Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины. В базовых учебниках «Математика 6» мало внимания уделено решению уравнений со знаком модуля. На трех-четырех уроках после изучения понятия модуля я рассматриваю с учащимися уравнения с модулем, переход от самых простых к более сложным: 1) ⌈𝑥⌉ = 𝑥 + 3 6) |2𝑥 − 5| = 2 − 𝑥 2) |𝑥| = −3𝑥 + 5 7) |𝑥 + 2| = 2 ∙ (3 − 𝑥) 3) |𝑥 − 3| = 2 8) |3𝑥 − 5| = |5 − 2𝑥| (1) 4) |2𝑥 − 5| = 𝑥 − 1 9) |𝑥 − 2| = 3|3 − 𝑥| 5 5) |𝑥2 − | = 𝑥 − 1 10) ||𝑥 − 1| − 1| = 2 4 При решении данных уравнений школьники учатся применять определение модуля: получают навыки элементарных операций с модулем: привыкают о мысли о том, что знаком модуля могут быть как положительные, так и отрицательные выражения, но сам модуль может быть только неотрицательным числом. Тренируются в применении свойств уравнений. При изучении темы мы руководствовались определением 𝑎, если 𝑎 ≥ 0 |𝑎| = { . Это определение дает учащимся более четкое −𝑎, если 𝑎 < 0 представление о том, что им надо делать в каждом конкретном случае: сменить ли знак у числа или оставить его без изменения. При решении уравнений из списка (1) обычно составляют систему, содержащую собственно уравнение, требующее решения, и неравенство учитывающее определение модуля. Но в «6» классе учащиеся еще не изучают решение числовых неравенств, поэтому мы вынуждены решать не систему, а лишь уравнение, опираясь на определение модуля, и в конце делать проверку, чтобы удалить значения переменной, не являющейся корнями уравнения. Пример 1. Решение уравнения: |𝟐𝒙 − 𝟓| = 𝟐 − 𝒙 2𝑥 − 5 = 2 − 𝑥 и 2𝑥 − 5 = −(2 − 𝑥) Проверка: 1 1 2𝑥 + 𝑥 = 2 + 5 2𝑥 − 5 = −2 + 𝑥 |2 ∙ 2 − 5| = 2 − 2 𝑥= 7 3 2𝑥 − 𝑥 = −2 + 5 1 3 1 1 3 3 |2 ∙ 2 − 5| = − и 3 |2 ∙ 3 − 5| = 2 − 3 |2 ∙ 3 − 5| = −1 В обоих случаях значение модуля оказались меньше нуля, что противоречит 1 определению модуля. Значит , 𝑥 = 2 и 𝑥 = 3 не являются корнями 3 исходного уравнения. Ответ: уравнение не имеет решения. 𝑥=2 3 𝑥=3 Пример 2. |𝟑𝒙 − 𝟓| = |𝟓 − 𝟐𝒙| 3𝑥 − 5 = 5 − 2𝑥 и 3𝑥 − 5 = −(5 − 2𝑥) (−(3𝑥 − 5) = −(5 − 2𝑥) (−(3𝑥 − 5) = 5 − 2𝑥) 3𝑥 − 2𝑥 = 5 + 5 3𝑥 − 5 = −5 + 2𝑥 10 𝑥= 𝑥=0 5 𝑥=2 Ответ: 0; 2. Проверка: |3 ∙ 2 − 5| = |5 − 2 ∙ 2| |6 − 5| = |5 − 4| 1 = 1 верно. |3 ∙ 0 − 5| = |5 − 20| |−5| = 5 5 = 5 верно. Пример 3. ||𝒙 − 𝟏| − 𝟏| = 𝟐 |𝑥 − 1| − 1 = 2 и |𝑥 − 1| − 1 = −2 |𝑥 − 1| = 3 |𝑥 − 1| = −1 𝑥 − 1 = 3 и 𝑥 − 1 = −3 нет решения. 𝑥 = 4; 𝑥 = −2. т.к.|𝑥 − 1| ≥ 0 Проверка: ||4 − 1| − 1| = 2 ||3| − 1| = 2 |2| = 2 2 = 2 верно. ||−2 − 1| − 1| = 2 ||−3| − 1| = 2 |2| = 2 2 = 2 верно. Ответ: -2; 4. Данные уравнения развивают у учащихся умение анализировать полученное решение. Они позволяют показать, что уравнение может и не иметь корней или иметь посторонние корни. Эти наблюдения существенно расширяют представления учащихся об уравнении. Пример 4. 𝒙𝟐 − 𝟓|𝒙| + 𝟔 = 𝟎 Данное уравнение можно решить, используя метод замены неизвестного. (Пример для учащихся «8» классов): Положим 𝑡 = |𝑥| тогда 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = 0 т. к. 𝑥 2 = |𝑥 2 | = |𝑥 | Решением являются 𝑡 = 2 , 𝑡 = 3 ; поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: |𝑥| = 2 , |𝑥| = 3 .