перечень домашних заданий по темам дисциплины

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Пусть X - нормированное пространство, a  X , r  0 . Докажите, что
множество X \ B (a, r ) открыто ( B (a, r ) - замкнутый шар).


2. В пространстве R определим норму вектора x  x 1 , , xn
n

x

формулой
n
  xi .
1
i 1
Проверить выполнение аксиом нормы. Пространство
n
1
обозначим R .
Rn
с нормой


3. В пространстве R определим норму вектора x  x 1 , , xn
n

x



x
1
формулой
 max x i .
1 i  n
Проверить выполнение аксиом нормы. Пространство R
n
с нормой

x

n

обозначим R .
Показать, что

x


 x
1

n x
.



4. В пространстве R определим норму вектора x  x 1 , , xn
n

x
2
 

n

xi
i 1
2




формулой
1/ 2
.
Проверить выполнение аксиом нормы. Пространство R
n
с нормой

x
2
n
2
обозначим R .
Показать, что

x


 x
2

 n 1/ 2 x


.

5*. В пространстве R определим норму вектора x  x 1 , , xn
n

x
p
 

n

i 1
xi
p



обозначим R .
Показать, что
формулой
1/ p
, 1 p   .
Проверить выполнение аксиом нормы. Пространство R
n
p

n
с нормой

x
p

x


 x
p

 n 1/ p x

.
Указание. При обосновании неравенства треугольника можно следовать схеме:
1. Для любых чисел x , y  0 установить неравенство Юнга:
xp
y p
1 1
p
xy

, где 1 p   ,
.
  1, т.е., p 
p
p
p 1
p p
2. Опираясь на неравенство Юнга установить неравенство Гельдера:
n

i 1
n
p
x i y i    x i 
 i 1

1/ p
 n y
 i
 i 1
p



1 / p
.
3. Опираясь на неравенство Гельдера вывести неравенство треугольника для
нормы
 n x  y p
 i

i
 i 1

1/ p
n
p
   x i 
 i 1

1/ p
n
p
   y i 
 i 1

1/ p
.
6. Изобразить единичные круги в пространствах R p , p 1, p  2 , p   .
2
7. Изобразить единичные шары в пространствах R p , p 1, p  2 , p   .
3
8.* Установить неравенства между нормами в
Rqn ,
пространствах

1  p  q   : для любых векторов x   x 1 , , xn  R n

x
q

 x
p

 n 1 / p 1 / q x
q
.
R pn
и
(1)
Привести примеры векторов, для которых неравенства в (1) превращаются в
равенства.
Указания.
1. Для получения левого неравенства в (1), называемого неравенством Йенсена,
можно
следовать схеме:


А) При условии x p  0 показать, что x q  0 .
Б) При 0  x 1, 1 p  q   показать, что x  x . Вывести отсюда, что
условие


x p  1 влечет x q  1 (это частный случай неравенства Йенсена).
q
p
В) Опираясь на результат п. Б), получить неравенство Йенсена в общем случае.
2. Для получения правого неравенства в (1) применить в нужном варианте
неравенство
Гельдера.
9. Показать, что в линейном нормированном пространстве для любых векторов
выполнено обратное неравенство треугольника
 
 
 
x  y  z  y  x z .
Каков его геометрический смысл в пространстве геометрических векторов с
нормой, равной длине вектора?
В качестве следствия получить неравенство

x
 
 x z

 z
(разность норм векторов не больше, чем норма разности векторов).
10. Доказать равенство ess sup f  inf
M R:
f  x   M , п.в. на E .
E
11. Доказать, что при 0  p  
f
LpE 
0 
f  0 п.в. на E .
f x  f
12. Показать, что п.в. на E выполнено неравенство
L  E

.
13. Доказать утверждение: пусть  :  0 ,     0 ,  ,   C  0 ,   - строго
1
убывает,
 d x .
0
Тогда, при любых a  0 , b  0 справедливо неравенство
a

0
b
a b    d x    1 d y ,
причем равенство имеет место только при b   a  .
14. Показать, что при 0  p 1 ; a  0 , b  0 справедливо неравенство
ab 
a p b p

