Объем шара x A M C O R B Теорема 3 Объем шара радиуса R равен 4/3πR x Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим R = √OC²-OM² = √R²-x² Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем: R R R R R V = ∫ п (R²-x²) dx = п R² ∫ dxп - ∫ x²dx = п R²x - пx³/3 = 4/3 пR³. -R -R -R -R -R Теорема доказана Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α, проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ=h АВ и ВС диаметра АС, х α перпендикулярного к секущей плоскости, называются А высотами сегментов. О С Шаровой сегмент Рис.1 Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рис.1 h =АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле: V = пh² (R-1/3h). · Б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между 2-мя параллельными секущими плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых сегментов. х А С Шаровой слой В Рис.2 В) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 градусов, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 пR² h h r R O Шаровой сектор Рис.3 Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани => 2 S 4R