Методические рекомендации к проведению уроков геометрии в 11 классе. (из опыта работы) Тема: «Объёмы тел вращения». Обухова Ольга Викторовна Учитель математики МБОУ СОШ № 26 г. Мытищи Московской области ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ (часть 2) Продолжу изложение теории объёмов в курсе геометрии 11 класса. В учебниках многих авторов формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса выводятся путём оценок объёмов цилиндра и конуса объёмами призм и пирамид. А вот формулы для вычисления объёма шара и его частей выводятся с применением интеграла. Учитывая то, что в курсе алгебры и начал анализа уже изучен интеграл и его применения, формулы для вычисления объёмов тел вращения я так же, как и формулы для вычисления объёмов многогранников в первой части, вывела с применением интеграла. Общая формула для объёмов тел вращения. Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам, с центрами на этой прямой. y f (x) > 0, V (x ) - функция от x . Каждая плоскость, перпендикулярная оси OX и пересекающая отрезок a; b этой оси в точке x , даёт в сечении с телом круг радиуса f (x) и площади S ( x) f 2 ( x) . b Из формулы V S ( x)dx получаем a b V f 2 ( x)dx . a I. Объём цилиндра. f ( x) R const 0 < x ≤ H, H>0 H V R dx R 2 0 dx R 0 Vцил. R H 2 H H 2 2 R 2 H R 2 0 R 2 H x 0 . Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Объём конуса. II. 0 < х ≤ Н, f ( x ) kx , k tg AH tg OH AH R , Н > 0, OH H R k tg , H f ( x) 2 Rx H R2 R 2 x 3 Rx V dx 2 x 2 dx 2 H H 0 H 3 0 H R H 2 3 H 3 2 H H 0 R 2 H 3 03 H 2 3 3 R H 2 3 1 Vкон R 2 H . 3 Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. III. Объём усечённого конуса. 0 < х ≤ Н, Н > 0, f ( x) kx b , br, BC k tg , AC BC R r , AC H , Rr k , H Rr f ( x) xr , H 2 H R r 2 2 2r R r Rr V x r dx x r 2 dx x H H H 0 0 H R r 2 x 3 r R r 2 2 R r 2 H 3 r R r 2 2 x r x H r H 2 2 3 H 3 H H 0 H H R r 2 H r R r H r 2 H R 2 H 3 3 2 R H RrH r H H R 2 Rr r 2 3 3 3 3 1 Vус. кон. H R 2 Rr r 2 . 3 2 2RrH r 2 H RrH r 2 H r 2 H 3 3 Объём шара. IV. x2 y 2 R2 , y 2 R2 x2 , y f (x) > 0, y R 2 x 2 f ( x) R 2 x 2 Пределы интегрирования: –R ≤ х ≤ R. Но учитывая свойства интеграла вычислим интеграл с пределами интегрирования: 0 < х ≤ R. R 2 x3 V R x dx 2 R x dx 2 R x 3 0 R 0 R R 2 2 2 2 2 3 R3 R3 2 R3 4R3 2 R R 2 R 2 3 3 3 3 4 Vшара R 3 . 3 Объём шарового сегмента. V. Шаровым сегментом называется отсекаемая от него плоскостью. x2 y 2 R2 , y 2 R2 x2 , y f (x) > 0, часть y f ( x) R 2 x 2 R-H ≤ х ≤ R. R – радиус шара, H – высота шарового сегмента. R R V 2 x dx 2 RH R 2 R RH R 2 x3 R x dx R x 3 RH R 2 2 R H 3 R 3 R 3 R 2 R H R H 3 R3 2 R R H 3 3 3 3 R H 3 R 2 H 1 R H 3 R 3 R3 R3 R3 R 2 H 3 3 3 R 2 H R 2 H R 2 H 3 3 3 R H R R H 2 R H R R 2 H R 2 2 RH H 2 R 2 HR R 2 R 2 H H 3R 2 H 3RH 3 H RH 2 H 3 H 2 R 3 3 H Vшар. сег. H 2 R 3 3 3 H 3R 2 3RH H 2 H H 2 R 2 H R 2 H RH 2 3 H3 шара, VI. Объём шарового сектора. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом: если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента; если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объём шарового сектора получается сложением или вычитанием объёмов соответствующих сегмента и конуса. Vшар. сект. Vшар. сег. Vкон. или Vшар. сект. Vшар. сег. Vкон. Для объёма шарового сектора получается следующая формула: 2 V R 2 H , 3 где R – радиус шара, H – высота соответствующего шарового сегмента. Такое изложение вывода формул для вычисления объёмов тел вращения мне кажется более интересным для учащихся. Ведь в процессе вывода той или иной формулы учащиеся помогают выполнить мне преобразования, иногда выполняют их самостоятельно. А это значит, что они не просто машинально переписывают вывод формул, а решают поставленную перед ними проблему. Хочу также отметить, что вывод формул для вычисления объёмов усечённого конуса и шарового сегмента целесообразно рассматривать в классах с хорошей математической подготовкой.