Экзаменационный билет №1

Экзаменационный билет №1
1,Частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы с одной
нелинейностью. Основной случай
Частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы с одной
нелинейностью.
В предыдущих главах рассмотрены вопросы нелинейной (линейной) коррекции,
построения области абсолютной
устойчивости в пространстве параметров
корректирующего устройства и автоматизации проектирования нелинейной системы
автоматического управления, описываемой дифференциальными уравнениями
(1.1)
x  Ax   ( );   c' x
(1.2)
0   ( ) /    ,  (0)  0
На практике наряду с нелинейными элементами (1.2) часто встречаются
нелинейности, удовлетворяющие следующим условиям
0   ( , z ) /   f ( )
21 1  zsign   /    ,
z= ' x, 0  f ( ) /   , f (0)  0, z  1.
(1.3)
К таким системам (1.1) с нелинейностью (1.3) относятся следующие системы
автоматического управления (в частности, гидравлические приводы с дроссельным
управлением [62], которые нашли широкое применение в промышленности, транспорте и
авиации ).
В многочисленных работах советских и зарубежных авторов установлены частное
критерии абсолютной устойчивости для широкого класса нелинейных систем (1.1), (1.2).
Некоторым частным вопросам устойчивости системы (1.1), (1.3) посвящены работы В.А.
Хохлова [62], A.M. Летова [36], Н.С. Гамынина [22], Б.Ж. Майгарина [42],
О.Н.Комарницкой [32] и многих других.
Однако, задача об абсолютной устойчивости системы (1.1) с нелинейностью (1.3)
остается нерешенной актуальной проблемой.
В первым параграфе получены частотные критерии абсолютной устойчивости
следящей системы Э (1.3), когда собственные значения матрицы А находятся в левой
полуплоскости на мнимой оси и в начале координат.
Во втором параграфе получены частотные критерии абсолютной устойчивости
следящей системы со многими нелинейностями различных типов при тех же
предположениях о собственных значениях матрицы А.
В третьем параграфе получены частотные критерии точечной устойчивости в
целом неединственного положения равновесия следящей системы со многими
нелинейностями различных типов при вышеуказанных предположениях.
В четвертом параграфе для подтверждения ценности доказанных теорем и
эффективности полученных частотных критериев абсолютной устойчивости приводится
расчет устойчивости рулевого дроссельного гидропривода летательного аппарата с
учетом нелинейности золотникового распределителя и трения в гидр двигателе.
1.1 Частотные критерии абсолютной устойчивости гидравлической системы с одной
нелинейностью
В регулируемых системах используется преимущественно гидравлические
исполнительные механизмы с дроссельным управлением. Это объясняется простотой их
конструкции, малыми габаритами и высокими быстродействием.
В этом параграфе получены частотные критерии абсолютной устойчивости
регулируемой системы (1.1) с одной нелинейностью (1.3) для основного и критических
случаев. Приведенные теоремы об абсолютной устойчивости регулируемой нелинейной
системы обобщают результаты А.М. Летова [36],
Б.Ж. Майгарина [42], О.Н.
Комарницкой [42] и др.
Пусть объект управления описывается системой дифференциальных уравнений
вида
x  Ax  ( , z ), x(0)  x0 ,   c' x,
(1.4)
0   ( , z ) /   f ( ) 21 1  zsign   /    ,
(1.5)
0  f ( ) /   , z  ' x,
z  1,
где A- постоянная матрица порядка nxn ; x, b, , c  векторы, порядка nx1 ;  ( , z ) характеристика нелинейного элемента,  - регулятор Лурье. Предполагается, что пара
(А,в) вполне управляема.
Основной случай. Собственные значения матрицы А находятся в левой
полуплоскости. Введем следящие условия
(I)
 A'    c  0,
 '    1  0 .
(II)
действительная
Здесь  - произвольная
константа,   0 - произвольная
положительная константа.
Теорема 1.1 Пусть матрица А гурвицева и выполнены условия (I), (II). Для
абсолютной устойчивости положения равновесия системы (1.4) с нелинейностью (1.5)
достаточно, чтобы
 1  Re(  i )W (i )  0   0,
(1.6)
W(s)- передаточная функция системы (1.4), (1.5).
Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова

 ( x, )  x' Нx      , z d .
(1.7)
0
Дифференцируя соотношение (1.7) по t в силу системы (1.4), получим
1
V  x' ( A' H  HA) x  2 x' ( H  A' c)  c'  2  x'A'   ' ,
2

 

