Методическая разработка учителя математики МОУ «СОШ № 14» г. Чебоксары Пузариной В.С. по теме «Преобразование графиков функций» Введение 1. Преобразование графиков функций 1.1. Построение графика функции y=f(x)+n 1.2. Построение графика функции y=f(x-m) 1.3. Построение графика функции y=af(x) 1.4. Построение графика функции y=f(kx) 1.5. Упражнения Построение графика функции y= -f(x) Построение графика функции y=f(-x) 1.6. Построение графика функции y=|f(x)| 1.7. Построение графика функции y=f(|x|) 1.8. Упражнения 2. Решение уравнений с помощью графиков Контрольная работа Литература 1 Введение. Разработка посвящена основным приёмам построения графиков на примерах простейших функций. Она предназначена для учащихся 8 класса. Основной учебник, по которому они занимаются, «Алгебра»- учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Главная задача: выполнять построения с помощью преобразования «опорных» графиков. В 8 классе учащиеся ещё не знакомы с понятиями «вектор», «параллельный перенос», «чётная, нечётная функция», поэтому материал излагается в упрощённом виде. Чем раньше учащиеся начнут применять основные приёмы преобразования, тем легче им будет в старших классах, когда надо будет решать уравнения и неравенства с модулями, параметрами, где графический способ упрощает решение. Учащиеся 8 класса знакомы с графиками функций вида у = кх, у = кх + в, у = √х, у = к/х , у = ах2+вх+с, знают на что влияют числовые коэффициенты и свободные члены. Настало время обратить их внимание на общие закономерности, связанные с преобразованием графиков функций любого вида, независимо оттого встречались они с ними или нет. Таким образом, они должны научиться выполнять преобразования с произвольным графиком функции, даже если неизвестна формула, с помощью которой задана функция. Учащиеся знают, что уравнение квадратичной функции у=ах2+вх+с можно представить в виде у=а(х-m)2+n, где (m;n)-координаты вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции. Им известно, что парабола вида у=ах 2+n получается сдвигом параболы у=ах2 вдоль оси Оу на n единиц вверх при n>0 и вниз при n<0. Поэтому преобразование y=f(x)+n просто надо применять к графику любой другой функции. Аналогичная ситуация связана с преобразованием y=f(x-m). А преобразование y=f(x-m)+n – это комбинация двух предыдущих. Более подробно будут рассматриваться преобразования: y= -f(x), y=f(-x), y=af(x), y=f(kx), y=|f(x)|, y=f(|x|) и их комбинации. 2 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 1.1.Построение графика функции y=f(x)+n Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x). График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз). На рис.1 изображены графики функций y x , y x +3, y x -2. На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10 Рис.1 1.2. Рис.2 Построение графика функции y=f(x-m). Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax2 вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции. На рис.3 графики функций: y x , y x 4 , y x 3 . На рис.4 : у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3. График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. 1.3. Построение графика функции y=af(x). Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной 3 функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие. На рис.5 изображены графики функций: y x , y 2 x , y На рис.6 : y=f(x), y 1 x. 3 1 f(x), y=2f(x). 3 . Рис.3 . Рис.4 Рис.5 Рис.6 4 График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие). 1.4.Построение графика функции y=f(kx). В одной и той же системе координат построим графики функций: 1) y 4 4 4 , 2) y , 3) y (рис.7) 1 x 1 2x 1 x 1 3 Рис.7 Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох. Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1. 