Математические упражнения

Математические упражнения, активизирующие мыслительную
деятельность учащихся
по теме: «Квадратные уравнения»
ВИДЫ УПРАЖНЕНИЙ:
1. Упражнения по формированию понятий;
2. Задачи на доказательство;
3. Исследование алгоритма выражений, функций, уравнений;
4. Составление упражнений;
5. Нахождение неизвестных членов равенства.
Методические рекомендации по использованию заданий
Каждая работа состоит из пяти заданий, связанных между собой тематически.
Задание диктуется медленно и четко, затем делается пауза, в течение которой
учащиеся выполняют задание.
Повторять текст несколько раз не следует, так как многократное повторение
порождает не внимательность.
Задания с числовыми данными необходимо предлагать учащимся одновременно
с записью на доске.
Затем учащиеся должны содержать все вычисления и преобразования, которые
они не могут выполнить в уме. Разрешается пользоваться черновиками.
После диктанта проводится коллективная проверка, осуждение как выполнили,
и как следовало бы выполнить задание, исправляются дополнительные ошибки,
даются разъяснения.
Экспресс-диктант проводится по всем правилам обычного математического
диктанта, но ответы учащиеся пишут в двух экземплярах, один из которых контрольный сдается преподавателю, а другой (записанный под копирку) - рабочий
остается учащемуся. По рабочему экземпляру диктант проверяется фронтально, а
затем учащиеся сами себе ставят оценку за правильность выполнения работы:
«5» за 5 верных ответов;
«4» за 4 верных ответов;
«3» за 3 верных ответов.
Система упражнений может быть использована и для проведения
самостоятельных работ разного рода, направленных на подготовку восприятия
новой темы, закрепленной знаний, повторению ранее изученных разделов.
Задания для самостоятельной работы даются на 10-20 мин., чтобы тут же на
уроке проверить результаты, выяснить трудности, дать необходимые разъяснения.
А также в процессе индивидуальной проверке знаний, в качестве
дополнительных вопросов классной контрольной работы, как часть домашнего
задания.
Центральное место отводится, не требующим громоздких вычислений или
преобразований, чтобы сложные выкладки не отвлекали внимания учащихся от
теоретических положений которые лежат в их основе. Например:
Неполные квадратные уравнения:
1. Составить квадратное уравнение, у которого:
1) один из корней равен нулю;
2) каждый корень равен нулю;
3) корни - противоположные числа.
2. Найти «ш», при которых один из корней уравнения
2
Зх +5х+ш2-4=0равен нулю;
3. Составить неполное квадратное уравнение, не имеющеекорней
Полное квадратное уравнение:
1. Составить полное неприведенное квадратное уравнение, которое:
1) имеет неравные корни;
2) имеет равные корни;
3) )корней не имеет.
2. Найти те «m», при которых уравнение 4х~-12х+т=0 имеет равные корни;
3. Не вычисляя корней уравнениях~+х-56=0, , составить уравнение, корней,
корни которого противоположны корням данного уравнения.
Теорема Виета:
1. Составить квадратное уравнение, если:
1) сумма корней «11», а произведение «-60»;
2) сумма корней равна нулю, а произведение не равно нулю;
3) произведение корней равно нулю, сумма не равна нулю;
4) корни противоположны числам «7» и «-9»;
5) корни обратны числам «1⁄3» и «-2»
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:
1. Составить квадратный трехчлен, имеющий корни:
a) 𝐱 𝟏 =-5 и х2=-7;
b) взаимно обратны;
2. Написать дробь:
1) числитель — квадратный трехчлен; при х=-3 и х=-4 дробь образуется в
нуль;
2) знаменатель — квадратный трехчлен; при х=5 и х=-6 дробь не имеет
смысла.
Неполноеквадратное
уравнение
1) Составить квадратное
уравнение, у которого:
1) один корень равен нулю;
каждый корень равен нулю;
2) корни
противоположные числа;
4) нет корней;
5) корни обратные числа
1.Составить
квадратное
уравнение,
корнями
которого являются числа;
а) 1⁄3и-1⁄3;б).3а⁄5 и 0;
2.Найти значения «с», если
х1=-ь/а
из
уравнения:
2
ax +bx+c=0;
3. Найти корни:
а)ax2+bx=0;
б)ах2+с=0.
Полноеквадратноеуравнение
Теорема Виста
1. Составить
полное
не
приведённое
квадратное
уравнение, которое:
1) имеет неравные корни;
2)имеет равные корни;
3)не имеет корней
Найдитете «ш»: при которых
уравнения имеют равные корни:
а) 25х2+mх+ 4 =0;
б) 4х2-12х +m=0;
1.Составить
квадратное
уравнение, если:
1)сумма
корней
11,
а
произведение -60;
2) суммакорней равно нулю, а
произведение не равно нулю;
3) произведение корней равно
нулю, сумма не равна нулю;
4)корни
противоположны
числам 7 и -9;
5) корни обратны
числам 1⁄3и -2.
1. Составить
квадратное
уравнение, корни которого:
1) положительны;
2)имеют разные знаки;
3)противоположны
корням
2
уравнения х -х-6=0;
4)обратны корням х2-6х+8=0;
5)на 2 больше корней
уравнения х2-8х-20=О.
1. При каких «х» выражения:
−7
и
5−х
6х−х−х2 х2 −2х−3
имею смысл.
2.При каких «а» уравнение
х+1/х=а; имеет действительные
корни;
3.
составить
квадратное
уравнение с рациональным
коэффициентами,
один
из
корней которого равен:
а) 2+√3 ;б) 5-√7
1.При каких «т» корни
уравнения:
а)х2+m2(х-1)-х=0, являются
противоположными
числами;
б) один корень уравнения
10x2+4x+m2-3m+2=0, равен
нулю.