,
p
p
p 
p
,
p1
причем равенство имеет место только при a p  b p .
15. Пусть f  L p  E , g  L p  E ; 0  p 1 , p  
p
; g  0 на E . Показать,
p1
что имеет место обращение неравенства Гельдера:

f g dx f
LpE

g
L p  E

.
E
16. Показать, что в неравенстве треугольника:
f , g  L p  E , 1  p   
f  g Lp  E ,
постоянная 1- точная.
17. Показать, что в неравенстве треугольника:
f g
Lp E 
 f
Lp E 
 g
Lp E

f , g  L p  E , 0  p  1 
f  g Lp  E ,
f g

 2 1/ p 1
Lp E 
f
Lp E 
 g
Lp E
постоянная 2 1/ p 1 - точная.
18. Показать, что в модифицированном неравенстве треугольника:
f , g  L p  E , 0  p  1 
f  g Lp  E ,
f g
Lp


E
f
p
LpE


g
постоянная 1 - точная.
19*. Показать, что формула вычисления нормы линейного функционала
Ag
 f  
f g dx,
f  L p  E  , ( 1 p   , 1 / p  1 / p  1 ) ,
E
именно,
Ag  g
сохраняет силу при g
L p  E
L p  E

,
 .

20. Показать, что для измеримой функции g


sup

L p  E 

причем, если g  0 , то
g
g
L p  E


 g d x :   L p  E ; 
LpE

1  ,


E

 sup    g d x : 0    L p  E ; 
E
LpE


1  .

21. В пространстве С  a , b  непрерывных функций на отрезке
для функций x  С  a , b 
x
Проверить выполнение
канонической норме
2



свойств
x
C
b
 xt 
a
2

d t

нормы.
1/ 2
.
Будет
ли
она
 max x  t  ?
t  a , b

22. Можно ли в пространстве С  a , b  ввести нормы по формулам
1)
или
2)
x

xt  ,
max
t  a ,  a b  / 2 
x  max x  t   max x  t  ?
t  a , b

t  a , b

 a , b  введем
эквивалентна
LpE

1/ p
p



23. В пространстве С
отрезке
1
 a, b 
непрерывно дифференцируемых функций на
 a , b  введем для функций x
x
2,1



b
 xt 
свойств
x
24.
Показать,
пространстве С
что
1

d t

2
a
Проверить выполнение
канонической норме
 С 1  a , b норму Соболева
1/ 2



b

a
нормы.
C1
величина
x  t 
2
Будет

d t

ли
1/ 2
.
она
эквивалентна
 max x  t   max x  t  ?
t  a , b
x
C

t  a , b
 max x  t 
t  a , b

является

нормой
в
 a , b . Будет ли она эквивалентна канонической норме
x
C1
 max x  t   max x  t  ?
t  a , b

t  a , b

25. При 1  p   показать, что множество последовательностей

l p   x   x k k N :


x

l    x   x k  k  N :

p
 


x


k 1

p
xk



1/ p

  , 1  p  ;

 sup x k    ,
k N

p  ;
образует линейное нормированное пространство.
26. Можно ли в пространстве l q при 1  p  q   ввести норму

27*. А) При 1  p  q   показать, что x
q

 x
p

x
p
?
(неравенство Йенсена
для последовательностей)
Б) В пространстве l p при 1  p  q   введем норму

x
q
. Проверить
выполнение свойств нормы. Будет ли эта норма эквивалентна исходной норме

x p?
28. Привести пример последовательности функций, сходящейся по норме
L p  E  , 0  p   , но не сходящейся почти всюду на E . Возможен ли такой
пример в L   E  ?
29. Показать, что из последовательности, сходящейся по норме
L p  E  , 0  p   , можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти
всюду на E .
30. Привести пример последовательности функций, сходящейся почти всюду на
E но не сходящейся по норме L p  E  , 0  p   .
31. Докажите, что линейный оператор удовлетворяет условию Липшица тогда и
только тогда, когда этот оператор непрерывен.
32. Докажите, что линейный ограниченный оператор переводит
фундаментальную последовательность в фундаментальную.
33. Докажите, что всякий линейный оператор переводит выпуклое множество в
выпуклое множество. Верно ли, что образ замкнутого множества при линейном
непрерывном операторе замкнут?