Задача (дословно). В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону 𝐵 = 𝐵0 (1 + 𝛼𝐻), где 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Решение (дословно). (Рисунок – уровень земли, ось H – вертикально вверх, точка H=0 на земле; над уровнем земли изображено падающее кольцо в двух положених. В верхнем: показано направление нормали 𝑛⃗ и ⃗⃗⃗ − вертикально вверх, скорости 𝑣 – вертикально вниз, указано индукции магнитного поля 𝐵 значение высоты кольца над землей - 𝐻1 . В нижнем - указано положение кольца и значение высоты на землей - 𝐻2 .) Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной 2 составляющей магнитного поля, 𝛷 = 𝐵𝑆 = 𝐵0 (1 + 𝛼𝐻)𝑆, где 𝑆 = 𝜋𝑑 ⁄4 – площадь контура. ЭДС индукции, возникающая в кольце, 𝛦𝑖 = - 𝛷′ (𝑡) = −(𝐵0 (1 + 𝛼𝐻)𝑆)’ = −𝐵0 𝑆𝛼𝐻 ′ (𝑡). Производная 𝐻 ′ (𝑡) = 𝑣𝐻 – это проекция скорости кольца на ось H. Так как проекция скорости кольца направлена против оси H, то 𝑣𝐻 = −𝑣, где 𝑣 – модуль скорости кольца и 𝛦𝑖 = 𝐵0 𝑆𝛼𝑣. По 𝐸 𝐵 𝑆𝛼𝑣⁄ кольцу протекает индукционный ток 𝐼 = 𝑖⁄𝑅 = 0 𝑅 . В результате в кольце за промежуток 2 времени 𝛥𝑡 выделяется количество теплоты 𝑄 = 𝐼 𝑅𝛥𝑡. На высоте 𝐻1 кольцо обладает механической энергией 𝑊1 = 𝑚𝑔𝐻1 + 𝑚𝑣 2 𝑚𝑣 2 , 2 На высоте 𝐻2 - 𝑊2 = 𝑚𝑔𝐻2 + 2 (𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡). По закону сохранения энергии 𝐵0 𝑆𝛼𝑣⁄ 2 𝑅 ) 𝑅𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔(𝐻1 − (𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2 𝐻2 ) = 𝛥𝑡 (1) 𝑅 Разность (𝐻1 − 𝐻2 ) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому (𝐻1 − 𝐻2 ) = 𝑣𝛥𝑡, и уравнение (1) примет вид 𝑊1 = 𝑊2 + 𝑄 ⇒ 𝑚𝑔𝐻1 = 𝑚𝑔𝐻2 + 𝐼 2 𝑅𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔(𝐻1 − 𝐻2 ) = ( 𝑚𝑔𝑣 𝛥𝑡 = (𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2 𝑅 𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔 = (𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2 𝑅 𝑚𝑔𝑅 2 0 𝑆𝛼) ⇒ 𝑣 = (𝐵 16𝑚𝑔𝑅 2 2 0 𝜋𝑑 𝛼) = (𝐵 .