Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Построение графиков функций, содержащих знак модуля
Т.С.Мельникова, ученик 10 класса
Р. Т. Гурьева, учитель математики
МБОУ «Большеяниковская средняя
общеобразовательная школа» Урмарского
района Чувашской Республики, Россия
Актуальность темы. Понятие модуля является одной из важнейших характеристик
числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах
школьного курса математики, физики. К сожалению, рассмотрение задач, связанных с
понятием модуля (а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих
знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы.
Задачи, связанные с модулями, построением графиков функций, содержащих знак
модуля, часто встречаются на математических олимпиадах и ЕГЭ. Свободное владение
техникой построения таких графиков часто помогает решить многие задачи и порой
является единственным средством их решения.
Цель исследовательской работы: выявить алгоритмы построения графиков функций,
аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
Задачи исследования: расширение познавательного интереса к изучению алгебры,
углубление знаний по теории модуля и решения задач, выходящих за страницы школьных
учебников.
Объект исследования: функции вида у = f |(х)|, у = | f (х)|, у=|f |(х)| |.
Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f |(х)|, у = | f (х)|,
у=|f |(х)| |.
Материал и методы исследования. Изучены линейные, квадратичные функции,
содержащие знак абсолютной величины. Были применены следующие методы
исследования:
1.Анализ изученной литературы, построение графиков функции.
2.Выдвижение гипотезы.
3.Проверка гипотезы.
4.Доказательство.
5.Выводы.
Строили графики, используя определение модуля. На основании построенного, делали
предположение об алгоритме построения графиков функций данного вида. Проверяли
предположение на примерах и, убедившись в том, что алгоритм срабатывает, доказывали
истинность алгоритма.
Результаты исследований.
1. Какова же закономерность графиков функций вида у = f(|х|)?
 Построили график функции у=0,5х² -2|х| -2,5, пользуясь определением модуля
числа.
 Если построить график у=0,5 х² -2х - 2,5 при х≥0 и отобразить его относительно
оси ОУ, мы получим этот же график.
Выдвинута гипотеза: график функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х≥0
симметричным отображением относительно оси ОУ.
Провели доказательство гипотезы.
Вывод: для построения графика функции у = f |(х)| достаточно
1. Построить график функции у = f(х) для х>0.
2. Для х<0 симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ.
Рис. 1
2. Какова же закономерность графиков функций вида у = | f (х)|?
 Построили график функции у = |х² - х -6|, пользуясь определением модуля.
 Построили у = х² - х -6 и нижнюю часть графика отобразили симметрично относительно ОХ.
И в первом, и во втором случаях получились одинаковые графики.
Гипотеза: график функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ≥0
и симметрично отражённой части у = f(х) при у<0 относительно оси.
Провели доказательство гипотезы.
Вывод: Для построения графика функции у=|f(х)|, надо:
1.Построить график функции у=f(х).
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим
кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.
Рис. 2
3. Какова же закономерность графиков функций вида у=|f |(х)||?
 Построили график функции у = |2|х|-3|, применяя определение абсолютной
величины и алгоритм построения графика функции у=|f(х)|.
 Этот же график можно получить, если сначала построить график функции
у = 2х-3 при х>0 и прямую, симметричную построенной прямой относительно оси ОУ.
Потом участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отобразить
симметрично относительно оси ОХ.
В результате пришли к выводу:
Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:
1. Строить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать
относительно ОУ, т.к. данная функция четная.
3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости,
преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.


Рис. 3
Выводы.
Для построения графика функции у = f |(х)|, надо:
1.Построить график функции у = f(х) для х>0;
2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
Для построения графика функции у = | f(х) | , надо:
1.Построить график функции у = f(х);

На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)<0, строить
кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.
Для построения графика функции у = | f |(х)| | , надо:
1. Построить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем
относительно ОУ.
3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости,
преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси ОХ
4. Применение графиков функции с модулем к решению задач.
Некоторые задачи, связанные с модулями, можно решить с помощью графиков.
1.Решите неравенство │х2 -2х-3│>0
Ответ. х€(-∞;-1) (-1;3) (3;∞)
 ó  2x2  6 x  4
2.Сколько решений имеет система уравнений

y  2
Графики функций пересекаются в четырех точках.
Ответ. Система имеет четыре решения.
3. Найти наибольшее целое значение «а», при котором уравнение -2x2 +4│x│+1=а имеет
более двух корней?
Ответ.
Если а=1, то 3 корня.
Если 1<a<3, то 4 корня.
Ответ. Наибольшее значение 2.
Результаты исследования выдали следующей схемой:
у = f |(х)|
у = |f |(х)||
у =| f (х)|
у = f(х), х>0
у = f(х), х>0
Построить часть для х<0,
симметричную относительно оси ОУ
у = f(х)
Построить для х<0 часть
графика, симметричную
построенной относительно
оси ОУ
Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости симметрично отобразить относитель но
оси ОХ