Тема «Построение графика функций y=f(x+a)».

Построение графика функций 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
1. Рассмотрим вопрос о построении графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎) (1),
где 𝑎 ∈ ℝ, при условии, что задан график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Каким образом
можно осуществить это построение, выясним на примере функции 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 . По графику функции 𝑦 = 𝑥 3 построим график функции 𝑦 = (𝑥 + 1)3 , то
есть в формуле (1) полагаем 𝑎 = 1.
.При x = 1 функция y = x 3 принимает значение 1, которое функция
𝑦 = (𝑥 + 1)3 принимает при x = 0. При x = 0 функция y = x 3 принимает
значение 0, которое функция 𝑦 = (𝑥 + 1)3 принимает
при x = −1. Мы
видим, что оба раза то же значение, что и y = x 3 , функция 𝑦 = (𝑥 + 1)3
принимает при значении x на единицу меньшем. Это верно и в общем
случае: то значение, которое функция y = x 3 принимает при x = 𝑑, то есть
𝑑 3 , функция 𝑦 = (𝑥 + 1)3 принимает при x = 𝑑 − 1 (рис. 1). Действительно,
подстановка x = 𝑑 − 1 в функцию 𝑦 = (𝑥 + 1)3 дает 𝑦 = (𝑑 − 1 + 1)3 = 𝑑 3 .
Рисунок 1
Рисунок 2
Это означает что, если на графике y = x 3 выбрана точка (𝑑; 𝑑 3 ), то
тогда точка плоскости (𝑑 − 1; 𝑑 3 ) принадлежит графику 𝑦 = (𝑥 + 1)3
(рис. 2) . Ее можно получить сдвигом точки (𝑑; 𝑑 3 ) влево вдоль оси 𝑂𝑥 на
единицу, то есть сдвинув точку (𝑑; 𝑑 3 ), мы получаем точку графика 𝑦 =
(𝑥 + 1)3 . Следует убедиться, что таким способом мы получим все точки этого
графика. Возьмем точку графика функции 𝑦 = (𝑥 + 1)3 с абсциссой с, то есть
точку (с; (с + 1)3 ). Она получается в результате сдвига влево на единицу
точки (с + 1; (с + 1)3 ), которая принадлежит графику функции 𝑦 = 𝑥 3 .
Таким образом, сдвинув каждую точку графика y = x 3 , то есть всю
кривую целиком, влево вдоль оси 𝑂𝑥 на единицу, мы получим график
функции 𝑦 = (𝑥 + 1)3 .
Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что график
функции 𝑦 = (𝑥 − 1)3 получается из графика функции 𝑦 = x 3 сдвигом
последнего на единицу вправо вдоль оси Oy. Мы видим, что направление
сдвига определяется знаком числа 𝑎. Если 𝑎 > 0, сдвиг происходит влево,
если 𝑎 < 0 – вправо.
2.
Рассуждения предыдущего пункта можно применить при
построении
графика
функции
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
на
основе
графика
произвольной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Покажем, что если взять точку (х0 ; 𝑓(𝑥0 )),
принадлежащую
Рисунок 3
графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), то тогда точка (х0 − 𝑎; 𝑓(х0)) будет
принадлежать графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎). Последнее выполняется в
случае, если при 𝑥 = х0 − 𝑎 значение функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎) равно 𝑓(х0 ). А
это следует из равенства 𝑓((х0 − 𝑎 ) + 𝑎) = 𝑓(х0 − 𝑎 + 𝑎) = 𝑓(х0 ). Верно
и обратное утверждение. Отметим, что число х0 − 𝑎 меньше числа х0 , в
случае 𝑎 > 0. Если же 𝑎 < 0, то х0 − 𝑎 больше чем х0 , например, при 𝑎 =
−3 получаем х0 < х0 + 3. Это означает, что точка с абсциссой х0 − 𝑎 лежит
левее, чем точка с абсциссой х0 , если 𝑎 > 0, и правее ее, если 𝑎 < 0. В
последнем случае удобно записать х0 − 𝑎 в виде х0 + |𝑎|.
Таким образом, мы можем сформулировать следующий способ построения
графика функции y = f(x + 𝑎) из графика функции y = f(x):
𝒇(𝒙)
𝒇(𝒙 + 𝒂)
График функции 𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒂) получается
сдвигом графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) оси
вдоль ординат Ox на |𝒂| единиц.
Направление сдвига зависит от знака числа 𝐚:

график сдвигается влево, если 𝐚 > 𝟎

график сдвигается вправо, если 𝐚 < 𝟎
3. Поскольку множество значений функции является проекцией графика
на ось ординат, то сдвиг вдоль этой оси графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) не
изменяет саму проекцию (рис.4). Это означает, что 𝐸(𝑓 + 𝑎) = 𝐸(𝑓).
Рисунок 4
Однако, области определения функций в общем случае не совпадают.
Область определения функции
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎) получается в результате
сдвига области определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) по оси 𝑂𝑦 на то же число
единиц, на которое сдвигается и сам график (рис.4). Поэтому, для
функции, изображенной на рисунке 4, 𝐷(𝑓) представляет собой отрезок
[7; 12], а 𝐷(𝑓 + 6) – отрезок[1; 6], поскольку 𝑎 = 6. Если 𝐷(𝑓) = 𝑅, то
очевидно, что и 𝐷(𝑓 + 𝑎) = 𝑅.
4. На рисунках 5 и 6 приведены примеры построения графиков функций
𝑦 = |𝑥 + 2| и 𝑦 = √𝑥 − 3, соответственно.
Рисунок 6
Рисунок 5
Пример. Построить график функции 𝑦 = √4𝑥 + 10.
Решение. Поскольку √4𝑥 + 10 = √4(𝑥 + 2,5) = 2√𝑥 + 2,5, то запишем
формулу функции в виде 𝑦 = 2√𝑥 + 2,5.
Построим сначала график функции 𝑦 = √𝑥 + 2,5, сдвинув влево на 2,5
единицы вдоль оси 𝑂𝑥 график функции 𝑦 = √𝑥. Затем растянем график
функции 𝑦 = √𝑥 + 2,5 в 2 раза вдоль оси 𝑂у. В итоге получим график
функции 𝑦 = 2√𝑥 + 2,5 (рис.5). Последовательность построения графиков
удобно записать в следующем виде: 𝑦 = √𝑥 ⟹ 𝑦 = √𝑥 + 2,5
2√𝑥 + 2,5 .
Рисунок 5
⟹ 𝑦=
Упражнения
1. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана графиком. Построите график функции
𝑎) 𝑓(𝑥 − 1)
𝑏) 𝑓(𝑥 + 2)
𝑐) − 𝑓(𝑥 − 1)
𝑑) 0,5𝑓(𝑥 + 2)
2. Постройте эскиз графика функции y = g(x)
𝒈(𝒙)
𝒈(𝒙)
𝒈(𝒙)
|𝑥 + 2|
(𝑥 − 1)3
√𝑥 + 1
(−𝑥 + 3)2
(𝑥 − 3)2
(𝑥 + 2)2
|1 − 𝑥|
1
𝑥+1
1
𝑥−1
√9𝑥 + 27
|2𝑥 − 1|
(0,5𝑥 + 2)2
3. Найти область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎), если известна
область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑫(𝒇)
𝒂
(0; 2)
6
(−∞; 1]
-1
(−∞; −2) ∪ (2; ∞)
2
(−∞; ∞)
-4
(−6; 0) ∪ (0; 3)
-3