0
 ( , z )
d .
z
(1.8)
где
(1.9)
Прибавим и отнимем слагаемое  (   1 )   ( 1   )  0 из выражения (1.8).
После несложных преобразований имеем
V   (   1 )   ( 1   )  x' ( A' H  HA) x 
2 x' ( H  1 A' c  1  c)  (c'     1 ) 2 
2
2
 x' (A'    c)  ('   1 ),
(1.10)
где   0 - произвольная положительная константа.
При выполнении условия (I) предпоследнее слагаемое в (1.10)
обращается в нуль.
Заметим, что на основании (II), (1.5), (1.9) последнее слагаемое в (1.10) при любом
  0 имеет отрицательный знак.
Если   0 , то  ( , z ) / z  0 и   0.
(1.11)
Выберем теперь положительно определенную матрицу H  H '
из условия
V   (   1 )   ( 1   )  0.
Для этого достаточно [70], чтобы при всех   0
 ( )  Re[ 1  c'   c' A( A  i)1  ]  0
(1.12)
1. и была вполне управляема пара (A’b). Из (1.12) несложно получить (1.6).
2. Управляемость нелинейной системы
3.Пример.
Экзаменационный билет №2
1. Частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы с одной
нелинейностью. Система управления имеет одно интегрирующее звено
2. Цифровой сигнал
Цифровые сигналы
Во всем мире сейчас активно развивается цифровая телефония. Качество цифровой
телефонной связи значительно выше, чем обычной, поскольку цифровые сигналы меньше
боятся всякого рода помех. Цифровой телефон позволяет предоставить нам массу
дополнительных услуг. Появляется возможность к одной и той же телефонной линии
подключить, казалось бы, внешне совершенно различные устройства – телефонный
аппарат и персональный компьютер. Через цифровую телефонную сеть владельцам
персональных компьютеров открывается доступ к банкам данных с широким
ассортиментом информации.
В наши дома приходит цифровое кабельное телевидение, дающее необыкновенную
четкость изображения и сочность красок; на прилавках магазинов мы можем увидеть
аппаратуру цифровой звуко- и видеозаписи, обеспечивающую уникальное качество звука
и изображения. Что же такое цифровой сигнал? Впервые мы столкнулись с ним, когда
обсуждали факсимильный сигнал, полученный с черно-белого изображения, не
содержащего полутонов.
Цифровыми сигналами являются телеграфные сигналы и сигналы передачи данных,
вырабатываемые компьютерами. Таким образом, можно сказать, что цифровой сигнал –
это последовательность импульсов. Если принять условно факт наличия импульса за 1, а
факт его отсутствия за 0, то импульсную последовательность можно представить как
чередование двух цифр: 0 и 1. Отсюда и появилось название «цифровой сигнал». Число,
которое принимает только два значения: 0 и 1, называется «двоичной цифрой». В
переводе на английский это звучит как «binary digit». В практику широко вошло
сокращение, составленное из начальных и конечных букв английского словосочетания,
т.е. слово «bit», что на английском читается как бит. Итак, одна позиция в цифровом
сигнале есть 1 бит; это может быть либо 0, либо 1. Восемь позиций в цифровом сигнале
объединяется понятием байт. При передаче цифровых сигналов естественным образом
вводится понятие скорости передачи – это количество бит, передаваемых в единицу
времени, чаще всего, в секунду.
3.Пример.
Экзаменационный билет №3
1. Частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы с одной
нелинейностью. Система управления имеет одно консервативное звено
2. Аналоговый сигнал
Дискретизация аналоговых сигналов
По своей природе многие сигналы (телефонные, факсимильные, телевизионные) не
являются цифровыми. Это аналоговые, или непрерывные, сигналы. Можно ли
«переложить» живую человеческую речь на язык нулей и единиц, сохранив при этом все
богатое разнообразие красок человеческого голоса, всю гамму человеческих эмоций?
Другими словами, речь идет о том, как заменить непрерывный процесс
последовательностью цифр, не потеряв при этом информации о непрерывном процессе.
С подобной проблемой мы сталкиваемся в жизни довольно часто. Если через очень
короткие промежутки времени (скажем, через 1с) наносить значения температуры воздуха
на график, то получим множество точек, отражающих изменение температуры (рис. 4.1).
Таким образом, имеем дело не с непрерывной кривой изменения температуры, а лишь с ее
значениями, отсчитанными через определенные промежутки времени. По сути говоря, мы
описали некоторый непрерывный процесс последовательностью десятичных цифр.
Подобный процесс называется дискретизацией непрерывного сигнала. Невыясненным
остался вопрос, как часто следует брать отсчетные значения непрерывной кривой, чтобы
отследить все ее изменения. Так, при более длительных промежутках времени между
наблюдениями за температурой воздуха не удается отследить все ее быстрые изменения.
Аналогичный подход лежит в процессе дискретизации телефонного сигнала. Если в цепь
микрофона (рис. 4.2), где ток является непрерывной функцией времени, встроить
электронный ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи
будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного
сигнала, и представлять собой ничто иное, как дискретный сигнал (см. рис. 4.2). Интервал
времени
через который отсчитываются значения непрерывного сигнала, называется
интервалом дискретизации. Обратная величина
(обозначим ее
частотой взятия отсчетов, или частотой дискретизации.
) называется
Отсчеты непрерывного сигнала, так же, как и отсчеты температуры, следует брать с такой
частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые
быстрые, изменения сигнала. Иначе при восстановлении этого сигнала по дискретным
отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет
отличаться от формы исходного (рис. 4.3). Это означает, что звук на приеме будет
восприниматься с искажениями. Чтобы разобраться с этим вопросом, начнем с колебания
струны. Вы тронули струну, она стала вибрировать и своим движением то сжимать, то
разряжать окружающий воздух или, другими словами, то повышать, то понижать его
давление. Слои воздуха повышенного и пониженного давления начали разбегаться во все
стороны от колеблющегося тела. Образовалась звуковая волна. Нечто похожее
наблюдаем, когда бросаем камни в воду и смотрим на расходящиеся кругами волны.
Гребни этих волн можно сравнить с областью сжатого воздуха, впадины – с областью
разреженного воздуха. Давление звуковой волны, распространяющейся от струны,
изменяется во времени по закону синусоиды. Чтобы отследить все ее изменения,
очевидно, достаточно брать отсчетные значения в моменты, соответствующие
максимумам и минимумам синусоиды т.е. с частотой, превышающей по крайней мере
вдвое частоту звукового колебания. Например, если струна совершает 20 колебаний/с
(частота 20 Гц), то максимальное звуковое давление будет наблюдаться через каждый 1/20
с, т.е. через 50 мс. Максимумы и минимумы кривой звукового давления разделены
интервалами в 25 мс. Значит, отсчетные значения по кривой должны следовать не реже,
чем через 25 мс, или с частотой 40 отсчетов/c (40 Гц). Обычно отсчетные значения на
кривой берут «с запасом»: не в 2 раза чаще, чем колеблется звук, а, скажем, в 10 раз. В
этом случае они очень хорошо передают форму кривой. Интересен случай, когда звуковые
волны излучают две одновременно колеблющиеся струны. На рис. 4.4 показаны три
варианта: вторая струна колеблется в 2, 3 и 10 раз чаще, чем первая. Давления двух
звуковых волн на пластину, помещенную на их пути, складываются. График
результирующего давления уже не является синусоидой. Мы видим, что быстрые
изменения в этой кривой обусловлены более высокочастотным колебанием (в данном
случае колебанием второй струны). Для того чтобы отследить все быстрые изменения
результирующего звукового давления, отсчетные значения следует брать с частотой, по
крайней мере вдвое превышающей частоту колебания второй струны. В последнем
варианте частота взятия отсчетных значений должна превышать 400 Гц. Это означает, что
отсчетные значения должны следовать не реже, чем через 1/400 = 0,0025 c = 2,5 мс, а
лучше – еще чаще, например через 0,5 мс. При изучении речи мы выяснили, что
голосовые связки у человека играют роль струн. Самое высокочастотное колебание этих
«струн», которое по рекомендации МСЭ необходимо еще учитывать, имеет частоту 3400
Гц. При переходе от аналогового речевого сигнала к цифровому это значение обычно
округляют до4000 Гц. Это значит, что при замене непрерывной кривой электрического
тока на выходе микрофона телефонного аппарата отсчетными значениями последние
необходимо брать с частотой 8000 Гц или, другими словами, не реже, чем через 1/8000 =
0,000125 c = 125 мкс.
Чтобы восстановить исходный сигнал из дискретного, достаточно пропустить дискретный
сигнал через фильтр нижних частот с граничной частотой полосы пропускания F и
подавить все «боковые» спектры. На выходе такого фильтра появится исходный
непрерывный сигнал. При слишком редкой дискретизации (низкая частота дискретизации
и большой интервал дискретизации
) будет иметь место наложение на спектр
исходного сигнала «бокового» спектра. Это приведет к искажению формы исходного
спектра, и значит, к отличию восстановленного сигнала от исходного. Наоборот, более
частая дискретизация позволит легко восстановить непрерывный сигнал из дискретного с
помощью несложного фильтра нижних частот. Таким образом, для безыскаженного
восстановления непрерывного сигнала из дискретного необходимо частоту
дискретизации
выбирать не ниже удвоенной ширины его спектра. Для телефонного
сигнала, как мы это видим,
= = 8 кГц.В 1933 году в работе «О пропускной способности
«эфира» и проволоки в электросвязи» В.А. Котельников доказал теорему, ставшую
основополагающей в теории и технике цифровой связи. Суть этой теоремы состоит в том,
что непрерывный сигнал, у которого спектр ограничен частотой F, может быть полностью
и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с частотой
= 2F, т.е.
через интервалы времени
. Мы не приводим полную математическую
формулировку теоремы, а также ее доказательство, а лишь ограничиваемся указанием
сути теоремы.
Квантование. Пусть в результате дискретизации непрерывного сигнала s(t) была
получена последовательность узких импульсов, которая представляет собой АИМ-сигнал.
Амплитуды импульсов равны в этом случае мгновенным значениям сигнала s(t) в
моменты
, где i = 0, 1, 2, 3, ...;
дискретизации.
– период следования импульсов, или интервал
Подвергнем полученный АИМ-сигнал квантованию по уровню (рис. 4.5). Для этого
диапазон возможных значений амплитуд (т.е. диапазон значений первичного сигнала)
делится на отрезки, называемые шагами квантования
. Границы этих отрезков
являются разрешенными для передачи значений амплитуд импульсов. Таким образом,
амплитуды передаваемых импульсов будут равны не мгновенным значениям первичного
сигнала, а ближайшим разрешенным уровням. Такое преобразование первичных сигналов
можно называть квантованной амплитудно-импульсной модуляцией (КАИМ).
Особенностью КАИМ-сигнала является то, что все его уровни можно пронумеровать (а их
число хотя и большое, но конечное) и тем самым свести передачу КАИМ-сигнала к
передаче последовательностей номеров уровней, которые этот сигнал принимает в
моменты
. Если шаги квантования одинаковы и не зависят от уровня квантования,
то квантование называют равномерным. Возможно неравномерное квантование, при
котором шаги квантования различны. В процессе квантования возникает ошибка
вследствие того, что передаваемый квантованный сигнал отличается от истинного. Эту
ошибку можно рассматривать как специфическую помеху – шум квантования. Последний
представляет собой случайную последовательность импульсов (рис. 4.6), максимальное
значение амплитуды которых не превышает половины шага квантования. Чем меньше шаг
квантования, тем меньше шум, но больше число передаваемых разрешенных уровней.
Следующий шаг в преобразовании сигнала состоит в переводе квантованного АИМсигнала в цифровой. Эта операция называется кодированием КАИМ-сигнала.
3.Пример.
