martyshcenkox

государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Ростовской области
«Шахтинский педагогический колледж»
План занятия
на тему:
«Метод Крамера»
Предмет: математика + информационные технологии
Разработан преподавателем
математики и информатики
Мартыщенко Т.И.
Г.Шахты
2013г
1
Тема занятия: Правило Крамера.
Тип занятия: изучение нового материала, урок обобщения и систематизации
знаний, умений и практических навыков
Методы: объяснительно - иллюстративный, эвристическая беседа, решение
задач на ПЭВМ, индивидуальное тестирование, фронтальный опрос
Цели занятия:
Образовательные:
• сформировать умения решения систем линейных уравнений методом
Крамера алгебраически и с помощью программы MS Excel;
• систематизировать знания и умения решения систем линейных уравнений с
помощью программы MS Excel;
• закрепить навыки вычисления определителей, навыки работы в программе
MS Excel;
• формировать
понимание
взаимосвязи
предметов
математики
и
информационных систем.
Развивающая:
• развитие активной мыслительной деятельности, развитие зрительной,
образной, слуховой памяти, развитие познавательной активности студентов
Воспитательная:
• развить познавательный интерес студентов, основ коммуникативного
общения, уверенности в собственных силах;
• способствовать развитию у студентов чувства серьезного отношения к
учебе, к предстоящей работе.
•
•
•
•
Задачи урока:
Повторить понятия матрицы и определителя и их основные свойства;
Познакомить студентов с историей появления определителей и метода
Крамера;
Рассмотреть способ решения систем линейных уравнений по правилу
Крамера;
Познакомить студентов с использованием современных информационных
технологий для решения систем линейных уравнений в MS Excel.
2
План занятия
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Организация начала занятия
Актуализация знаний
Историческая справка
Объяснение нового материала
Закрепление
Самостоятельная работа
Создание компьютерной модели решения систем линейных уравнений
по правилу Крамера в MS Excel.
Проверка самостоятельной работы с помощью компьютерной модели
Подведение итогов, оценивание.
1. Организация начала занятия
Преподаватель знакомит студентов с темой и задачами занятия . (Слайды 1,
2)
Преподаватель предлагает эпиграф к уроку -слова американского математика
Айвена Нивена:
«"Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед"
(Слайд 3)
У каждого студента имеется лист контроля знаний (приложение 1).
Деятельность студента осуществляется самооценкой, оценкой компьютера,
взаимопроверкой.
2. Актуализация знаний (Тест на повторение основных понятий, выполняется
на компьютере)
( приложение 2)
3. Историческая справка
Известно, что определители были изобретены дважды, что в математике
встречается не так уж часто. Сначала они были изобретены ещё в Древнем
Китае в начале нашей эры - без глубокой теории, но с хорошими правилами
практического применения. Однако учёные этой страны старались скрывать
свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто или
изобретено китайцами, вновь изобреталось в других странах. Поэтому
заслуга изобретения детерминантов принадлежит и учёным других стран.
3
При записи систем линейных уравнений используется двойная
индексация.(Слайд 4) Двойные индексы ввел в 1693 году великий немецкий
ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). Лейбниц стремился во
всех исследованиях к единым методам. В частности, он хотел создать
единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело
его к определителям.(Слайд 5)
Термин «детерминант», иначе говоря «определитель» (от латинского
determino - определяю), в нашем смысле ввёл Коши в 1815 г. Ему удалось
найти все главные свойства определителей. Дальнейшее развитие теория
определителей получила в трудах английских математиков Артур Кэли и
Джеймса Джозефа Сильвестра (1814 -1897). Первый из них и ввёл поныне
употребляемый знак определителя | | .
4. Объяснение нового материала
Рассмотрим систему уравнений: (Слайд 6)
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a 21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
(1)
Главным определителем системы уравнений (1) называется определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных x и y. Этот определитель
мы будем обозначать греческой буквой  .
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется
b1
определитель 1  b2
b3
a12
a 22
a32
a13
a 23 .
a33
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены
первого столбца на столбец свободных членов.
Вторым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется
a11 b1
определитель  2  a21 b2
a31 b3
a13
a 23 .
a33
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены
второго столбца на столбец свободных членов.
Третьим вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется
a11
определитель  3  a 21
a12
a 22
a31
a32
b1
b2 .
b3
4
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем замены
третьего столбца на столбец свободных членов.
Предлагаемый метод решения систем линейных уравнений это так
называемое правило Крамера.
Теорема. Если главный определитель системы уравнений (1) не равен 0, то
система уравнений имеет единственное решение:
x1 
1
,

x2 
2
,

x3 
3
.

