САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет Технической Кибернетики Кафедра Измерительных Информационных Технологий Системы и сети связи Отчет по лабораторной работе №2 «Спектры простых сигналов» Студент: Верхотуров А. Группа: 3085/2 Преподаватель: Богач Н.В. г. Санкт-Петербург 2013 Цель работы Получить представление о тестовых сигналах во временной и частотной областях. Реализовать операцию свертки сигналов. Постановка задачи В командном окне MATLAB и в среде Simulink промоделировать следующие тестовые сигналы: полигармонический сигнал y sin x sin 3x y sin x cos x y sin x 3sin 3x 5sin 5x треугольный сигнал меандр треугольный сигнал путем свертки двух меандров. Получить их спектры. Теоретическое обоснование При реализации операции свертки одна из функций берется в исходном виде Ф1(f’), а для другой производится сдвиг по оси абсцисс и изменяется её направление: Ф2(-f’+f). Эти функции перемножаются и произведение интегрируется, то есть, находится площадь под кривой, соответствующей произведению. Прямоугольный импульс с единичной амплитудой обозначается символом ∏(𝑡, 𝑇и ) . Первый аргумент обозначает положение импульса на горизонтальной оси, второй – ширину импульса. Спектр импульса выражается следующим образом: ∞ Ф(𝑓) = ∫ ∏(𝑡, 𝑇и ) 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = −∞ 𝑇и /2 ∫ 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = −𝑇и /2 sin(𝜋𝑓𝑇и ) . 𝜋𝑓 f – частота пределы интегрирования – от минус до плюс бесконечности. Так как здесь вычисляется спектральная плотность, то интеграл берётся от одного прямоугольника, и, соответственно, переходит на пределы интегрирования от -Tи/2 до Tи/2 t – время периода, Tи – время импульса. sin( x) Сам спектр представляет собой функцию вида ,или, как его называют, sinc(x). x Спектр импульса sinc( f и t ) можно записать так: 1 sinc (f и t ) sin( f и t ) 1 П( f , fи ) f и t fи Ступенчатый импульс можно представить в виде суммы нескольких прямоугольных импульсов. Тогда, ПФ для этого вида импульса также представляется в виде суммы двух составляющих – ПФ прямоугольного импульса и ПФ функции, смещенной по аргументу. Таким образом, для импульса, представленного суммой импульсов 2П(t,T0) и П(t-T0/2,T0), спектр выражается следующей формулой: Фи 2Т 0 sinc( fТ 0 ) е jfT0 T0 sinc( fT0 ) T0 sinc( fT0 )( 2 e jfT0 ) Ход работы 1. Полигармонический сигнал и его спектр в командном окне MATLAB Вычислим значения во временной и частотной области простых полигармонических сигналов, построим графики. o сигнал y=sin(x)+sin(3x) – рис 1 o сигнал y=sin(x)+cos(x) – рис 2 o сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x) – рис 3 %полигармонические сигналы x = 0:0.01:4*pi; f=100*(0:255)/512; %сигнал y=sin(x)+sin(3x) figure y1 = sin(2*pi*x)+sin(2*pi*3*x); plot(x(1:200),y1(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+sin(3x) figure s1 = fft(y1,512); ss1 = s1.*conj(s1)/512; plot(f,ss1(1:256)) grid %сигнал y=sin(x)+cos(x) figure y2 = sin(2*pi*x)+cos(2*pi*x); plot(x(1:200),y2(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+cos(x) figure s2 = fft(y2,512); ss2 = s2.*conj(s2)/512; 2 plot(f,ss2(1:256)) grid %сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x) figure y3 = sin(2*pi*x)+3*sin(2*pi*3*x)+5*sin(2*pi*5*x); plot(x(1:200),y3(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+cos(x) figure s3 = fft(y3,512); ss3 = s3.