1 В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) у f ( x) . 3 . 5 1.5. Упражнения. 1. Используя график функции у=х2, построить графики функций: a. у =х2-1 b. у =(х+1)2 c. у =(х-3)2+2 d. у = х2+4х 2. Используя график функции y x , постройте график функции: a. y x 1 b. y x -2 y x 3 +1 c. 3 Используя график функции y a. 1 , постройте график функции: x y b. y 3 x3 4 1 x2 y x2 x 1 d. y x 1 x2 y 2x 1 x2 c. e. 1.6. Построение графика функции y = -f(x). Значения у для функций y=f(x) и y= -f(x) противоположны, значит, графики этих функций симметричны относительны оси Ох. На рис.8 изображены графики : у = х2 и у = -х2, На рис.9: y=f(x) и y= -f(x). 6 Итак, чтобы построить график функции y = - f(x), надо график функции y=f(x) симметрично отобразить относительно оси Ох. Рис.8 Рис.9 1.7. Построение графика функции y=f(-x). На рис.10 изображены графики функций: y x и y x , а на рис.11 – графики функций y ( x 1) 2 и y = (-х-1)2, графики этих функций симметричны относительно оси Оу. Для того, чтобы построить график функции y=f(-x), надо график функции y = f(x) симметрично отобразить относительно Оу. Рис.10 Рис.11 7 1.8. Построение графика функции y = |f(x)|. f ( x), f ( x) 0, |f(x)|= поэтому значения у<0 функции y=f(x) поменяют знак, графически f ( x), f ( x) 0 это означает, что эта часть графика симметрично отобразится относительно оси Ох. Чтобы из графика y=f(x) получить график y=|f(x)|, надо участки графика y=f(x), лежащие выше оси Ох, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси Ох, симметрично отобразить относительно этой оси. На рис.12 показаны графики y=2(x-3)2-5 и y=|2(x-3)2-5| Рис.12 1.9. Построение графика функции y=f(|x|). |х| = |-х|, то есть модули противоположных чисел равны, а это означает ,что противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, графически это выражается симметрией графика относительно осиОу. Чтобы построить график функции y=f(|x|), надо оставить часть графика y=f(x), построенную при х≥0, и симметрично отобразить относительно оси ординат. 8 Это можно увидать на рис.13. Рис.13 1.10. Упражнения 1. Используя график функции у=х2, постройте график функции: 1) y=4-x2 2) y=-(x-2)2 3) -3-(x+2)2 4) Y=2x-x2 5) y=|x2-1| 6) y=(|x|-1)2 7) y=|(x-1)2-4| 8) y=x2-2|x| 2. Используя график линейной функции, постройте график функции: 1) y=|x| 2) y=|x-1| 3) y=|x|-1 4) y=|x-1|-2 5) y=1-|x| 6) u=||x-2|-3| 7) |||x|-1|-2| 9 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ. Пусть нам надо решить уравнение 2 x 1 =|x+1|. Аналитический способ решения может вызвать затруднения. Поэтому решим его графически, абсциссы точек пересечения графиков дадут решение. Видим, что графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два решения: х=0, х=8. Упражнения. Решить графически уравнения: 1) –x2= x x2 2 x 1 3) ( x 1)2 1 x 1 2) 4) |x2-1|=x+1 5) (x-3)2=4-|x-5| 6) 3 x 1 3 x2 7) |1-|x||= x 1 8) x 1 1 x 9) |3-|x2-1||=x+2 10 Контрольная работа. 1. Пусть дана функция f(x)=x2+2x, постройте графики функций: 1) y=f(x)+1 2) y=|f(x)-1| 3) y=f(x+1) 4) y 1 f ( x) 2 5) y=f(-x) 6) y= -f(x) 7) y=|f(x)| 8) y=1-f(x) 9) y=|f(x)|-1 10) y=2f(x-1) 11) y=f(|x|) 12) y=|f(|x|)| 2 Решить графически уравнение: (x-1)2= 1 x 1 (ответ: х=0, х=2) Литература 1.И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, Э.Э.Шноль. Брошюра «Функции и графики». «Наука», Москва, 1973г. 2 Журнал «Квантор», №4, Львов, 1993г. 3.М.И.Башмаков «Математика» - учебник для ПТУ, «Высшая школа», Москва, 1994г. 4.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. «Алгебра и начала анализа» - учебник для 10-11 классов общеобразовательных школ. «Просвещение», Москва. 5. Мочалов В.В. Лекции для учителей математики на курсах повышения квалификации Чувашской Республики. Чебоксары, 2009г. 11 12