Иванов-Шиц Алексей Кириллович Профессор МГИМО МИД РФ Введем переменную «у» — уровень (объем) знаний (сразу отметим, что в какой-то степени это является и квалификационной характеристикой человека). Процесс обучения — это изменение уровня знаний со временем, т.е. с точки зрения математики, необходимо рассматривать производную по времени: dy I0 dt (1) где I0 — постоянный поток знаний (простейшая модель!), который дается ученику. Интегрируем (2) и получаем: y y0 I 0t , где t — время обучения. (2) Чем больше учишься, тем больше знаешь и становишься умнее. Но…. Более реалистичной является модель «зажигания огня» (протекания ядерной реакции), т.е. для разжигания огня нужно иметь огонь, и огонь разгорается, и сам поддерживает себя (но дрова расходуются). Процесс обучения описывается простым дифференциальным уравнением: dy I (t ) F ( y ) dt y (t 0) y0 (3) Здесь t — время (обучения), I(t) — объем новых усвоенных знаний (в другой интерпретации — это затраты на обучение, т.е. затраты учителя), F(y) — функция, характеризующая способности к обучению, в частности, характеризует способность к забыванию материала. Действительно, запоминаемый объем знаний уменьшается у всех учеников, но скорость забывания для каждого очень индивидуальна. Эксперименты показывают, что в первом (грубом) приближении при постоянном потоке знаний (I=const) объем оставшегося в памяти материала убывает по экспоненте и характеризуются коэффициентом забывчивости α. При малых у естественно считать скорость забывания линейной функцией от объема усвоенного материала, т.е. yзаб y (4) Если α=0, то забывания не происходит (нереальный случай), все запоминается. Следовательно, чем меньше а, тем лучше воспринимается материал (на самом деле, здесь идет речь и о памяти ученика, и о возможности повторения материала, что приводит к лучшему усвоению материала, т.е. к уменьшению коэффициента забывчивости). Рассмотрим следующую простую модель, считая, что постоянно идет передача знаний (с постоянной скоростью, интенсивностью), а забывание описывается линейной зависимостью. В этом случае имеем: dy I0 y dt (5) В начале обучения, когда t<<(1/α), имеем: y y0 ( I 0 y0 )t Графическое решение представлено на рисунке Если человек плохо усваивает материал (быстро забывает) и его начальный уровень Io был низок, то I0-αу0<0, и знания будут убывать даже в процессе обучения (вытекает больше, чем поступает в сосуд) (кривая 1). С другой стороны, чем выше начальный уровень знаний, то, как правило, лучше и коэффициент запоминания, т.е. меньше а. Также ясно, чтобы получить положительную величину коэффициента I0-αу0>0, очень желателен и высокий уровень преподавания — большое значение Io. В этом случае знания человека (уровень образования) увеличивается (кривая 2). Действительно, при t>>1/α (αt>>1) имеем: y I0 Это означает, что при сделанных предположениях общая зависимость развития интеллекта человека имеет вид: Более сложные модели могут быть предложены как для учета способностей ученика, так и для учета возможностей преподавания. Рассмотрим случай, соответствующий ситуации, когда ученику, начиная с некоторого момента, становится учиться легче, т.е. он начинает «понимать» материал, т.е. процесс забывания (связанный с чисто механическим заучиванием) заканчивается и ученик способен к самообучению. Ученик на основе полученных знаний становится способным к выработке новых знаний. Возьмем упрощенный вариант: сначала ученик испытывает забывание, описываемое линейным законом, а затем человек симметрично изменяет поведенческий характер, т.