Решение линейных уравнений содержащих модуль и параметр

Программа
Углубленный курс по математике в 6-7 классах по теме:
«Решение линейных уравнений содержащих модуль и параметр»
Пояснительная записка
Содержание программы разработано на основе обязательного минимума
содержания основных образовательных программ: основного общего
образования и углубленного изучения математики для учащихся 7 класса.
Основная задача курса «Углубленного изучения математики» - обеспечить
прочное и сознательное овладение учащимися системой математических
знаний и умений.
Решение линейных уравнений с модулем и параметрами является одним из
сложных и интересных разделов математики, который развивает
мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о
буквенном выражении чисел и их свойств, систематизирует и расширяет
знания учащихся полученные в учебной деятельности свойств уравнений,
функций, при выполнений алгебраических преобразований. Открывает
перед учащимися значительное число эвристических приемов общего
характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале,
повышает логическую культуру и технику исследований. Позволяет
приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных
материалов части с единого государственного экзамена.
Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, так как с их
помощью проверяется техника владения формулами элементарной
математики, методами решения уравнений и неравенств, умение
выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического
мышления учащегося и их математической культуры. А задачи, связанные с
модулем и параметрами часто встречаются на математических олимпиадах,
и математических конкурсах. Однако на базе основной школы материал,
связанный с этой темой изучается недостаточно полно, многие важные
моменты не входят в программу. В средней школе с понятием модуль
встречаются в 6 классе, а с понятием параметра (не употребляя этот термин)
начиная с 7 класса, когда изучают линейное уравнение вида ах = в, и в 8
классе при изучении квадратного уравнения. И программой школьного курса
математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о
модулях, их свойствах и параметрах. Следовательно, чтобы обучающиеся
были готовы к встрече с такими заданиями, необходимо вести
последовательное изучение темы: «Решение уравнений, неравенств,
содержащих знак модуля и параметра». Решению задач с параметрами и
модулями в школьной программе уделяется мало внимания. В результате
большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо
приводят громоздкие выкладки.
Формировать умения учащихся видеть в выражении число
обозначенное буквой необходимо на начальных ступенях обучения
математики.
Важнейшей задачей курса является поддержание интереса к математике.
Курс рассчитан на учеников общеобразовательного класса, желающих
основательно подготовиться не только к итоговой аттестации, но и сделать
сознательный выбор в пользу дальнейшего изучения математики. Он
позволит ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить
возможность овладения им.
Изучение курса направлено на достижение следующих целей:
Обобщить и систематизировать, расширить и углубить знания методов и
приемов к решению линейных уравнений с модулем и параметром по теме.
Продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся,
формированию определенного уровня логического мышления. Развивать
исследовательскую и познавательную деятельности учащегося.
Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы. Достижение
поставленных целей возможно через решение задач с модулем и
параметром, что позволяет поставить следующие основные задачи:
углубить знания по математике, формировать устойчивый интерес к
предмету;
выявить и развить их математические способности;
расширить математические представления учащихся о приёмах и методах
решения линейных уравнений с модулями и параметрами;
повышение уровня математического и логического мышления учащихся;
сформировать навыки работы со справочной литературой и компьютером;
развитие навыков исследовательской деятельности;
обеспечить подготовку к сдачи ГИА и продолжению образования;
Воспитательное назначение курса
Обучение задачам с модулями и параметрами потребует от учащихся
умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких
качеств, как активность, творческая инициатива, умений коллективнопознавательного труда.
Работа курса строится на принципах:
системности (преемственность знаний);
научности;
наглядности;
увлекательности;
доступности;
опережающей сложности;
вариативности;
самоконтроля.
Особенности предлагаемого варианта программы:
краткость изучения материала; использование при подаче материала
визуальных (компьютерных) средств обучения;
практическая значимость для учащихся, работа с визуальными задачами,
разработанными в соответствии с учебным планом школы;
в соответствии с задачами обучения учитываются подготовленность класса,
интересы учащихся.
Виды деятельности.
Необходимыми условиями реализации целей и задач курса является
адекватная методика, которая предполагает широкое использование
следующих приемов:
беседа учителя с учениками;
предварительное осмысление, обдумывание полученной информации;
работа в группах;
применение объяснительно-иллюстративных методов;
самостоятельная деятельность учащихся.
В результате изучения данного курса учащиеся
должны знать:
понятие модуль числа;
понятие параметра;
алгоритмы решений линейных уравнений с модулями и параметрами;
зависимость количества решений линейных уравнений от значений
параметра;
свойства решений линейных уравнений;
свойства функций в задачах с модулями и параметрами (7кл);
принципы решения линейных уравнений;
должны уметь:
применять полученные знания к решению конкретных задач;
уметь решать линейные уравнения с модулем;
строить графики уравнений, содержащие модули;
уметь решать линейные уравнения с параметром;
знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения
линейных уравнений.
Формы контроля
уроки самооценки и оценки товарищей;
тестирование
фронтальный
Требования к уровню подготовки учащихся
Знать и уметь:
принципы решения уравнений содержащих модуль и параметр,
должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по
сравнению с обязательным уровнем сложности;
точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и
излагать собственные рассуждения при решении задач;
правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
применять рациональные приемы тождественных преобразований;
использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
Структура курса.
