Экзаменационные вопросы по алгебре

1
Экзаменационные вопросы по алгебре.
ФЕМиКН, МИ
II курс, III семестр, 2013/2014 уч. г.
1.
Определение, примеры, простейшие свойства групп.
Основные понятия и соглашения.
2.
Подгруппы, примеры, критерий подгруппы.
3.
Левая и правая смежности на группе, порожденные
подгруппой. Примеры, основные свойства.
4.
Классы смежности, их строение. Теорема Лагранжа.
5.
Нормальные делители группы. Критерий нормального
делителя.
6.
Факторгруппы, примеры.
7.
Гомоморфизмы групп. Основные понятия, свойства,
примеры.
8.
Изоморфизмы групп. Определение, основные свойства,
примеры.
9.
Степень и порядок элемента группы, основные
свойства
10.
Циклические подгруппы и группы.
11.
Определение, примеры, простейшие свойства колец.
12.
Подкольца, идеалы колец. Определение, примеры,
свойства, критерии.
13.
Фактор-кольца.
14.
Гомоморфизмы и изоморфизмы и колец.
15.
Характеристика кольца.
16. Делимость в кольце и главные идеалы. Делители нуля,
целостные кольца.
Ассоциированные элементы кольца
17. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
элементов целостного кольца.
18. Простые и составные элементы кольца. Факториальные
кольца. Каноническое разложение элемента факториального кольца.
19. Делимость, наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное элементов в
факториальном кольце.
20. Свойства взаимно простых элементов в факториальных
кольцах.
21. Кольца главных идеалов. НОД и НОК в кольце главных
идеалов.
22. Лемма о конечности возрастающей последовательности
главных идеалов в кольце
главных идеалов.
23. Факториальность кольца главных идеалов.
2
24. Евклидовы кольца, основные свойства. Евклидово кольцо как
кольцо главных идеалов.
25. Алгоритм Евклида нахождения НОД двух элементов
Евклидова кольца.
26. Кольцо многочленов от одной неизвестной над полем
комплексных чисел. Основные понятия.
27. Деление многочлена на линейный двучлен. Схема Горнера.
28. Корни многочлена. Функциональная и алгебраическая
трактовки. Кратные корни.
29. Основная теорема алгебры. Формулы Виета.
30. Корни действительных многочленов. Приводимость
действительных многочленов над полем R.
31. Решение в радикалах кубических уравнений. Формулы
Кардано.
32. Тригонометрическая форма и исследование корней неполного
кубического уравнения.
33. Исследование корней действительного неполного
кубического уравнения.
34. Решение в радикалах алгебраических уравнений 4-й степени.
О разрешимости в радикалах уравнений выше 4-й степени.
35. Рациональные многочлены и их приводимость над полем Q.
36. Рациональные корни целочисленных многочленов и их
отыскание.