Экзаменационный билет №4
1. Частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы с одной
нелинейностью. Система управления имеет два интегрирующих звена
2. Преобразование непрерывной системы в цифровую систему
Преобразование непрерывной системы в цифровую.
Кодирование. Познакомимся с одним замечательным свойством нашей системы
счисления – позиционностью. Изобразим какое-нибудь число, например 777. В нем один и
тот же знак «7» участвует 3 раза, но когда он стоит справа, то означает семь единиц, в
центре – семь десятков, слева – семь сотен. Таким образом, при записи числа цифра может
иметь начертание одно и то же, а цифровые значения – разные, в зависимости от места,
позиции, разряда, на котором она стоит. Такой принцип построения чисел называется
поместным, или позиционным. Для записи любых сколь угодно больших чисел
достаточно десяти цифр!Каждая позиция, или разряд, числа имеет определенный «вес»
(единицы, десятки, сотни и т.д.), поэтому число 777 можно расписать как
777 = 7 × 102 + 7 × 10 + 7,
т.е. как семь сотен плюс семь десятков плюс семь единиц. Если призвать на помощь
алгебру и вместо чисел записать буквы, то можно получить такую общую форму
представления числа:
или сокращенную – через коэффициенты, если опускать степени числа 10:
.
Число 10 является основанием системы счисления. Коэффициенты
(число единиц),
(число единиц второго разряда, т.е. десятков),
(число единиц третьего разряда, т.е.
сотен) и т.д. могут принимать значения, не превышающие основания системы: от 0 до 9. В
1665 г. французский математик Б. Паскаль показал, что за основание системы счисления
можно принять любое число, а это значит, что каждое число можно представить в виде
комбинации степеней не числа 10, какого-либо другого целого числа. Выберем, например,
число 7:
Ясно, что значения коэффициентов
должны теперь быть не больше нового
основания, т.е. 7: они могут принимать значения от 0 до 6. Представим число 777 в
семеричной системе, разлагая его по степеням основания 7:
.
Если опустить степени числа 7, как мы делаем при записи чисел в десятичной системе, то
получим семеричную запись этого числа: (2160)7. Здесь цифра 7 в индексе указывает
основание системы. В пятеричной позиционной системе всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В
ней число 777 будет представляться количеством «пятерок», «двадцатипяток» и т.д.:
.
Посмотрим, как будет представлено число 777 в двенадцатеричной системе. Поскольку в
ней должно быть двенадцать цифр, а мы знаем только десять, то придется ввести еще две
цифры, обозначив 10, скажем, буквой A, а 11 – буквой B. В результате получим
.
Как видите, можно придумать много различных позиционных систем счисления,
отличающихся только основаниями. И все они, вообще говоря, равнозначны: ни одна из
них не имеет явных преимуществ перед другой!Число 2 – это самое меньшее из чисел,
которое можно взять за основание системы счисления. Поэтому в двоичной системе
счисления всего две цифры: 0 и 1. Число в двоичной системе запишется так:
.
Если в десятичной системе «вес» каждой позиции (или разряда) числа равен числу 10 в
некоторой степени, то в двоичной системе вместо числа 10 используют число 2. «Веса»
первых 13 позиций (разрядов) двоичного числа имеют следующие значения:
212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Попробуем записать уже привычное нам число (777)10 в двоичной системе счисления,
представляя его в виде разложения по степеням двойки и отбрасывая потом при записи
сами степени:
Итак, в двоичной системе счисления вместо числа 777 приходится писать число
1100001001.При записи числа в двоичной системе каждая позиция занята двоичной
цифрой. Вместо двух слов «двоичная цифра» употребляют одно слово: «бит». Мы уже
упоминали, что оно произошло от английского «bit», составленного из начальных и
конечной букв словосочетания «binary digit», что в переводе с английского означает
«двоичная цифра». С помощью одного бита можно записать только число 0 и 1, двух бит –
числа от 0 до 3, трех бит – числа от 0 до 7, четырех бит – числа от 0 до 15 и т.д.
Десятичная запись:
012 3 4 5 6 7 8
9
10 11 ... 15 16
Двоичная запись:
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 ... 1111 10000
Чтобы записать числа от 0 до 1 000, потребуется десять бит. В двоичной системе
счисления даже сравнительно небольшое число занимает много позиций. Как теперь
перевести дискретные значения тока микрофона в цифровой двоичный код? В XVIII веке
крупнейший математик Л. Эйлер показал, что с помощью набора гирь 1, 2, 4, 8, и 16 кг
можно взвесить любой груз с точностью до 1 кг. Взвешиваемый груз (обозначим его
массу через М, кг) математически можно представить как
где каждый коэффициент a = 1, если соответствующую гирю кладем на чашу весов, a = 0,
если этой гирей не пользуемся при взвешивании. Таким образом, процедура взвешивания
сводится к представлению десятичного числа в двоичной системе счисления. Поясним это
на примере. Пусть нам нужно взвесить груз массой 21 кг. Поставим сначала на чашу весов
самую большую гирю – массой 16 кг. Поскольку она не перетягивает груз, оставим гирю
на чаше (
= 1) и добавим следующую – 8 кг. Ясно, что в этом случае чаша весов с
гирями перетянет чашу с грузом. Снимем эту гирю (
= 0) и установим гирю массой 4
кг. Проведя взвешивание до конца, мы увидим, что на весах остались гири массой 16, 4 и
1 кг. Значения коэффициентов
дают пятиразрядный двоичный код 10101 числа
21. Механический груз мы взвешивали на механических весах. Считая отсчетное значение
тока, появляющееся на выходе электронного ключа, своего рода «электрическим грузом»,
можно осуществить аналогичное взвешивание, но на этот раз электронным способом.
Такие «электронные весы» назвали кодером (от английского соder – кодировщик).
Допустим, отсчетное значение тока равно 21 мА. Роль «электрических гирь» в кодере
выполняют эталонные токи величиной 16, 8, 4, 2 и 1 мА, которые вырабатываются
специальным устройством. Каждая проба – подходит та или иная «гиря» либо нет –
производится в строго установленные промежутки времени. Вся процедура взвешивания
должна закончиться до прихода с электрического ключа следующего отсчетного значения
тока (напомним, для звуков речи это время составляет всего 125 мкс). Итак, сначала
отсчетное значение тока сравнивается с эталоном, равным 16 мА, и, поскольку оно
больше эталона, на выходе кодера появляется импульс тока, что соответствует двоичной
цифре 1. В следующий интервал времени к первому эталонному току добавляется второй
величиной 8 мА. Теперь суммарный вес «электрической гири» равен 24 мА. Это больше
отсчетного значения, поэтому второй эталонный генератор отключается. На данном
интервале времени импульс тока на выходе кодера не появляется, что соответствует
двоичной цифре 0. Думаем, читатели без труда завершат процедуру взвешивания. Таким
образом, за время взвешивания одного отсчетного значения кодер вырабатывает серию
импульсов, полностью повторяющую двоичный код отсчетного значения микрофонного
тока. Нельзя не напомнить вновь еще об одном виде искажений, появляющихся при
переводе отсчетного значения тока в двоичный код. Так, если кодированию подвергается
отсчетное значение 21,7 мА, кодер все равно выдает код 10101, как и в случае целого
значения 21 мА. Это и понятно, поскольку «взвешивание» проводилось с точностью до 1
мА – веса самой меньшей «электрической гири». Такое округление чисел в технике
называется квантованием, а разница между отсчетным значением тока и величиной,
набираемой двоичным кодом, – ошибкой квантования. Однако и искажения, вызванные
ошибками квантования, можно если и не исключить совсем, то по крайней мере
значительно уменьшить. Пусть, например, самая маленькая «электрическая гиря» будет
иметь «вес» 0,125 мА. Тогда, взяв восемь «гирь», соответствующие 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25;
0,125 мА, можно будет «взвешивать» отсчетные значения тока с точностью до 0,125 мА.
При этом число 21 представится 8-разрядным двоичным кодом 10101000, а число 21,7 –
кодом 10101101, где последние три цифры означают добавку 0,625 к числу 21.
Применение же 12-разрядного двоичного кода позволяет вместо числа 21,7 набрать
весьма близкое к нему число 21,6921895. Успехи в развитии интегральной
микросхемотехники позволили объединить в корпусе одной небольшой микросхемы
электронный ключ и кодер. Эта микросхема преобразует непрерывную (часто говорят
аналоговую) электрическую величину в двоичный цифровой код и известна под
названием аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Выпускаются АЦП с 8-, 10- и 12разрядными двоичными кодами. Интересно подсчитать, какую скорость имеет цифровой
поток, полученный из непрерывного телефонного сигнала путем дискретизации его через
125 мкс и 8-разрядного кодирования. За секунду ток микрофона изменяется 8000 раз. В 8разрядном кодере каждое измеренное значение тока представляется двоичным словом из 8
бит. Значит, каждую секунду в линию отправляется 8000 × 8 = 64000 бит, т.е. скорость
цифрового потока равна 64 кбит/сек.
Кодовая комбинация из 8 бит, образующая двоичное слово, называется байтом. Символы
в каждой кодовой комбинации отделены друг от друга временным интервалом tт, т.е.
следует с частотой
. Эта частота называется тактовой. Преобразование
отсчетов непрерывного сигнала в двоичный код называется импульсно-кодовой
модуляцией (ИКМ). В настоящее время этот способ получения цифровых сигналов из
аналоговых наиболее распространен. Системы передачи, использующие данное
преобразование сигналов, называются ИКМ системами. В иностранной литературе
используется аббревиатура РСМ (от английских слов pulse code modulation, что в переводе
как раз и означает импульсно-кодовая модуляция).
3.Пример.
Экзаменационный билет №5
1. Матричные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы со многими
нелинейностями
Матричные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы со многими
нелинейностями.
В первым параграфе рассмотрены вопросы об абсолютной устойчивости
регулируемой системы (1.4) с одной нелинейностью (1.5) (нелинейностью золотникового
распределителя гидравлического исполнительного
механизма) при различных
предположениях о полюсах передаточной функции.
Кроме
указанного
нелинейного
элемента
(1.5) к
существенным
нелинейностям системы (1.4) следует отнести функции насыщения по расходу ,
давлению и усилению ,трение в гидродвигателе и золотнике ,
гистерезис
электромеханического преобразователя и другие .
Таким образом, регулируемая система
несколькими нелинейностями различных типов .
относится
к
классу
систем
с
Результаты исследования этого класса нелинейных систем имеют
обобщающий характер. Сначала устанавливаются частотные критерии абсолютной
устойчивости единственного положения равновесия регулируемой системы с
несколькими нелинейностями различных типов при различных предположениях о
спектре матрицы А , а в следующем параграфе рассматриваются следящие системы с
неединственным положениям
равновесия при тех же предположениях.
Пусть регулируемая система описываются дифференциальным управлением
вида
x  Ах  В ( , z ),
  х, z  Lx. ,
 ( , z )  H  H1, H 2 , H 3 , H 4 ,
(1.29)
(1.30)
где А,В,С,L – постоянные матрицы порядков n*n, n*p, n*p,
p*n соответственно ;  ( , z ),  , z - векторы размерности p*1.
Предпологается, что пара (А,В) управляема .
Представим вектор  ( , z ) в следующем виде
 ( , z )   (1) ( (1) , z ),  ( 2) ( ( 2) ),  (3) ( (3) ),  ( 4) ( ( 4) ) ,
 (1)   1(1) ,  2(1) ,...,  к(1) ,  ( 2)   1( 2) ,  2( 2) ,...,  2( 2) ,
где
 (3)  1(3) ,2(3) , ...,т(3) , ( 4)  1( 4) ,2( 4) ,..., (f4) , к    m  f  p
Для удобства введем классы нелинейных элементов. Класс
 (1) ( (1) . )  f (1) ( (1) ) 1 / 2(1   sign  ) 0   (1) ( (1) . ) /  (1)   (1) ,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
 i