*conj(s3)/512; plot(f,ss3(1:256)) grid а б Рис. 1. сигнал y=sin(x)+sin(3x). а – временная область, б – частотная а б Рис. 2. сигнал y=sin(x)+cos(x). а – временная область, б – частотная 3 а б Рис. 3. сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x). а – временная область, б – частотная Как видно из графиков, частотная область состоит из всплесков в частотах составляющих полигармонических сигналов. Тот факт, что это всплески, а не точечные подъёмы, объясняется конечностью сигналов. 2. Треугольный сигнал и его спектр в командном окне MATLAB Вычислим значения треугольного сигнала, прямо зададим значения у (функция у=|x|+c). Построим графики во временной и частотной области – рис 4. %треугольный сигнал x = 0:0.01:4*pi; f=100*(0:255)/512; %сигнал figure y = abs(x-ceil(x)+0.5); plot(x(1:200),y(1:200)) grid %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(f,ss(1:256)) axis([-1 max(f) 0 10]) grid а б 4 Рис. 4. треугольный сигнал. а – временная область, б – частотная Как будет видно ниже, спектр треугольного сигнала будет спадать круче спектра меандра. 3. Меандр и его спектр в командном окне MATLAB Так же, как и в треугольном сигнале, зададим значения у прямо Графики – рис 5 %меандр figure y=[ones(1,100) zeros(1,100)]; plot(y) grid %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(ss(1:256)) grid а б Рис.5. меандр. а – временная область, б – частотная Как и предсказано, спектр является функцией вида sinc(x). 4. Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в командном окне MATLAB. Теперь проверим высказывание, утверждённое в теоретическом обосновании, и построим треугольный сигнал свёрткой двух меандров. Построим графики (рис. 6) %треугольный сигнал путем свертки меандров figure yy=[ones(1,100) zeros(1,100)]; %меандр y = conv(yy,yy); plot(y) grid 5 %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(ss) axis([0 300 0 50]) grid а б Рис. 6. треугольный сигнал. а – временная область, б – частотная Как и было сказано, получился треугольный сигнал. 5. Полигармонический сигнал и его спектр в среде Simulink Используя средства среды Simulink, построим полигармонические сигналы рис.7. Схема simulink для визуализации сигнала y sin x sin 3x и его спектра 6 Рис.7.1. Сигнал. Рис.7.2. Спектр сигнала рис.8. Схема simulink для визуализации сигнала Рис.8.1.1 sin(x) Рис.8.1.2. cos(x) Рис.8.1.3 сумма рис.9 Схема simulink для визуализации сигнала Рис.9.1. Сигнал. y sin x cos x и его спектра Рис.8.2 Спектр y sin x 3sin 3x 5sin 5x и его спектра Рис.9.2. Спектр сигнала 7 6. Треугольный сигнал и его спектр в среде Simulink. рис.10 Схема simulink для визуализации треугольного сигнала и его спектра Рис.10.1. Сигнал. Рис.10.2. Спектр сигнала 7. Меандр и его спектр в среде Simulink. рис.11 Схема simulink для визуализации меандра и его спектра 8 Рис.11.1. Сигнал. Рис.11.2. Спектр сигнала 8. Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в среде Simulink. рис.12 Схема simulink для визуализации треугольного сигнала, полученного из меандра, и его спектра Рис.12.1 Сигнал Рис. 12.2. Спектр сигнала Построенные сигналы за допущением по дискретности соответствуют теоретическим, спектры, соответственно, имеют множественные локальные максимумы по причинам дискретности. 9 Вывод Треугольный импульс обозначается символом ∆(𝑡, 𝑇и ). Такой импульс представляется 𝑇 в виде свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью 2и: ∆(𝑡, 𝑇и ) = 2 𝑇и 𝑇и ∏ (𝑡, ) ∗ ∏ (𝑡, ) 𝑇и 2 2 Спектр выражается через квадрат спектра прямоугольного импульса: ∆(𝑡, 𝑇и ) ↔ 2 𝑇и 𝑇и 2 sin2(𝜋𝑓𝑇и /2) [ sinc(𝜋𝑓 )] = 𝑇и 2 2 𝜋 2 𝑓 2 𝑇и /2 В данной работе фильтры используются для выполнения свертки. 10