Системы и совокупности неравенств

реклама
Системы неравенств
Если нужно найти множество общих решений двух или нескольких
неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы
обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы.
Множество решений системы есть пересечение множеств решений
входящих в нее неравенств.
2𝑥 − 12 > 0,
Пример 1. Решите систему неравенств {
.
3𝑥 > 9
Решение. Заменим каждое неравенство системы простейшим и
𝑥 > 6,
равносильным ему неравенством {
. Множество решений первого
𝑥>3
неравенства – числовой промежуток (6; +∞), множество решений второго
неравенства – промежуток (3; +∞).
Пересечение этим множеств – промежуток (6; +∞), следовательно,
числовой промежуток (6; +∞) и является решением системы неравенств.
Ответ: (6; +∞)
Пример 2. Найти наибольшее решение системы неравенств
Решение.
 x  1  0,

 x  0,
 x  0;

4


Заданная

 x  1  x  1  0,

 x  0,
 x  0;

2
2
система
 x4  1
 2  0,
 x

x

 0.
2

 x 7
равносильна
системе:
x  1  x  1  0,
x  0.

Решением является промежуток (0; 1]. Наибольшее значение на данном
промежутке x=1.
+
–1
+
–
1
0
1
х
х
Ответ: 1
Решите систему неравенств:
1)
2

 x  9  0,
 2

 x  x  6  0;
2)



 x 2  3x  2  x 2  3x  1  10,

 x 2  4;
3)
 x 2  3x  1
 1,

 1  x2

2 x  6 x

 0;
  5  x 3  10  x 2
4)
6
 4
 ,

6  x x
9  4 x 2  0.

5)
 x  1 2x  4
 2  3  x  5,


3x  2 x  5  6  0,2 x;

3

6)

7)
8)
10)

 x  0,5 2   3x  9    x  3  4 x 2  1 ,

 5x  1
 1;
 2
 x  3x  4
5
 3

,

 2x  5 7  x
 x 4  3x3  4 x 2 ;

9)
 x 2  25,
 2
 x  6 x  27;
При каких значениях параметра а, система…
1)
 x 2  y 2  4 y  5,

2
 y  ax ;
имеет решение
2)
 y  5 x  3a  12,

 x  y  2a  5,

3 y  x  4a;
имеет единственное
решение
3)
4)
 x  3 y  24,

 y  a;
имеет единственное
решение
5)
 x 2  2  5a x  a 2  2 x  0,
 2
2
 x  a  25.
имеет 6)
7)
имеет
единственное
решение
решение
 x 2  a  1x  3
 2,

x2  x  4
 2
 x  a  1x  3  5.
 x 2  x  4
2 x  y  6,

 x  b.
8)
решением
системы неравенств является любое
действительное число
9)
10)
Совокупности неравенств
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если
нужно найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых
является решением хотя бы одного из данных неравенств.
Совокупность неравенств f(x)>0, g(x)<0, обозначается так: [
𝑓(𝑥) > 0,
.
𝑔(𝑥) < 0
Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств,
образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство,
называется решением совокупности неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть
множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Пример 1. Найти решение совокупности неравенств [
объединение
2𝑥 + 1 > 5,
.
𝑥 2 + 1 < −2
2𝑥 + 1 > 5,
𝑥 > 2,
Решение. [ 2
[
 x>2.
𝑥∈∅
𝑥 + 1 < −2
Ответ: (2; +∞)
Пример 2. Решить совокупность неравенств
 2 x
 2 x  5  4,
 2
 x  3x  4  0.
Решение. Решим каждое неравенство заданной совокупности отдельно:
x2
 0.
2 x
2 x
9 x  18
5
 4,
 4  0,
 0, x 
2x  5
2x  5
2x  5
2
Приходим к неравенству
получаем
5

 x     x  2   0.
2

Используя метод интервалов,
 5

x    ;  2 .
2


+
+
5

2
–
х
–2
Решаем второе неравенство заданной совокупности. Находим корни
квадратного трехчлена, разлагаем на множители и получаем (x+4)(x – 1)0.
Используя метод интервалов, имеем: x[ - 4; 1].
+
+
–4
Объединяя полученные
приходим к ответу: x[ - 4; 1].
–
решения

–4
5
2
1
двух
неравенств
совокупности,
–2
1
Ответ: [ - 4; 1]
Решите совокупность неравенств:
1)
2)
3)
1
 x 2  4,

 x  5  0;
 20 x
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2
 1
 2 x 2  2 x 2  32 ,

4
1


 0.
 4 x 2  2 x  2 3  2 x  x 2
2 x  1  0,
 x  2  0,

4 x  4  0,
2 x  3  0,

4 x  2  5 x  3,
2  3x  7  2 x;

3 x  7  0,
2 x  19  0,

3 x  5  0,
2 x  16  0;

Скачать