Н1  
 Здесь z=

 f (1) ( (1) )  [vf (1) ( (1) )  [1 ,  (1) (o.z )  0.i  1.k

i
i
i
i
i
 i

L, , L
– известная постоянная матрица порядка
k*n; z – вектор размерности k*1

Класс Н 2  i( 2 ) ( i( 2 ) ) 0  i2  ( i( 2 ) ) /  i( 2 )  i( 2) ,
_
i( 2) ( i( 2) )  [i( 2) ( i( 2) )  [1 ,i( 2) (0)  0, ш  1, l .

Класс Н3  i(3) ( i(3) ) 0  i(3) ( i(3) ) /  i(3)  i(3) .

S i( 3)  oi( 3) ( ) |t0 , t1 d i( 3) (t1 )  i[ i(3) (0)] либо
t
0
 i(3)  i(3) (t1 )  i(3) [ 0(3i ) ( ) t0 , t1 ] d i(3) (t1 )  i [ i(3) (0)],
t
0
.
 i(3) (0)  0,
Класс
i  1, m - множество гистерезисных, релейно- гистерезисных функций

H 4  i( 4) ( i( 4) ) i( 4) ( i( 4) ) i( 4 )  0,i( 4 ) ( i4  )  i4   0 при
0   i( 4 )   ,  i( 4 ) ( i( 4 ) )   i( 4 ) (0) при -    i( 4)  0,
  0,
i  1, f  множество разрывных функций
.
Основной случай.
Регулируемая система (1.29), (1.30) имеет единственное
положение равновесия х=0 (класс Н 4 отсутствует).
Для определения достаточных условий абсолютной устойчивости системы (1.29),
(1.30) в виде частотных критериев необходимо перейти к операторной форме записи
  W ( s)  0,
где W ( s)  C ( A  sE ) 1 B - передаточная матрица порядка рxр,
Е- единичная матрица порядка nxn; ~, ~ изображение оригиналов  (t ),  ( (t ))
соответственно, S- переменная преобразования Лапласа.
Прежде чем формулировать теорему, введем диагональные матрицы порядка
 *  (   k    m),  1  diag [ (1) ]1,
  ,  
( 2 ) 1
( 3) 1
,   diag
  (1) ,  ( 2 ) , 
 =diag  (1) ,  ( 2)  0,  (3)  0
( 3)
,  =diag  (1) , (2) , (3) ,

и следующие предложения
L  C'  0
BL   ( 1)  0.
Диагональные матрицы удовлетворяют условиям   0,  0,


 ( 1)  0, ( 2)  0, (3)  0 при S i(3)  i(03) ( ) t0 , t1 d i3 (t1 )  i  i(3) (0) и  (3)  0 при

t

0
S 
t
( 3)
i

 i(3) (t1 )  i(3)  0(3i ) ( ) t0 , t1
 d
( 3)
i


(t1 )  i  i(3) (0) , i  1, m.
0
Теорема 1.5
Пусть матрица А гурвицева и выполнены условия (  ), (П). Для
абсолютной устойчивости системы (1.29) с нелинейностями (1.30) различных типов
(классы Н 1 , Н 2 , Н 3 ) достаточно, чтобы
 ()   ( 1)  Re(  iv)W (i)  0  0.
(1.32)
Доказательство. 13ыполняютс функцию Ляпунова

V(  , )    S  ( , )d .
(1.33)
0
Дифференцируя функцию (1.33) по t в силу системы (1.29)получим
.
V  x Hx  x Hx     z   x  AH  HA x 
1


2 x  HB  AC     CB  x AL .
2


(1.34)

