 C Когда велика, изменение угла нутации настолько мало, что прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией. точный результат 9. О пользе анализа размерностей Доказательство теоремы Пифагора Треугольник, а, значит, и его площадь, полностью определяется величинами c и размерности c S S f ( c, ) 2 c L 1 1 S c f ( ) 2 S S1 S2 c2 f ( ) b2 f ( ) a 2 f ( ) c 2 b2 a 2 S2 a c S1 b