2.Составить
квадратное
уравнение если х1=3к, х2=0
1. Доказать:
1) корни x2+bx-ac=0, равны
корням
х2+bx+c=0
уменьшенным на «а»
2) если, а+Ь+с=0, то один
корень уравнения ax2+bx+c=0
равен «1».а другой «с⁄а».
2. Вывести формулу:
х12+ х22=(х1+x2)2-2 х1+ х2
1.Составить
квадратное
уравнение, корнями которого:
1)положительны;
2)отрицательны;
3)имеют разные знаки.
2.Найти «Ь» и «с» в
уравнении: Зх2+Ьх+с=0, если
х1 =х2 = 1;
3.Не решая уравнения найти
суму и произведение корней:
а) Зх2=7 б) 7х2+5х=0.
Знаменательные упражнения на сообразительность
№ 1.
1
х+2
1
1
1
- х+3 = х+4 - х+1
х =- 1;
х =- 2;
х =- 3;
х =- 4;Решение
х+3−х−2
х+1−х−4
=
или
(х+2)(х+3) (х+4)(х+1)
(х+4) (х+1)= -3 (Х+2) (х+3)
(дальнейшее ясно)
№2.
Если квадратное уравнение имеет дробный коэффициент, то обычно, все члены
уравнения умножают на знаменатель
дроби. Но это не всегда целесообразно:
1⁄ х -17х+64=0 лучше решать, преобразуя в приведенное:
4
17+√289−64
х1,2 =
0,5
; х1 = 64; х2 = 4.
№3.
Корни уравнения х2 +bx+ac=0 равны корням уравнения ax2+bx+c=0,
уменьшенным на «а».
Это свойство дает возможность решать устно некоторые не приведённые
квадратные уравнения:
1) 2х2-9х+9 = 0
х2-9х+18 = 0, х1= 6, х2 = 3 корни одного Х1= 3, х2 = 1,5
2) З х2 +11х+6 = 0
х2+11х+18 = 0, по т. Виета х1 = -2, х2 = -9 корни данного х1 = -2/3, х2 = -3
№4.
Если а++с = 0, то x1= 1, х2= с⁄а
Применяя это свойство, решим уравнение:
1) 5х2-7х+2 - О
В этом уравнении 5-7+2=0, поэтомуx1=l, х2 =2/5
2) .6х2+11 х-17=0 ;6+11-17=0 поэтому X1 = 1, х2= -17/6
3) (a2+b2)x+2abx-(a+b)2=0x1=l , х2 =−
(а+𝑏)2
а2 +𝑏2
4) .3abx2-(a2+ab+b2)x +(a-b)2=0 x1=l, х2 =
№ 5.
(а+𝑏)2
3𝑎𝑏
Если a-b+c=0, тоx,=l, x2= -c/a
Применяя это свойство, решим уравнение
1) 11х2+17х+6=0
В этом уравнении 11-17+6=0, то x,= - l, x2= -6/11
2) 2abх2-+(a+b)2x +а2+b2 =0
𝑎2 +𝑎2
x,= - l, x2 = -
2ab
Устные контрольные работы
Карточка №16
(количество карточек равно количеству учащихся в классе)
1) х2 -8х+15=0
ответы: 1) х1=З, х2=5
2
2) х +8х+15=0
2) х1 = -3, х2= -5
3) 15х2-8х+1=0
3) x2= -1/3,x2= -1/5
4) 625х2-144=0
4) x1,2= + 12/25
5) 144х2-12х=0
5 )x1=0,x2= 1/12
Карточка №5
(всего 8 вариантов для более сильных учащихся)
Решить уравнения:
1) х2-3,4х=0
ответы:1) х1=0,х2=3,4
2) (х-6)(3,5-х)=0
2) х1=6, х2=3,5
3) 10х2+х=3
3) x1=l, х2= -1,2
2
4) (х+4) =94)
4) x1= -7, х2= -1
5) составить квадратноеуравнение, 5)х2-2х-63=0
корни, которого противоположны 7 и -9
Для сильных учеников:
№6133 (по Сканави)
Не решая квадратного уравнения:
Зх2-5х-2=0, найти сумму кубов его корней
Ответ к №6133:
Решение: воспользуемся формулой х13 + х23 =( х3+ х2) 3 -3х1х2(х1+х2);
х1 +х2 =5⁄3
подставим
х1 ∗ х2 = − 2⁄3
так как по теореме Виета{
в формулу
получаем:
х13+х23= (5/з) 3-з*(− 2⁄3)*(5⁄3);
Ответ: х13+ x23=215 /27
Уравнения, приводимые к квадратным
№6004
50
x4 -
2х4 −7
=14
пусть z = 2z 4 -7, тогда
=2,9
пусть
z4=
z+7
2
№6016
x2 +1
x
x
x2 +1
+
z=
x2 +1
x
, тогда z +1⁄z=2,9
№6020
х−а
x−b
+
х−b
пусть: z +1⁄z=2,5
= 2,5
x−a
№6041
x2 −x+2
24
-
=1
x2 −x+1 x2 −x−2
пусть: y = x 2 − 2
№6154
x2 +2x+1
x2 +2x+2
y+1
y+2
+
+
x2 +2x+2
x2 +2x+3
=
7
6
пусть: x 2 + 2x = y
y+2 7
=
y+3 6
№6154
6
(x+1)(x+2)
6
x2 +3x+2
+
+
8
(x−1)(x+4)
8
x2 +3x−4
=1
=1
пусть: x 2 +3х= у