Здесь   S ( / z )d , где  / z - диагональная матрица порядка р  р, L- постоянная
0
матрица
порядка
p  n; , z-векторы
   1 )  0, ( 1   ) Е  0 )
к
порядков
р  1.
правой
части
Прибавляя
(1.34)
и
после
отнимая
(
несложных
преобразований имеем
V  (   1 )  ( 1   )  V1  x( AL  C  ) 
(1.35)
 ( BL   1 ) ,
где V1  xQx  2xF   M ,Q  AH  HA,
1
-F=HB+ ( AC   C ), M   1  Re CB.
2
При выполнении условия (1) теоремы предпоследнее слагаемое в (1.35) обращается
в нуль.
Заметим , что на основании (П), свойств нелинейности (1.30) при любом   0
имеет отрицательный знак.
Если
 i  0, то i ( i , zi ) / zi  0
i
и
 ii  0
и
 i ( i , z i ) / z i  0 и  i i  0, i  1, k .
если
 i  0,
то
(1.36)
Выберем теперь положительно определенную матрицу Н= Н 
из условия V1  0.
Для этого достаточно, чтобы при всех   0
 ( )  М  Re (CA   C )( A  i E ) 1 B 
0
(1.37)
и была вполне управляема пара (А,В).
Преобразуя (1.37), получим условие (1.32).
2. Преобразование аналогового сигнала в цифровой и обратно
Восстановление аналоговых сигналов
Все устройства, предназначенные для демодуляции сигналов, будут рассмотрены при
изучении конкретных систем передачи и аппаратуры, входящей в состав этих систем. При
приеме сигналов ИКМ для восстановления аналогового сигнала необходимо
преобразовать цифровой сигнал (последовательность двоичных импульсов) в
квантованный АИМ сигнал (такое преобразование называется декодированием) и затем
осуществить операцию демодуляции, т.е. выделения из АИМ-сигнала аналогового сигнала
s(t). Итак, при использовании ИКМ выполняются следующие преобразования аналогового
сигнала: в пункте передачи – амплитудно-импульсная модуляция, квантование и
кодирование; в пункте приема – декодирование и демодуляция квантованного АИМ
сигнала. Полученный на приеме аналоговый сигнал отличается от переданного, так как
образуется из квантованных импульсов, амплитуды которых равны не мгновенным
значениям сигнала s(t), а ближайшим разрешенным значениям. Таким образом, операция
квантования вносит в процесс передачи сигнала неустранимую ошибку, которая тем
меньше, чем больше уровней квантования. А как узнать, какое десятичное число
скрывается под его записью в двоичной системе? Правило простое: под каждым разрядом
двоичного числа следует записать его «вес». Те «веса», которые соответствуют
единичным разрядам, нужно сложить. Полученная сумма и явится десятичным числом.
Вот перед нами число 1001011, записанное в двоичной нумерации. Поступаем согласно
сказанному выше:
1
64
0
32
0
16
1
8
0
4
1
2
1
1
Как видим, заинтересовавшее нас число складывается из единицы, двойки, восьмерки и
шестидесяти четырех (1 + 2 + 8 + 64). Очевидно, оно равно 75. Попробуйте
самостоятельно определить, какому числу соответствует его двоичная запись 10110011. В
состав декодера входит преобразователь последовательного кода в параллельный
(рис. 4.7), на выходах которого появляется набор единиц и нулей, соответствующий
принятой кодовой комбинации. Каждая единица (токовый импульс) поступает на вход
сумматора с весом, где увеличивается в 2k раз. На выходе сумматора возникает импульс,
амплитуда которого определяется кодовой комбинацией на входе декодера. Например,
при прохождении кодовой комбинации 0100110 на первый, четвертый, пятый и седьмой
входы сумматора напряжение не подается (бестоковые импульсы), а на второй, третий и
шестой входы подается напряжение, которое увеличивается соответственно в 21, 22 и 25
раз. На выходе сумматора появляется напряжение, пропорциональное 21 + 22 + 25 = 38, т.е.
квантованный АИМ-сигнал. На следующем шаге необходимо из отсчетных значений тока
получить непрерывный ток. Сделать это нам поможет обычный конденсатор небольшой
емкости, который при кратковременном воздействии на него тока (т.е. отсчетного
значения) мгновенно зарядится и будет удерживать заряд до следующего
кратковременного воздействия. Отметим еще раз, что восстановленная таким путем
кривая непрерывного тока будет несколько отличаться от той, которая была получена на
клеммах микрофона: она будет иметь плоские ступеньки между отсчетными значениями.
Можно сказать, что процесс взятия отсчетных значений и последующего восстановления
непрерывной кривой тока микрофона сопровождается специфическими искажениями,
которые могут повлиять на качество воспроизведения звука. Однако на практике для
восстановления тока используют не конденсатор, а более сложные схемы, делающие
форму восстановленного тока похожей на форму исходного тока и тем самым сводящие
на нет действия указанных искажений.
3.Пример.
Экзаменационный билет №6
1. Матричные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы со многими
нелинейностями для критических случаев
Матричные критерии абсолютной устойчивости непрерывной системы
со многими нелинейностями для критических случаев.
Постановка задачи. Пусть регулируемая
система описывается
дифференциальными уравнениями следующего вида:
x  Ax  b   ,   cx , x0  x0 , t  0,  ,
(1)
A-
постоянная матрица nxn , b, c - векторы размерности nx1.
Нелинейность    удовлетворяет условию
0    /    ,  0  0
(2)
Система (1.1) с нелинейностью (1.2) либо (1.3) в операторной форме имеет
вид:
  W ( p)[  ( )]
(3)
1
где W  p   c  A  pE  b - передаточная функция, p - комплексная переменная
преобразования Лапласа, E - единичная матрица порядка nxn .
В теории абсолютной устойчивости рассматриваются случаи, когда
собственные значения матрицы A лежат в левой полуплоскости плоскости
комплексной переменной p (основной случай), а в критических случаях
матрица A помимо вышеуказанных собственных значений может иметь
чисто мнимые и нулевые.
Для критических случаев передаточная функция W  p  представима в
виде:
где
W  p 

p
   p ,
(4)
p  
   p ,
(5)
p 2  02
 p  
W  p   2
   p ,
(6)
p p  02
 1
W  p   2    p .
(7)
p p
Основной случай. Абсолютная устойчивость положения равновесия
x  0 системы (1) с нелинейностью (2) устанавливается частотным критерием
    Re 1  i W i    1  0    , 
(8)
где v - параметр Попова.
Критические
случаи.
Частотные
критерии абсолютной
устойчивости с учетом передаточных функций (4) –(7) соответственно
имеют вид:
W  p 
 ( ) = Re(1  i )  (i )     1  0   (, ) ,   0 ,
(9)


)  (i )  2   1  0   (, ),  0,   0
2
0
0



)

(
i

)


  1  0   (, ),
 ( ) = Re(1  i
2
2
2
0
 0 0
 ( ) = Re(1  i
  0,   0
 ( ) =    Re i (i )  0   (, ) ,   0, 1  0 .
(10)
(11)
(12)
В [3] установлена аналитичность  ( p) и 1/  ( p) , а также показан, что
знак вещественной части Re(1/  ( p) ) обратной функции 1/  ( p) совпадает
со знаком вещественной части Re  ( p) исходной функции  ( p) . Последнее
означает, что a(p) должен быть гурвицевым полиномом. Для этого  ( p) из
(2) представим как
a ( p ) A 0 ( p 2 )  pA 1( p 2 )
 ( p) 

