. Построение графиков функций, содержащих модуль Пример 1. – 8|x| + 12.

. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x),
поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy.
Строим график функции y = x2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график
относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y
= x2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а
часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно
оси
Ox
(рис.
2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию
преобразований:
y = x2 – 8x + 12 → y = x2 – 8|x| + 12 → y = |x2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
Функция
Преобразование
f(|x|)
1) Для x ≥ 0, y = f(x)
|f(x)|
2) Для x < 0 – преобразование симметрии относительно Oy графика y = f(x),
для x ≥ 0 симметричные части графика из правой полуплоскости в левую
1) Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x)
2) Для f(x) < 0, |f(x)| = -f(x)
|f(|x|)|
Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в
верхнюю относительно Ox
f(x) → f(|x|) → |f(|x|)|.
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так
же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|.
Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит
«вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж
(рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y
= |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не
являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x2 – 4)/√(x + 2)2.
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим
другое
аналитическое
задание
функции
(рис.
5).
y = (x2 – 4)/√(x + 2)2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого
случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков
подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм
модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных
выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и
2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы
приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b является ломаная
с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать
все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной
контрольной точке на левом и правом бесконечных
звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3).
Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Построить график функции:
1. Строим график функции
.
2. График нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси ОХ и
получаем график функции
3. График функции
.
отображаем вниз симметрично относительно оси ОХ и получаем
график функции
4.
.
Опускаем график функции
на 2 единицы вниз и получаем график
.
5. Отображаем график функции
график
.
относительно оси ОХ и получаем
6. В итоге график функции выглядит следующим образом