Основы теории графов.

Настоящая программа предназначена для подготовки к вступительным
испытаниям в аспирантуру по направлению 02.06.01 «Компьютерные и
информационные науки» (профиль 01.01.07 Вычислительная математика).
Программа подготовлена в соответствии с федеральными
государственными образовательными стандартами высшего образования
(уровень магистра (специалиста)).
Программа включает содержание профилирующих
учебных
дисциплин, входящих в Основную образовательную программу высшего
профессионального образования, по которой осуществляется подготовка
студентов,
в
соответствии
с
требованиями
государственного
образовательного стандарта.
Поступающий в аспирантуру должен продемонстрировать высокий
уровень практического и теоретического владения материалом вузовского
курса.
Объяснительным предметом обсуждения на экзамене являются
реферат или представленные соискателем публикации.
Вступительный экзамен в аспирантуру по профилю направления
предполагает ответ на два вопроса билета.
01.01.07
Вычислительная математика
Перечень вопросов
Погрешности вычислений
Методы решения линейных уравнений и систем.
Методы решения нелинейных уравнений и систем.
Вычисление значений функций
Численное интегрирование
Численное дифференцирование
Решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений. Решение задачи Коши.
8.
Решение краевых задач для уравнений второго
порядка.
Разностные схемы.
1.
Основные понятия теории разностных схем
2.
Линейное уравнение с частными производными
первого порядка
3.
Смешанная
задача
для
уравнения
теплопроводности
4.
Волновое уравнение
5.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
Основы теории графов.
1.
Понятие графа. Ориентированный граф,
степень вершины. Изоморфизм графов. Свойства
матрицы смежности. Реберный граф. Двудольный
граф. Операции над графами
2.
Маршруты, цепи, циклы. Мосты. Разделяющие
множества в графе. Компоненты связности в графе
Теоремы о связи числа вершин, ребер и числа
компонент связности.
3.
Неравенство треугольника. Эксцентриситет
вершины.
Диаметр,
радиус,
центр
графа.
Периферийность вершины
4.
Понятие гамильтоновости графа. Примеры
задач, сводящихся к нахождению гамильтонвых
циклов в графе: рассаживание гостей за круглым
столом, задача Эйлера о коне, задача коммивояжера.
Теорема Оре.
5.
Понятие эйлерова графа. Теорема Эйлера.
Задача о кенигсбергских мостах. Алгоритм Флери
построения эйлерова цикла
6.
Ациклические графы. Дерево, лес. Теоремы о
деревьях и лесах.
Алгоритмы в теории графов.
1. Сети. Потоки в сетях. Максимальный поток.
2.
Поиск кратчайших путей.
3.
Алгоритмы построения остовов минимального
веса: алгоритмы Краскала и Примы.
4.
Венгерский алгоритм поиска наибольшего
паросочетания минимального веса во взвешенном
двудольном графе
5.
Задача коммивояжера, ее решение методом ветвей и
границ.
6.
Понятие сетевого графика. Вершина графа как
событие. Ранние сроки наступления событий, начала и
окончания работ. Критическое время, время завершения
всех работ. Поздние сроки наступления событий,
окончания и начала работ. Полный и свободный резервы
времени при выполнении работ.
Основы теории массового обслуживания.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Литература
М.Л.Краснов, А.И.Киселев,
Г.М.Макаренко, Е.В.Шикин,
В.И.Заляпин, А.Ю.Эвнин Вся высшая
математика. Учебник,т.6 Изд. 2-е
испр. – М.: Едиториал. УРСС, 2003,
256с. ISBN 5-354-00386-5.
2. Косарев В.И. 12 лекций по
вычислительной математике (вводный
курс): Учебное пособие: Для вузов.
Изд. 2-ое, испр. и доп. – М. : Изд-во
МФТИ, 2000 – 224с. ISBN 5-89155053-9/
3. Пирумов У.Г. Численные методы.
Учебное пособие. – М. : Изд-во МАИ,
1998. – 188с.: ил. ISBN 5-7035-2190-4
4. Мудров А.Е. Численные методы для
ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и
Паскаль. – Томск; “РАСКО”, 1991. –
272с. : ил. ISBN 5-256-00602-9
5. Волков Е.А. Численные методы.