.
(12)
b( p ) B 0 ( p 2 )  pB 1( p 2 )
Тогда умножив и разделив на B0 – p B1соотношение(12), получим
 ( p) 
A 0 B 0 p 2 A 1 B 1
B 0  p2B 1
2
2
p
A 1 B 0 A 0 B 1
B 0  p2B 1
2
2
.
(13)
Полученные результаты и выкладки (2) – (11) справедливы для обратной
функции 1/  ( p) с учетом представлений (12) и (13).
Наконец, для проверки условия (1) на мнимой оси (Re p=0) плоскости p
можно применить известные результаты [1,2,3] к исследованию
2
вещественных корней полиномов A 0 B 0  p A 1 B 1 либо A 1 B 0  A 0 B 1
из соотношения (13). Однако, это затруднительно.
Для применения предложенного подхода введем рациональную
функцию
R(u) =  g (u )
h(u )
(14)
где указанные полиномы взяты из соотношения (13), т.е.,
h(u)= A0(u) B0(u) + u A1(u) B1(u),
g(u)= A1(u) B0(u) –A0(u) B1(u), u= - p 2.
Разложим R(u) в степенной ряд по отрицательным степеням u:

s
s
g (u )
s
  s1  0  12  33  ...,
h(u )
u u
u
где h(u) = a0un+ a1un-1+…+ an-1u+an, g(u) = b0un+ b1un-1+…+ bn-1u+bn .
Тогда используя соотношения (10) и (11), получаем систему
-a0 S-1 =b0,
a0 S0 -a1 S1 =b1,
………………………………..
a0 Sn-1+ a1 Sn-2+….+an-1 S0 – a n S-1 =bn,
(15)
(16)
a0 Sq+ a1 Sq-1+….+ an Sq-n=0 (q=n, n+1,…),
для определения элементов бесконечной ганкелевой матрицы, у которой
главный минор конечного ранга n имеет вид:
 S 0 S1 ... S n1 


S
S
...
S

2
n 
S  1
(17)

 
 


S

S
...
S
n
2 n2 
 n1
Далее необходимо отметить, что для правильной дробно – рациональной
функции g(u)/h(u) система (16) справедлива, если положить параметр
S 1  0 и в полиноме g(u) коэффициент b0=0
Теорема 1. Пусть полиномы а(р), b(p) – гурвицевы и определитель
матрицы (17) не равен нулю. Тогда для дробно – рациональной функции
 ( p) выполняется условие (1).
Необходимым условием обеспечения неравенства (1) является
гурвицевость полиномов а(р) и b(p), а неравенство определителя S
матрицы (17) нулю обеспечивает отсутствие общих вещественных корней
h(u) и g(u) (т.е. эти полиномы должны быть взаимно просты). Последнее
означает, что эти полиномы не имеют общих мнимых корней и выполняется
условие (1) на мнимой оси:
a(i )
Re  ( i  )  Re
 0    R1
b(i )
Примечание. Целью уменьшения объема вычислений можно
рассмотреть определитель предпоследнего минора матрицы (17) без потерь
общности. Это следует из взаимосвязей определителей главных миноров
ганкелевой матрицы S.
Данное следствие кардинально не решает проблему размерности
вышеуказанной матрицы S. Поэтому предлагается подход, основанный на
свойствах действительных функций.
Из свойств действительных положительных функций и метода Д –
разбиения следует, что необходимо обеспечить гурвицевость полинома для
выполнения условия (1):
f(p)=b(p)+K a(p)
(18)
при всех значениях K.
Представим полином (18) в следующем виде и используем результаты [9]:
f(p)=h(-p2)+pg(-p2)
(19)
2
Тогда рациональная функция R(u) при u=-p разлагается в ряд(15) и
система (16) перепишется в виде для определения элементов S0, S1, S2,…
бесконечной ганкелевой матрицы S
при n=2m
a0 S0 =b1,
a0 S1 + a1 S0 =b2,
(20)
…………………………………..
a0 Sm-1+ a1 Sm-2+….+am-1 S0 =bm,
a0 Sq+ a1 Sq-1+….+ am Sq-m=0 (q=m, m+1,…)
при n=2m+1
-a0 S-1 =b0,
a0 S0 - a1 S-1 =b1,
(21)
…………………………………..
a0 Sm-1+ a1 Sm-2+….+am-1 S0 – a m S-1 =bm,
a0 Sq+ a1 Sq-1+….+ am Sq-m=0, (q=m, m+1,…).
Таким образом, главный минор конечного ранга m ганкелевой матрицы
S, элементы которой определяются из систем (20) или (21), приобретает вид
 S1 S 2 ... S m1 


S
S
...
S


2
m
S  1
(22)

 
 


S

 m1 S m ... S 2 m2 
С учетом (9) справедлива
Теорема 2. Для выполнения условия (1) необходимо и достаточно,
чтобы все коэффициенты полинома (18) были положительными и матрица
(22) должна быть положительно определенной при всех значениях К  [0, +
 ) и для нечетного n=2m+1 величина S-1>0.
В этой теореме необходимым условием выполнения соотношения (1)
будет гурвицевость полиномов а(р), b(p) при К=+  и К=0 соответственно, а
достаточным – положительная определенность матрицы (22).
Здесь надо отметить, что размерность матрицы (22) в два раза меньше
размерности матрицы (17).
Положительная определенность матрицы S определяется на основе
критерия Силвестра:
D1=S0>0,
 S0
 S1
D2= 
S1 
 >0,…, Dm=
S 2 
S0
S1
S1
S2
...
...


Sm


... S 2 m2
S m1
S m1
Sm
>0
(23)
Для исследования абсолютной устойчивости автоматических систем
положим
(1  p ) A( p ) 
 ( p) 
B( p)
1

B( p)

a( p)
,
b( p )
(24)
где  - параметр Попова,  - параметр нелинейности, свойственные
системам автоматического управления, W(p)=A(p)/B(p)- передаточная
функция нелинейной системы управления.
Если
выполняется неравенство h(-p2)  0 при p=i  из (14) с
использованием соотношения (24), то оно представляет собой частотный
критерий абсолютной устойчивости нелинейной системы автоматического
управления.
На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1)
установлены
матричные
критерии
положительности
вещественных дробно – рациональных функций;
2)
справедливость этих критериев с учетом соотношения (24)
проверена путем решения некоторых классических примеров теории
автоматического управления (система с идеальным реле, следящая система,
непрямое регулирование машины и др.) и полученные области абсолютной
устойчивости исследуемых систем [7] полностью совпадают с известными
результатами А.И. Лурье [8] и Е.П. Попова [9];
В заключение особо следует отметить, что эти матричные критерии
позволили применить критерии Рауса – Гурвица для исследования
абсолютной устойчивости нелинейной системы автоматического управления
широкого класса и показали возможность определения близости известных
достаточных условий абсолютной устойчивости к необходимым и, тем
самым, решения гипотезы Айзермана.
Таким образом, задача об абсолютной устойчивости сведена к
гурвицевости
полинома
(23),
что
равносильно
определению
асимптотической устойчивости линейной системы на основе гурвицевости
характеристического полинома и переходу к решению задачи 2.
Зная приведенный скалярный многочлен s p  , можно записать
систему линейных дифференциальных уравнений [12]:
y1  y 2
y 2  y 3
...............
y n   s n y1  s n 1 y 2    s 2 y n 1  s1 y n
(24)
где si  si / s0 , s0  0.
На основе этой системы (24) можно получить условия разрешимости
проблемы Айзермана в общем виде.
Последнее опирается на поиск
аналитических условий, при которых возможны хотя бы одна пара
сопряженных чисто мнимых корней или двукратный нулевой корень у
полинома s( p) . Эти условия определяются из равенства
 n 1  0 ,
(25)
где  n 1 - предпоследний главный минор матрицы Гурвица для полинома
s ( p) . Из равенства (25) и необходимых условий
si  0,
i  0, n можем
определить  ляп   max ,   max .
Ранее определение максимальных значений этих параметров из
частотных критериев (8) - (12) сводилось к решению задачи нелинейного
1
программирования:  ляп  max f   , где f - некоторая известная функция.
 
