Лекция №17 СМА 2015

Лекция №17
Кручение стержней с круглым поперечным сечением.
17.1 Расчеты на прочность.
17.2 Расчеты на жесткость.
17.3 Кручение в упругопластической стадии
17.4 Свободное кручение стержней некруглого сечения
17.5 Понятие о центре изгиба тонкостенных стержней
17.1 Расчеты на прочность.
Обеспечение прочности при кручении элементов строительных конструкций
круглого сечения производится по методу допускаемых напряжений на основе
неравенства
M max
 max  x  max    ,
(17.1)
Jx

где  max и  – наибольшее и допускаемое касательные напряжения в поперечном
max
сечении стержня; M x
 Mmax
xn   f - наибольший по абсолютной величине крутящий
max
момент, определяемый от расчетных нагрузок, M xn – наибольший по абсолютной
величине крутящий момент от нормативных
нагрузок;
надежности по нагрузке.
Левую часть неравенства перепишем в виде:
J
M max
 max  x    , Wx  W  x .
Wx
 max
 f – коэффициент
(17.2)
Здесь - Wx , ( W ) - момент сопротивления поперечного сечения стержня при
кручении (полярный момент сопротивления).
Для круглого сечения max  r  D / 2
Wx  W 
  r3
2

  d3
16
(17.3)
.
Для полого толстостенного цилиндра
Wx 
( D4 / 32)  ( d 4 / 32)  d 3
d

[1  ( )4 ] .
( D / 2)
16
D
(17.4)
Для тонкостенного кольцевого сечения, когда толщина стенки  во много раз
меньше среднего диаметра сечения d , можно считать, что касательные напряжения 
равномерно распределены по толщине  и равны средним напряжениям.
Wx 
 d 3  ( / 4)
(d/ 2)

 d 2
2
.
( 17.5)

Допускаемое касательное напряжение 
зависит от применяемой гипотезы
(теории) прочности
R
   k ,
(17.6)
где: k равно 1, 1+, 2, 3 соответственно при использовании 1-й, 2-й, 3-й и 4-й
гипотез прочности;
G, R,  – модуль упругости при кручении (модуль сдвига), расчетное
сопротивление и коэффициент Пуассона материала;
Действительно, при кручении стержня, элемент, выделенный в окрестности
точки, испытывает сложное напряженное состояние - чистый сдвиг (рис.17.1а,б)
Рис. 17.1 Деформация элемента стержня при кручении
Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния:  max   ,
 min   .
При переходе к пространственному напряженному состоянию главные
напряжения принимают значения:  1   ,  2  0 ,  3   .
По первой теории прочности эквивалентное напряжение (приведенное
напряжение) определится по формуле  i  1    R и условие прочности примет вид:
 max  R .
По второй
теории прочности  i  1   ( 2   3 )     (0   )    (1  )  R и
условие прочности примет вид:  max 
R
.
1 
По третьей теории прочности  i  1   3    ( )  2  R и условие прочности
примет вид:  max 
R
.
2
По
четвертой
теории
прочности
1
1
i 
[(1   2 )2  ( 1   3 )2  ( 2   3 ) 2 )]  [( ) 2  (  ( )) 2  (( )) 2 )]  3  R и
2
2
условие прочности примет вид:  max 
R
.
3
17.2 Расчеты на жесткость.
Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью.
Большие углы закручивания особенно опасны при передаче переменного во времени
момента, так как при этом возникают опасные для прочности крутильные колебания.
Условия жесткости стержня при кручении имеет вид
(17.7)
Mmax
xn
max 
  ,
где  max ,
   -максимальный
G  Jx
 
и допускаемый относительный угол закручивания
max
стерня, M xn - наибольший по абсолютной величине крутящий момент от
нормативных нагрузок.
Из условия жесткости имеем
(17.8)
M max
xn
Jx 
.
G   
Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения. Например, для сплошного
круглого сечения:
(17.9)
d4
32  M xmax
Jx 
,d  4
32
  G  [ ]
Пример 17.1 Стержень скручивается постоянным по длине моментом
M x  3кНм (рис.17.2). Дано:    45МПа ,    0, 25град / м , G  0,8 105 МПа .
Требуется подобрать диаметр стержня из условий прочности и жесткости.
Рис. 17.2 Кручение стержня
Решение
Подбираем диаметр из условия прочности
M xmax
M max  d 3 M xmax
16M xmax
16  3 102

3
 6,94см .
   , Wx  x ,
, d3
45 101  3,14
Wx
  16  
   
Подбираем диаметр из условия жесткости.