Множество решения данных уравнений состоит из чисел: -2; 2; -3; 3 . |𝒙| = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 Данное уравнение равносильно 2 2 совокупности {𝑥 + 𝑥 − 2 {−𝑥 = 𝑥 + 𝑥 − 2 𝑥≥0 𝑥<0 Уравнение первой системы имеет корни 𝑥 = −√2 ; 𝑥 = √2 . Из двух этих решений 𝑥 = −√2 посторонний корень. Уравнений второй системы имеет корни 𝑥 = −1 − √3 ; 𝑥 = −1 + √3 . Т.к. −1 − √3 < 0 а −1 + √3 > 0 то решением второй системы совокупности является число (−1 − √3) . То данное уравнение имеет два корня : √2 ; −1 − √3 . Пример 5. Приведу два способа замены уравнения : |𝒇(𝒙)| = 𝒈(𝒙) Совокупностью систем. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) { 𝑓(𝑥) ≥ 0 1.способ. |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)́ { [ 𝑓(𝑥) < 0. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) { 𝑔(𝑥) ≥ 0 2.способ. |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⟺ −𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)́ { [ 𝑔(𝑥) ≥ 0 Если в уравнении |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) функция 𝑓(𝑥) имеет более простой вид, чем 𝑔(𝑥) , то целесообразно уравнение (1) заменять первой совокупностью систем , а если более простой вид имеет функция 𝑔(𝑥) , то уравнение (1) целесообразно заменять второй совокупностью систем. В частности уравнение вида: |𝑓(𝑥)| = 𝑏 , 𝑏 ∈ 𝑅 , при 𝑏 > 0 равносильно 𝑓(𝑥) = 𝑏 совокупности уравнений [ 𝑓(𝑥) = −𝑏 При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободится от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули. 4−𝑥 ≥0 |𝑥 − |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4 Пример 6. |𝑥 − |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4 ⟺ 4−𝑥 <0 [{|𝑥 + |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4 𝑥≤4 𝑥≤4 2𝑥 − 4 ≥ 4 { { |2𝑥 − 4| − 2𝑥 = 4 (2𝑥 − 4) − 2𝑥 = 4 ⟺ ⟺ 𝑥>4 𝑥≤4 { −2𝑥 = 0 решений нет { 2𝑥 − 4 < 0 [ [ −(2𝑥4) − 2𝑥 = 4 𝑥≤4 {𝑥 ≥ 2 решений нет −4 = 4 𝑥≤4 { 𝑥<2 [ −4𝑥 = 0 𝑥=0 Ответ: 0. ⟺ (2) Решение уравнений вида |𝑥 − 𝑎| = 𝑐 |𝑥 − 𝑎| + |𝑥 − 𝑏| = 𝑐 (3) |𝑥 − 𝑎| − |𝑥 − 𝑏| = 𝑐 (4) 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0. Допускают простую геометрическую интерпретацию. Решить уравнение (2) значит найти все точки на числовой оси ОX , которые отстоят от точки с координатой (а) на расстоянии (с) . Таких точек две: точка с координатой (с + а) и точка с координатой (а + с). Решить уравнение |𝑥 − 1| + |𝑥 − 3| = 6 значит найти все точки на числовой оси (о, х ) ,для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и 3 равна 6. Ясно, что ни одна точка из отрезка [1: 3] не удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний для любой из них равна 2(≠ 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатой (5) и точка с координатой (-1). Аналогично интерпретуется решение уравнения вида (3). Пример. |𝑥 − 1| − |𝑥 − 3| = 2 . Нужно на числовой прямой О,Х., найти все точки , каждой из которых разность расстояний от нее до точки с координатой (1) и расстояния от нее до точки с координатой (3) равна 2. Т.к. длина [1: 3] равна 2 , то ясно , что любая точка с координатой 𝑥 ≥ 3 удовлетворяет а, любая точка с координатой 𝑥 < 3 не удовлетворяет ему. То решением исходного уравнения является множество всех чисел з промежутка [3: +∞].