Построение графика функций y = −f(x) 1. Построим график функции 𝑦 = −𝑓(𝑥) с помощью преобразования графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Предполагается, что график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) известен. Точка графика 𝑦 = 𝑓(𝑥) с абсциссой x0 имеет ординату 𝑓(x0 ). Точка графика 𝑦 = −𝑓(𝑥) с той же абсциссой x0 – ординату, равную −𝑓(x0 ) (рис.1). Обе точки, (x0 ; 𝑓(x0 ) и (x0 ; −𝑓(x0 ), лежат на прямой, Рисунок 2 Рисунок 1 перпендикулярной оси абсцисс Ox. абсцисс равно Расстояние от каждой до оси |𝑓(𝑥)|. Это означает, что точки графиков, (x0 ; 𝑓(x0 ) и (x0 ; −𝑓(x0 ), симметричны относительно оси абсцисс. Отсюда вытекает способ построения графика функции y = −f(x) из графика функции y = f(x): 𝒇(𝒙) −𝒇(𝒙) Чтобы получить график функции 𝒚 = −𝒇(𝒙) из графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) необходимо отразить симметрично относительно оси абсцисс Ox график функции 𝒇(𝒙) 2. Область определения функции 𝑦 = −𝑓(𝑥) совпадает с областью определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Примеры преобразования графиков функций, изображенных на рисунках 3 и 4, показывают, что множества значений функций 𝑦 = √𝑥 и 𝑦 = −√𝑥 различаются. Так же как и функций 𝑦 = |𝑥| и 𝑦 = −|𝑥|. В обоих случаях функция 𝐸(𝑓) = [0; ∞), а . 𝐸(−𝑓) = (−∞; 0]. Рисунок 4 Рисунок 3 При симметрии относительно оси абсцисс вместе с графиком функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) симметрично отражается и его проекция на ось Oy, то есть множество значений функции. Поэтому, промежуток 𝐸(−𝑓) симметричен промежутку 𝐸(𝑓) относительно начала координат. В примере, изображенном на рисунке 5, 𝐸(𝑓) = [1; 3], а 𝐸(−𝑓) = [−3; −1]. Рисунок 5 Если область значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) – все действительные числа, то E(−f) = E(f). Примеры приведены на рисунках 6 и 7. Рисунок 6 Рисунок 7 Упражнения 1. Постройте график функции. a) 𝑦 = 2 − |𝑥| c) 𝑦 = − 1 𝑥 b) 𝑦 = 1 − √𝑥 𝑥 2 , если x < 0 d) 𝑦 = − { √𝑥, если x ≥ 0 2. Для каких функций 𝑦 = f(x), заданных на всей числовой оси, выполняется равенство f(x) = −f(x) при всех 𝑥 ∈ ℝ? 3. На рисунке изображен график функции y = f(x). Начертите схематически график функции y = −f(x). 4. Найти область значений функции 𝑦 = −𝑓(𝑥), если известна область значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑬(𝒇) [2; 5] [1; ∞) (−∞; −1] ∪ [1; ∞) (−∞; ∞) (−6; 2) ∪ (2; 3)