рад
   0, 25град / м  0, 25   0, 437 104
180
см
32  M xmax
32  3 102
d
4
 9, 67см
  G  [ ]
3,14  0,8 104  0, 437 104
Из двух найденных значений диаметра принимаем максимальный, полагая d  97 мм .
4
17.3 Кручение в упругопластической стадии
До сих пор предполагалось, что материал скручиваемого стержня деформируется
линейно - упруго в соответствии с законом Гука. Заменим реальную криволинейную
диаграмму сдвига условной – диаграммой Прандтля при сдвиге (рис.17.3)
Рис.17.3 Диаграмма Прандтля при сдвиге
Будем считать, что при    Т (предел текучести при сдвиге) справедлив закон
Гука и материал деформируется линейно-упруго. При напряжениях    Т возникают
пластические деформации сдвига, значения которых неограниченны, а напряжения
остаются постоянными и равными  Т .
С использованием указанного упрощения выясним, как будет видоизменяться
эпюра касательных напряжений в сечении при постепенном возрастании крутящего
момента M x . В упругой стадии напряжения  распределены вдоль диаметра по
линейному закону. При возрастании момента M x пропорционально возрастают и все
напряжения. Окончание этой стадии определяет равенство
(17.10)
M
 max  xТ   Т ,
Wx
когда в точках на контуре сечения впервые появится текучесть (рис.17.4а).
Рис.17.4 Образование пластического шарнира при кручении
Соответствующий крутящий момент обозначим M xТ . Из равенства(17.10) получим
(17.11)
  r3
M xT   Т Wx   Т
2
При дальнейшем возрастании момента пластическая зона будет все больше проникать
в глубь вала (рис.17.4,б), а сечение разделится на две зоны: упругое ядро, где    Т с
радиусом r Т и пластическую кольцевую зону r Т    r ,где    Т . Соответствующий
крутящий момент представим как сумму
M x  M x1  M x 2
, где момент упругого ядра найден по формуле
  rT3
,
M x1   Т
2
а момент пластической кольцевой зоны
r
r
2
Mx2    T dA    T 2 2 d     T  (r 3  rТ3 ) .
3
rТ
rТ
(17.12)
(17.13)
(17.14)
Момент упругого ядра M x1 связан с его погонным углом закручивания 
соотношением (см.16.7)
(17.15)
M
M

х1
G  Jx

х1
4
T
G  ( r / 2)
Это выражение является общим для упругого ядра и пластической зоны вследствие того,
что в упругопластической стадии, как и в упругой, по-прежнему справедлива гипотеза
плоских сечений.
Из (17.13) и (17.15)  
 Т (   rТ3 / 2)
найдем радиус (сокращаем на rТ3 )
4
G  ( rT / 2)

rТ  Т .
G
(17.16)
После подстановки (17.16) в выражения (17.13) и (17.14) суммарный крутящий момент
примет вид
  rТ3 2
2 rT3 2
  rТ3 2

1
M x  Т
   T  r 3   T
   T  r 3   Т
   T  r 3   Т ( T )3 , или
2
3
3
3
6
3
6
 G
(17.17)

2
1
M x    T  r 3   Т ( T )3
3
6
 G
График зависимости (17.17) от  изображен на рис.17.5
Рис. 17.5 Зависимость между относительным углом закручивания
и крутящим моментом в упругопластической стадии
При   , rT  0 пластическая зона стремится охватить все сечение и внутренний
2
момент стремится к своему предельному значению: М пред     T  r 3 .
3
Состояние стержня, когда во всех точках его поперечного сечения возникают
пластические деформации, называют пластическим шарниром.
Стержень
превращается как бы в пластический механизм, в котором углы закручивания
неограниченно растут при постоянном моменте М пред .
2
   T  r 3
4
3

  1,33 показывает, что от момента
Соотношение  
3
 r
М xТ
3
Т
2
первого появления пластических деформаций до полного исчерпывания несущей
способности крутящий момент должен возрасти в 1,33 раза. Другими словами, 
выражает резерв несущей способности стержня за счет упругопластических
свойств материала.
М пред
17.4 Свободное кручение стержней некруглого сечения
При рассмотрении деформации кручения стержней круглого сечения мы
пользовались гипотезой плоских сечений. Однако оказалось, что круглое сечение – это
редкое, хотя и важное, исключение когда сечения при закручивании не искривляясь
поворачиваются как плоские диски вокруг оси x .
При кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотеза плоских
сечений не выполняется. Происходит так называемая депланация сечений - сечения
искривляются (рис.17.6)
Рис.17.6 Депланация прямоугольного сечения при кручении
Точное решение задачи кручения для некоторых типов поперечных сечений дается в
курсе теории упругости.
Для удобства использования результаты расчета стержней любого поперечного
сечения принято представлять в той же форме, что и для стержней круглого
поперечного сечения, а именно:
Mmax
Mx
M xl
M xmax
xn
   ; max 
;  
   .
 ;  max 