Тогда регулируемая система (1) при
x   A   ляп bc x
   ляп имеет вид:
(26)
В дальнейшем линейная система (26) может быть использована для
решения других задач регулирования.
2. Управляемость динамической системы
Управляемость произвольной динамической системы
В этом подразделе предлагается общий подход исследования динамических
характеристик объектов управления как механической, так и электромеханической
природы с целью решения задачи управляемости. В основу подхода заложен второй
метод Ляпунова.
Пусть произвольная динамическая система описывается дифференциальными
уравнениями в векторной форме
dx
 f ( x, u ) ,
dt
(5.1)
где x, f, u - векторы размерностей m, т и r соответственно.
Система (5.1) определяет дифференциальные уравнения возмущенного движения
РО ЗМ. Правые части (5.1) непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой
области D фазового пространства, Предположим выполненными условия fi(0, 0) = 0, тоща
точка О будет особой точкой (5.1) или, что то же, положением равновесия этой системы.
На управления наложены ограничения
(5.2)
u  U  ui ( x)  d , d  const  0 , x  E m ,


где Em - евклидово пространство,
i  1, r .
Задача 5.1. Требуется найти управление u  U ,
которое обеспечивает
устойчивость (асимптотическую устойчивость в цепом) системы (5.1) и переводит ее из
начального состояния х(tо) в состояние x(tl) = 0 за конечный промежуток времени tl - to .
Теорема 5.1. Если найдется управление u(х)  U и  положительно определенная
функция V(x), удовлетворяющие неравенству
dV
 h V
dt
,
h = const > О ,
(5.3)
тогда система (5.1) асимптотически устойчива в целом и управляема.
Доказательство. На основе (5.3) полная производная
V (x) ,
взятая в силу
системы (5.1), является отрицательно определенной функцией при некотором управлении
u(x) из U. Тогда функция V(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости в целом. Поэтому найденное управление и = и(х)
обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия x(t, t0, x0, u) = 0
системы (5.1) и выполнение предельного соотношения
lim x(t , t 0 , x0 )  0
(5.4)
t 
для любых начальных условий х0 = х(t0).
Теперь покажем управляемость системы (5.1), Это означает, что изображающая
точка х(t, t0, х0, u) (то есть движение системы (5.1) при управле-нии u(x) ) при условии
(5.3) достигает начала координат за
конечное
время tl - to. Действительно (5.3)
представимо в виде
dV ( x) d

dt
dt
с учетом того, что
при
V ( x)  0

V ( x)
2  2
V ( x)
d
V ( x)  h V ( x) ,
dt
dV V

f  x, u  . Из (104) имеем
dt
x
d
V ( x)  h
dt
или
x
2
 0 x  E m , 
(5.5)
(5.6)
- евклидова норма.
Интегрируя неравенство (5.6) вдоль движения х(t, t0, x0, u)в пределах от t0 до t (t > t0),
получим
V ( x(t , t 0 , x0 , u ))  V ( x0 )  h(t  t 0 )
для
t 0  t  t 0  h 1 V ( x0 )  t1 .
уменьшается от исходного значения
t1  h 1 V ( x0 ) .
Из (5.7) следует, что функция
V ( x0 )
(5.7)
V (x)
до нуля за конечное время t1, равное
Так как
V ( x) 

V ( x)
2 , то на основе (5.7) имеем
lim V ( x(t , t 0 , x0 , u ))  0 ,
(5.8)
t  t1
а для t > t1 при (5.3) получим, что
V(x(t, t0, х0, u) = 0
(5.9)
Таким образом, из (5.8) вытекает, что
lim x(t , t 0 , x0 , u)  0 ,
t t1
а из (5.9) имеем
x(t, t0, х0, u) = 0,
t > tl
Последние условия не противоречат предельному соотношению (5.4). Теорема
доказана.
3.Пример.
Экзаменационный билет №7
1. Частотные критерии точечной устойчивости неединственного положения равновесия
непрерывной системы
2. Управляемость электроприводаУправляемость гидропривода
В движение механические системы приводятся в основном с помощью электро- и
гидроприводов. Целесообразно отдельно рассмотреть приводы, так как они представляют
самостоятельный интерес.
Уравнения движения электрического привода имеют следующий вид:
x  x   ( )  Gu ,   Cx, x(t0 )  x0 ,
(5.28)
где x - п - мерный вектор фазовых координат, А, В, G, С - матрицы порядков п х п, п х m, п
х r, т х п соответственно. Нелинейные функции
 i() удовлетворяют неравенствам
0
i ( i )
 i ,
i
i (0)  0,
i  1, m
(5.29)
Задача 5.2. Необходимо найти управление u = u(x), обеспечивающее
асимптотическую устойчивость в целом электрической системы (128) с нелинейностями
(129) и переводящее ее из начального состояния х(t0) в состояние x(t1) = 0 за конечный
промежуток времени tl – t0.
Поставленную задачу устойчивости и управляемости решает следующая теорема
при использовании результатов первого подраздела.
Для этого введем матрицы М, H = H > 0 порядков r x п, п х п, диагональные
матрицы
   i im1  0,    i im1  0, L  li in1  0, h  0
,
функцию Ляпунова

V  xHx    ( ) d
(5.30)
0
и управление
u ( x)  h V
где
1
M sign y ,
y
1
y  M ' G ' Hx  M ' G ' C ' ,
2
(5.31)
причем размерность вектора у должна быть не
меньше п. Предполагается, что выход нелинейных функций
гурвицева и система
x  Ax  B ( ) асимптотически
 ( )
измерим, матрица А
устойчива в целом и ее
устойчивость обеспечивается функцией Ляпунова (5.30). Тогда справедлива
Теорема 5.5. Если  положительно определенная функция (5.30) и можно найти
управление (5.31), удовлетворяющие условию
V ( x)  2h V ( x) ,
(5.32)
то электрическая система (5.28) со многими нелинейностями(5.29) асимптотически
устойчива в целом и управляема.
Доказательство. Пусть V(x) - положительно определенная функция и найдем V в
силу системы (5.28), которая имеет вид
1


V ( x)  x( AH  HA) x  2 x  HB  AC x      CB  2 xHGu 
2


   CGu
(5.33)
По условию задачи
означает, что при u=0
x  Ax  B  ( )
асимптотически устойчива в целом. Это
1
1


V ( x)    (   1 )  x( AH  HA) x  2 x HB  AC   C    
2
2


 ( CB    1 )  0 x    0
(5.34)
После подстановки управления (5.31) в (5.33) с учетом (134) имеем
2 h V ( x)
V ( x)    (   1 )  
y  sign y
y
Так как
(5.35)
  (   1 )  0, то из (5.35) получаем
2h V ( x )
V ( x)  
y  sign y .
y
(5.36)
Для преобразования неравенства (5.36) проделаем следующие выкладки. Так как
y
sign y1  i ,
y
то
из (5.35), то при
yi2
yi  0 получим yi signyi 
.
y
С
использованием последнего неравенства условие перепишется в виде
V ( x)  2h V ( x) .
(5.37)
Таким образом, при управлении (131) сохраняется асимптотическая устойчивость
положения равновесия x(t, t0, x0) = 0 системы (5.28) и выполнение предельного
соотношения
lim x(t , t 0 , x0 )  0
(5.38)
t 
для любых начальных условий.
Осталось показать управляемость системы (5.28), т.е. фазовая точка
x(t, t0, х0, u) ( движение при управлении (5.31)) достигает начало координат фазового
пространства за конечное время tl - to. Интегрируя неравенство
V ( x)  h
которое следует из (5.37) при
x  0, в пределах от t0 до t (t > t0), получим
V  xt , t 0 , x0 , u   V  x0   ht  t 0 
для t0  t  t0 + h-1
V  x 0   t1 .
Последнее означает, что функция
V ( x0 )
V (x)
уменьшается от исходного значения
до нуля за конечное время
t *  h 1 V ( x0 ) .
Так как
V ( x) 