е. забывание сменяется генерированием знаний. Это означает, что упрощенная функция F(y) имеет вид, показанный на рисунке: Функция «работы» ученика в процессе обучения: сначала преобладает «забывание», но при накоплении определенного багажа (здесь при у=0.5) ученик начинает самообучаться (забывание меняется способностью восстанавливать полученные знания). dy I 0 y, для y 0.5 dt dy I 0 ( y ), для y 0.5 dt (11а) (11б ) I0 — это прямая, параллельная оси х. Если прямая I0 проходит выше точки α (толстая пунктирная линия), то ученик будет все время наращивать свои знания (и интеллект), происходит накопление навыков (компетенций — новомодное слово, что это означает непонятно) . Если же прямая I0 пересекает функцию F(y) (случай показан толстой штрих- пунктирной линией), то ученик перестает осваивать новое. Его уровень компетенции и в дальнейшем не превышает некоторого порогового значения упорог, сколько бы времени его не учили. Интересно заметить, что поскольку F(y) уменьшается при у->1, то как будто без «видимого» ущерба для образования можно уменьшать учебную нагрузку, т.е. I(t) может быть не постоянной величиной, а также уменьшаться, как это показано точечной линией на рисунке. Зачастую так и происходит, особенно сейчас — на последних курсах студенты работают, намного меньше времени уделяют занятиям, однако формально «успешно» заканчивают учебу и получают диплом. На самом деле это скрытый резерв для более качественной подготовки специалистов, которые смогут давать добавленное знание. (В каком-то смысле это некоторое «оправдание» перехода на бакалавра и магистра). При (I0-α/2)>0 (т.е. I0/α>0.5) мы имеем экспоненциально возрастающую функцию (сплошная кривая), которая достигает значения у=l при t1. Если (I0-α/2)<0 (т.е. I0/α<0.5), то будет происходить не дальнейшее накопление знаний, а наоборот, их «утечка», как это показано на рисунке, коричневая линия. Зеленая линия — кривая «с насыщением». Проведем некоторые оценки. Вопрос заключается в том, каково время t1, т.е. какое время ученик должен потратить на учебу, чтобы самому генерировать знания (давать отдачу на вложенный капитал). Если рассмотреть некоторую реальную ситуацию, то можно считать, что в школе в первые 5-7 лет ученик достигает некоторого уровня I0. Реально мы должны учитывать, что сначала ученик должен получить некоторые базовые навыки и знания, чтобы затем реально и осознанно учиться. (Думается, что задача не имеет решения, если нет желания учиться. Это желание может быть неосознанным — гены, наследство, окружающая обстановка, — а может быть осознанным - «вбито ремнем и стало привычкой, либо «научили» этому желанию). Поэтому на сам процесс развития (обучения) мы отводим 10-12 лет, и за это время ученик должен приобрести весь объем необходимых знаний (мы его взяли за 1). Коэффициент забывания лежит в пределах 0.2-0.5. Возьмем среднее значение α=0.3, и пусть начальный уровень составляет y0= 0.1 I0. Пусть I0=l. Тогда t1=7 Как видно, получили разумные значения: за 7 лет в данном примере ученик получает полный объем знаний. Посмотрим влияние начальной подготовки, т.е. величины у0. Совершенно очевидно, что в любом случае (не берем в рассмотрение гениев), у0 <<1, и возьмем разницу а начальной подготовки в 5 раз: для ученика А — у0А=1/10, для ученика В-у0В =1/50. Пусть разница в способностях очень небольшая, но все- таки ученик В имеет немного меньший коэффициент забывания: αА~0.3 и αВ~0.29. Найдем время, через которое уровни подготовки (образования) сравняются: t=4. Таким образом, достаточно быстро может быть ликвидировано значительный разрыв (в 5 раз) в начальной подготовке (был взят очень маленький разрыв в способностях). Иными словами, разрыв в начальном уровне подготовки через несколько лет практически не сказывается на дальнейшем развитии. При (I0-α/2)>0 (т.е. I0/α>0.5) мы имеем экспоненциально возрастающую функцию (сплошная кривая), которая достигает значения у=l при t1. Если (I0-α/2)<0 (т.е. I0/α<0.5), то будет происходить не дальнейшее накопление знаний, а наоборот, их «утечка», как это показано на рисунке, коричневая линия. Зеленая линия — кривая «с насыщением». Выводы: Спасибо за внимание 1. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. Москва . 2003. 2. А.М.Зеневич, С.Я. Жукович. Математическое моделирование процесса обучения. Труды конф. Подготовка научных кадров. Минск. 2006. Способности человека