W
G  Jx
G  Jx
Jx
x
J x , Wx - эмпирические или расчетные коэффициенты, называемые
Здесь
соответственно полярный момент инерции и момент сопротивления при кручении.
Для стержней некруглого поперечного сечения J x , Wx берутся из справочника.
Формулы для вычисления наибольших касательных напряжении  max и
положение точек, вблизи которых они имеют место, для некоторых сечений при
кручении приведены в табл.17.1.
В
таблице
17.1 представлены
также
геометрические характеристики сечений
тонкостенные стержней открытого и
замкнутого профилей. Стержень называется тонкостенным, если толщина стенки 
значительно меньше размеров поперечного сечения. Срединная линия (на рисунках
показана пунктиром) это линия равноудаленная от боковых поверхностей стержня.
Таблица 17.1
Геометрические характеристики сечений стержней, испытывающих кручение, и формулы
для определения наибольших касательных напряжений.
Поперечное
сечение
стержня
Момент
сопротивления
кручению
Момент
инерции при
кручении J x
Wx
Положение точек, где
действуют
наибольшие
касательные напряжения,
величина  max
Во всех точках по контуру
круга
  d3
16
  d4
32
 max 
M x max
Wx
Во всех точках наружного
контура
4
  d 3   d0  
 1 

16   d  
4
  d4   d0  
 1 

32   d  
 max 
В точках внутреннего
контура

n

i 1
3
i
 Si
3  max
1 n 3
  i  Si
3 i1
M x max
.
Wx
d0
  max
d
В
точках
контура
посредине
стороны
с
наибольшей
толщиной
стенки
 max 
M x max   max
.
Jx
В середине i -го участка
i 
2     min
 -площадь
сечения,
ограниченная
срединной
линией
контура
4  2
,
ds
s 
при   const
4  2  
;
s
s-длина
срединной
линии
M x  i
Jx
На участке с наименьшей
толщиной стенки
 max 
M x max
.
Wx
В
середине
длинных
сторон контура (точки 1)
k1  h  b
2
k3  h  b
3
 max  1 
M x max
Wx .
В
середине
коротких
сторон контура (точки 2)
 2  k 2   max
Wx1  2  h0  b0  1
Wx2  2  h0  b0  2
Посредине
стороны
2  h02  b02  1  2
h02  b01
1 
Mx
Wx1 .
Посредине
стороны
2 
длинной
короткой
Mx
Wx 2
Коэффициенты k 1 , k 2 , k 3 для расчета прямоугольных сечений на кручение
представлены в табл.17.2
Таблица 17.2
17.5 Понятие о центре изгиба тонкостенных стержней.
Как было отмечено выше, касательные напряжения в поперечных сечениях
тонкостенных стержней образуют поток, параллельный контурным линиям каждого
элемента стержня. В некоторых случаях этот поток может создавать момент
относительно оси стержня. Рассмотрим изгиб консольного стержня швеллерного
сечения в плоскости Oxy (рис.17.7,а). Характер распределении касательных
напряжений такой же, как и в двутавре . В стенке действуют напряжения  xy , а в
полках - касательные напряжения  xz .Эпюры этих напряжений приведены на рис.17.7,б.
Рис.17.7 Касательные напряжения в тонкостенном стержне  xy ,  xz
Равнодействующей касательных напряжений в стенке является сила T1 , которая
практически равна поперечной силе Qy (T1  Qy ) . Касательные напряжения в полках
приводятся к равнодействующим силам T2 (рис. 17.7,в). Нетрудно видеть, что
равнодействующие касательных сил T1 , T2 дают момент относительно центра тяжести
сечения, вызывающий закручивание стержня. Таким образом, если линия действия
силы P проходит через центр тяжести сечения O , то балка будет испытывать изгиб с
кручением, что является нежелательным.
Определим положение точки плоскости, при прохождении через которую линии
действия силы P поток касательных напряжений не будет вызывать закручивание
стержня. Очевидно, что такая точка А расположена на оси Oz левее стенки швеллера
(рис.17.7,в), поскольку при этом равнодействующие касательных сил T1 и T2 будут
давать моменты разных знаков относительно точки А . Составим уравнение равновесия
 M A  0 , T1  e  T2  h  0 . Отсюда находим координату точки А
T 2 h
, T1  Q
(17.18)
T1
Таким образом, если линия действия силы будет проходить через точку А , то
стержень будет испытывать только изгиб. Поэтому точка А называется центром
изгиба. В общем случае центр изгиба не совпадает с центром тяжести сечения и его
положение подлежит определению.
e
Для швеллера имеем:
касательные
статический момент полки
напряжения
в
полке
 xz 
Q y S zотс
J zt
;
h
. Эпюра  xz имеет вид треугольника с
2
Q bh
 y . Равнодействующие в верхней и нижней
2J z
S zотс  bt
наибольшей ординатой, равной  xzmax
Qy bh b
Qy b 2 h  t
 t 
полках одинаковы и равны T2 
. Подставляем
2J z 2
4J z
T1 , T2 в формулу
(17.18) ( T1  Q ), получаем
Qy b2 h2  t
b2 h2  t
(17.19)
4 J z Qy
4J z
Центр изгиба это точка,
через которую проходят равнодействующая
внутренних касательных сил Qy и плоскость действия внешних сил, при этом изгиб
не сопровождается кручением.
На рис 17.8 показаны 4-различных сечения с указанием положения центра изгиба (т. А )
e

Рис.17.8 Центр изгиба тонкостенных сечений