(Слайд 7) Это правило названо именем швейцарского математики Крамера
(1704 - 1752), который одним из первых пришел к понятию определителя и
доказал приведенную здесь теорему в 1750 году в своей работе «Введение в
анализ алгебраических кривых».
Из курса алгебры вы знакомы с понятием определителя порядка n , где пN.
Метод Крамера может быть использован для решения тех систем линейных
уравнений, у которых количество уравнений равно количеству неизвестных.
При этом: (Слайд 8)
 если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
единственное решение, то есть, она совместна и определена,
 если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из
вспомогательных не равен нулю, то система не имеет решений (на нуль
делить нельзя), то есть система несовместна,
 если же главный определитель системы равен нулю и все вспомогательные
определители равны нулю, система имеет бесконечное множество решений,
то есть совместна, но неопределена.
Составим алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу
Крамера.(Слайд 9)
Алгоритм
1. Запишите систему уравнений в матричном виде.
2. Найдите главный определитель системы.
3. Найдите вспомогательные определители системы.
4. Найдите неизвестные, пользуясь формулами Крамера.
5. Запишите ответ.
5. Закрепление
Решение системы уравнений у доски
 x1  x 2  x3  3,

 x1  2 x 2  3x3  5
2 x  3 x  x  4
2
3
 1
Решение
5
 1  1 1   x1    3 

    
1.   1 2  3    x2    5 
 2 3  1  x   4 

  3  
1 1 1
 3  2  6   3  4   1   9  7
1
2.    1 2
2
3
3.
 3 1
1  5
4
1
2  1
2
1
3  1
2
2
3
3
5
4
1
 3  6  12  15  8  5  27  7
1
1
 3  5  18   4  10   12   3  14
1
1  3
2
3
5  8   10  9   12  4  15  0
4
4.
1  7

 1,

7

14
x2  2 
 2,

7

0
x3  3   0.
 7
x1 
5. Ответ. x1  1, x2  2, x3  0.
6. Самостоятельная работа. (Приложение 3)
Решить системы уравнений, используя правило Крамера.
Решить системы уравнений:
Вариант 1
1.
 2 x1  3x2  x3  1,

 x1  4 x2  x3  5,
3x  3x  2 x  12.
2
3
 1
Вариант 2
1.
 x1  2 x2  x3  9,

 2 x1  x2  x3  1,
3x  x  x  4;
 1 2 3
6
2.
3.
2 x1  2 x2  x3  5,

 x1  x2  2 x3  6,
 2 x  x  x  5;
 1 2 3
3x1  2 x2  x3  5,

 2 x1  x2  x3  1,
 x  2 x  3x  7;
2
3
 1
2.
 2 x1  x2  3x3  12,

3x1  2 x2  2 x3  2,
 x  x  2 x  7;
3
 1 2
3.
 2 x1  x2  x3  3,

 x1  x2  2 x3  9,
3x  x  2 x  7;
3
 1 2
7.Создание компьютерной модели решения систем линейных
уравнений по правилу Крамера в MS Excel.
Преподаватель предлагает решение рассмотренной ранее системы
уравнений выполнить с помощью программного средства MS Excel.
(Приложение 4)
1. Резервируем ячейки для данных:
а) в ячейки А1-С3 вводим коэффициенты при неизвестных;
б) в ячейки D1-D3 - свободные члены
2. Формируем
главный
определитель
и
вспомогательные
определители:
В ячейки А5-С7 копируем элементы главного определителя,
А9-С11 – первого вспомогательного определителя,
А13-С15 _ второго вспомогательного определителя,
А17 – С19 - третьего вспомогательного определителя.
3. С помощью функции МОПРЕД вычислить определители и
разместить результаты в ячейках G6, G10, G14 и G18 соответственно.
4. Вычисляем результат и размещаем его в ячейках J10, J14 и J18.
Мы убедились, что компьютер находит решение системы линейных
уравнений гораздо быстрее. Следовательно, большую рутинную работу
можно вполне доверить компьютеру.
Кроме того, в практической
деятельности часто приходится решать уравнения с дробными
коэффициентами. Например попробуем на компьютере решить следующее
уравнение: (Слайд 10)
0,25 x1  1,08 x2  2,54 x3  1,35;

1,44 x1  3,87 x2  0,98 x3  2,24;
4,51x  5,03x  5,61x  1,78.
1
2
3

7
8.Проверка самостоятельной работы с помощью компьютерной
модели.
9. Итог занятия.
Сегодня на занятии
мы очередной раз убедились, насколько тесно
переплетаются предметы: математика и информационные системы. В
настоящее время табличный процессор Excel является наиболее
распространённым программным продуктом в России. MS Excel позволяет
решать многие задачи. Использование ЭВМ для решения различных задач
становится всё более массовым явлением. И вам, как будущим специалистам,
особенно
важно
уметь
использовать
вычислительную
технику,
применительно к своей будущей профессии
А теперь познакомимся с заданием на дом. Дома вам предстоит
решить систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с
использованием правила Крамера как вручную, так и с помощью приложения
MS Excel. (Приложение 5)
Соберите, пожалуйста, рейтинговые листы.
Вашу среднюю оценку мы выставим в журнал.
Наше занятие предлагаю закончить словами К.Д.Ушинского: «Расширять
свои знания можно только тогда, когда смотришь в глаза своему
незнанию».(Слайд 11)
Всем спасибо за работу на занятии! До свидания!
8