V ( x)
2 , то имеем
limV ( x(t , t0 , u ))  0,
(5.38)
t t
а для t > t1 из положительной определенности функции V(x) и (5.37) следует, что
V ( x(t , t0 , x0 , u ))  0 .
(5.39)
Следовательно, из (5.38), (5.33) - (5.37) имеем, что
lim x(t , t0 , x0 , u )  0
(5.40)
t t
а из (5.39)
x(t , t0 , x0 , u )  0
(5.ж41)
когда t > tl. Условия (5.40), (5.41) не противоречат предельному соотношению (5.38).
Полученные результаты справедливы не только в классе разрывных управлений,
но и в классе ограниченных непрерывных функций
u
h V ( x)
y
2
M  y.
3.Пример.
Экзаменационный билет №8
1. Частотные критерии точечной устойчивости неединственного положения равновесия
непрерывной системы для критических случаев
2. Управляемость гидропривода
Управляемость гидропривода
На практике наряду с нелинейными элементами (5.29) часто встречаются нелинейности,
удовлетворяющие следующим условиям
0
 ( , z )


f ( )
1
(1  zsign )
2


(5.42)
где
z  ex,
0  f ( ) /    ,
f (0)  0,
z  1.
К таким системам (5.28) с нелинейностью (5.42) относятся гидравлические
приводы с дроссельным управлением /125, 126/, которые нашли широкое применение в
землеройных машинах. Система (5.28) с одной нелинейностью (5.42) и одним
управлением перепишется в виде
x  Ax  b ( , z)  gu
где 
(5.43)
 cx, b, c, g - векторы размерности п х 1.
Введем следующие условия
A1   c  0
(5.44)
и управление
u  2h V ( x)
где
signy
,
y
y  g (ux   c    1 ),
(5.45)


0

d .
z
Задача 5.3. Найти управление и обеспечивающее устойчивость и управляемость
гидропривода (143) с нелинейностью (142).
Предполагается, что система
x  Ax  b  ( , z) асимптотически
устойчива в
целом. Функцию Ляпунова будем искать в (130)
Теорема 5.6. Пусть выполнены условия (5.43) и найдутся положительно
определенная функция V(x) и управление u = u(x), удовлетворяющие условию
V ( x)  2h V ( x)
(5.46)
Тогда гидравлическая система (5.43) с нелинейностью (5.42) асимптотически
устойчива в целом и управляема.
Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова

V ( x)  xHx     ( , z ) d
0
Дифференцируя (5.47) по t в силу системы (5.43), получим
(5.47)
1


V  x( AH  HA) x  2 x Hb  Ac     cb 2 
2


xA1 1b  yu
(5.48)
Прибавим и отнимем слагаемое
 (   1 )    (  1   )  0
из выражения (148). После несложных преобразований имеем:
V   (   1 )   (  1   )  x( AH  HA) x 
1
1 

 2 x Hb  Ac  c    ( cb    1 ) 2  x(A1   c) 
2
2 

( 1b   1 )  yu ,
(5.49)
где  >0,   0.
При выполнении условий (5.44) четвертое слагаемое в (5.49) обращается в нуль.
Заметим, что на основании второго условия из (5.44) предпоследнее выражение в (5.47)
имеет отрицательный знак. Действительно, если
  0,
то
  ( , Z )
0
Z
  0,
то
 ( , Z )
0
Z
и
  0 ,
при
и
  0
После подстановки управления (5.45) в (5.49) имеем
sign y
V   (   1 )   (  1   )   2h V ( x)
y
y
Так как
 (   1 )  0 ,  (  1   )  0 ,
V  2h V ( x) .
то из (150) получим
(5.50)
Таким образом, на основе теорем 5.1 и 5.4 следует, что исходная гидравлическая
система асимптотически устойчива и управляема. Управление из класса ограниченных
непрерывных функций
y
u  2h V ( x) 
y
2
обеспечивает асимптотическую устойчивость и управляемость гидравлической системы
(143) с нелинейностью (142) золотникового распределителя.
3.Пример.
Экзаменационный билет №9
1 Критерии устойчивости Рауса-Гурвица
Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной
динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком
Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства
алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как
критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Достоинством метода является
принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции
вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными
тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная
вычислительная ошибка).
Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть W(s)
= Y(s) /U(s) — передаточная функция системы, а U(s) = 0 — характеристическое
уравнение системы. Представим характеристический полином U(s) в виде
U(s) = a0 s^n + a1 s^{n-1} + ... + an
где s - оператор Лапласа.
Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица \Delta
по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты
характеристического уравнения от a1 до \an ;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так,
чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше \ n ставятся нули.
Тогда согласно критерию Гурвица:
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
все \ n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры
называются определителями Гурвица.
(Пример определителя Гурвица для характеристического уравнения пятой
степени.)[показать]
Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число
неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара — Шипара.
Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не
существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо
вычисление миноров низших порядков.
2. Управляемость с различными приводами
3.Пример.
Экзаменационный билет №10
1 Положительность вещественной части скалярной и матричной дробно-рациональной
функции
В первой главе получены частотные критерии абсолютной устойчивости
единственного и точечной устойчивости в целом неединственного
положения равновесия регулируемой системы с одной и многими
нелинейностями в основном и критических случаях. Проверка этих
критериев сводится к нахождению аналитических условий положительности
некоторой вещественной функции на мнимой оси. Это затруднительно.
Обобщая поставленную задачу о положительности вещественной части
рациональной функции на мнимой оси, рассмотрим ее решение в правой
полуплоскости.
Приведены эффективные и легко проверяемые аналитические условия
положительности вещественной части скалярной и матричной рациональной
функции в правой полуплоскости.
2. Функции Ляпунова. Теоремы устойчивости
3.Пример.
Экзаменационный билет №11
1 Положительность вещественной части скалярной и матричной дробно-рациональной
функции
В первой главе получены частотные критерии абсолютной устойчивости
единственного и точечной устойчивости в целом неединственного
положения равновесия регулируемой системы с одной и многими
нелинейностями в основном и критических случаях. Проверка этих
критериев сводится к нахождению аналитических условий положительности
некоторой вещественной функции на мнимой оси. Это затруднительно.
Обобщая поставленную задачу о положительности вещественной части
рациональной функции на мнимой оси, рассмотрим ее решение в правой
полуплоскости.
Приведены эффективные и легко проверяемые аналитические условия
положительности вещественной части скалярной и матричной рациональной
функции в правой полуплоскости.
2. Функция Ляпунова для системы с одной нелинейностью. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №12
1 Условия положительности вещественной части рациональных функций
2. Функция Ляпунова для системы с одной нелинейностью. Критический случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №13
1 Алгебраические критерии абсолютной устойчивости
2. Функция Ляпунова для системы со многими нелинейностями. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №14
1 Алгебраические критерии абсолютной устойчивости
2. Функция Ляпунова для системы со многими нелинейностями. Критические случаи
3.Пример.
Экзаменационный билет №15
1 Алгебраические критерии абсолютной устойчивости для критических случаев
2. Функция Ляпунова для системы с неединственным положением равновесия
3.Пример.
Экзаменационный билет №16
1 Передаточные функции для критических случаев
2. Функция Ляпунова для системы с неединственным положением равновесия.
Критические случаи
3.Пример.
Экзаменационный билет №17
1 Известные направления в теории абсолютной устойчивости
2. Функция Ляпунова для системы с непрерывной нелинейностью. Критические случаи
3.Пример.
Экзаменационный билет №18
1 Цифровые системы управления
2. Функция Ляпунова для системы с непрерывной нелинейностью. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №19
1 Операторные уравнения систем с одной и многими нелинейностями
2. Функция Ляпунова для системы с разрывной нелинейностью. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №20
1 Аналоговый и цифровой сигналы
2. Функция Ляпунова для системы с разрывной нелинейностью. Критический случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №21
1 Неподвижная точка-центр
2. Частотный критерий для гидравлической системы. Критический случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №22
1 Неподвижная точка-узел
2. Частотный критерий для гидравлической системы. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №23
1 Неподвижная точка-фокус
2. Частотный критерий для электрической системы. Критический случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №24
1 Неподвижная точка-седло
2. Частотный критерий для электрической системы. Основной случай
3.Пример.
Экзаменационный билет №25
1 Определение неподвижных точек нелинейных систем и их условия существования
2. Нахождение числа положительных корней полинома и условия отсутствия их
3.Пример.
Экзаменационный билет №26
1 Матрица Якоби и ее связь с неподвижными точками
2. Нахождение числа отрицательных корней полинома и условия отсутствия их
3.Пример.