Учебное пособие для вузов – 2-е мзд.
Испр. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит.. 1987. – 248с
6. М.Л.Краснов, А.И.Киселев,
Г.М.Макаренко, Е.В.Шикин,
В.И.Заляпин, А.Ю.Эвнин Вся высшая
математика 7. Учебник,т.7 –М.;
КомКнига.2006-208с.
7. Осипова В.А. Основы дискретной
математики: Учебное пособие. – М. :
ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006 – 100с.: ил.
(Высшее образование.) ISBN 5-91134016-X (ФОРУМ)
ISBN 5-16-002622-3 (ИНФРА-М)
8. Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н.
Конспект лекций по дискретной
математике. –
М: Айрис-пресс, 2007. – 176с. – (Высшая
образование). ISBN 978-5-8112-2599-6
9. В.А.Емеличев, О.И.Мельников,
В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. Лекции
по теории
графов-М.:Наука, 1990г
10. В.П.Чернов, В.Б.Ивановский. Теория
массового обслуживанияч . Том 6 ,
Учебное
пособие , Математика для экономистов.
Москва ИНФРА-М. 2000г.
11. Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин,
М.Н.Фридман. Исследование операций в
экономике. Учебное пособие для вузов/
Под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407с
12 С.В. Поршнев MATLAB 7. Основы
работы и программирования.
Учебник. М.: Бином. Лаборатория
знаний, 2006,-320 стр. ISBN: 5-95180137-0.
13 Е.Р. Алексеев , О.В. Чеснокова
1.
Пуассоновские потоки требований
Простейшие потоки различных типов
Цепи Маркова. Вероятности переходов и
состояний. Классификация состояний, Эргодическая
теорема. Марковские процессы гибели и рождения.,
вероятности состояний для процессов гибели и
рождения.
4.
СМО с ожиданием, вероятности состояний,
характеристики функционирования СМО с
ожиданием. СМО с отказами. СМО с ограниченным
накопителем. Замкнутые СМО. Многофазные СМО.
Стохастические сети.
Математические исследования на компьютере.
1.
Работа с Maple и интерфейс, основные
объекты, стандартные математические функции,
точные и приближенные вычисления.
2.
Аналитические преобразования в Maple
3.
Математический анализ в Maple
4.
Решение уравнений в Maple
5.
Алгебра в Maple
6.
Графика Maple
7.
Работа в MatLab
8.
Элементы языка MatLab
9.
Матричные вычисления
10.
Графика MatLab
11.
Работа с полиномами, решение уравнений и
минимизация. Численное интегрирование и
дифференцирование. Интерполяция и приближение
функций. Решение краевых задач.
Теория функций комплексного переменного.
1.
Действия с комплексными числами
2.
Функции
комплексного
переменного.
Производная функции
3.
Конформные отображения
4.
Интегрирование
функций
комплексного
переменного.
5.
Разложение функций в ряд Лорана.
6.
Вычисление вычетов функций в особых
точках. Применение вычетов при вычислении
интегралов.
7.
Введение в операционное исчисление. Поиск
изображений
8.
Поиск оригиналов по изображению
9.
Решение дифференциальных уравнений при
помощи операционного исчисления.
1.
2.
3.
14
15
16
17
18
MATLAB 7. Самоучитель. М.: НТ
Пресс, 2006. ISBN: 5-477-00283-2.
А. Матросов. Maple 6. Решение задач
высшей математики и механики.
СПб.: БХВ-Петербург, 2001.
Дьяконов В. П. Maple 9 в математике,
физике и образовании. М.: СОЛОНПресс, 2004.
М.Л.Краснов, А.И.Киселев,
Г.М.Макаренко, Е.В.Шикин,
В.И.Заляпин, А.Ю.Эвнин Вся высшая
математика. Учебник,т.4 Изд. 2-е
испр. – М.: Едиториал. УРСС, 2005,
352с. ISBN 5-354-01051-9.
В.В.Пак, Ю.Л.Носенко. Высшая
математика. Учебник. – Д.: Сталкер,
1997г. – 560с. ISBN 956-7104-21-4
Б.В.Шабат. Веление в комплексный
анализ, ч.1 , изд.2-е- Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит.. 1976