Курс расчитан на 56 часов, по окончании предусмотрено зачетное
мероприятие в виде тестовой работы на компьюторе..
Содержание (56Ч)
Модуль в выражениях. (4ч)
Введение. Определение модуля. Раскрытие модуля. Свойства модуля.
Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.
Модуль в уравнениях (23)
1.Решение простейших линейных уравнений содержащих модуль (2ч).
2.Основные методы решения уравнений с модулем (5ч).
3.Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к
равносильной системе (6ч).
4. Функция, область определения, числовые функции. Модуль и графики.
Графики функций: у=к|х| ; у=|кх| ; у=к|х| +в; у=|кх+в|; |у|=кх+в (6ч).
5 Комбинированные задачи (4ч)
Повторительно-обобщающий (2ч).
Линейные уравнения с параметром (25).
Решение линейных уравнений содержащих параметр (7ч).
Решение задач на уравнения с параметрами (7ч).
Решение задач на линейные уравнения содержащие параметр (7ч).
Нестандартные методы и приемы решения линейных уравнений,
содержащих параметры (4ч).
Итоговое занятие (2ч)
Программа курса
Тема 1. Модуль в выражениях (4ч.)
Введение. Цели и задачи курса. Вопросы курса и его структура. Знакомство с
литературой. Требования к участникам курса.
Определение модуля. Раскрытие модуля.
Свойства модуля. Упрощение выражений, содержащих переменную под
знаком модуля.
Должны знать:
Понятие модуля числа, его геометрический смысл;
Алгебраическое определение модуля числа;
Должны уметь:
Раскрывать модуль числа
Применять свойства модуля
Тема 2. Модуль в уравнениях (23ч.)
Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по
определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе,
параметрами, содержащие абсолютные величины.
Линейная функция, ее график. Построение графиков функций вида у = | (kх +
b)| и у = k|х| + b; у = |k|х| + b|. Решение уравнений вида |f(x)| = а, |f(x)| =
g(x), |f(x)| = |g(x)| и |f1 (x)| + |f2 (x)| + |f3 (x)| + … + |fn (x)| = g(x), где f(x) и
g(x) – линейные выражения, а Є R.
Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля
в олимпиадных заданиях.
Должны знать:
методы решения линейных уравнений с модулем;
область определения функции;
работа с модулем должна быть основательной и требует применения
различных математических знаний, полученных ими ранее.
Должны уметь:
решать линейные уравнения с модулем;
строить графики линейных уравнений с модулем
Тема 3. Повторительно-обобщающий (2ч).
Нестандартные методы и приемы решения линейных уравнений,
содержащих модули.
Должны знать:
Нестандартные методы решения линейных уравнений, содержащих модуль;
Должны уметь:
Применять полученные знания на олимпиадах, ГИА.
Тема 4. Линейные уравнения с параметром (25ч)
Определение параметра.
Основные методы решения линейных уравнений с параметром.
Решение задач с использованием параметра.
Научить детей понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть.
Решение уравнений с параметром графическим методом.
Строить графики данных функции.
Должны знать:
при каких значениях параметров линейных уравнении имеет решения и для
всех таких значений параметров найти все решения;
работа с параметром должна быть основательной и требует применения
различных математических знаний, полученных ими ранее.
Должны владеть:
четко и последовательно учитывать область определения выражений,
следить за равносильностью производимых операции;
приобретать опыта введения в мир параметров на линейные уравнения,
приводящих к линейным.
Должны уметь:
решать линейные уравнения с параметрами, рассматривать различные
случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть);
решать задачи с параметрами нужно, начиная с простейших, связанные с
квадратным трехчленам: на определение количества корней, на
расположение корней относительно заданных чисел или промежутков.
Нестандартные методы и приемы решения уравнений, содержащих
параметры. Групповая работа.
Тема 5 Итоговое занятие (2ч).
Итоговое занятие. Практическая работа на компьютере.
Литература, использованная при подготовке программы.
1.
2.
3.
4.
Т. Горшенина. Задачи с параметрами. Математика № 16, 2004 г.
С. Дубич. Линейные и квадратные уравнения с параметрами. Математика № 36, 2001 г.
Е. Егерман. Задачи с параметрами. Математика № 2, 2003 г.
Т. Косякова. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих
параметры. Математика № 36, 2001 г.
5. С. К. Кожухов. Различные способы решений задач с параметрами. Математика № 6,
1998.
6. В. Лебедева, Д. Хенкин.. Математика №2, 2003 г.с параметром.
7. В. Малинин. Уравнение с параметрами: графический метод решения. Математика №
29, 2003.
8. В. В. Мирошин «Математика в школе» № 7 - 2008г.
9. В. Попов. Уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры девятилетней
школы. Математика № 10, 2000 г.
10. Е. Пронина. Линейные уравнения с параметрами. Математика № 12, 2000 г.
11. Л. Слуковцева «Линейные и дробно – линейные уравнения и неравенства с
параметрами». Библиотечка «Первого сентября», Математика № 1 (13) / 2007.
12. М. Шабунин. Неравенства и системы неравенств с параметрами. Математика № 29,
2003
13. Мордкович.А.Г. Алгебра, 7кл, учебник для общеобразовательных учреждений, М6издание, - М, Мнемозина,2003
14. В.А.Ермеев, «Факультативный курс по математике» в 7 классе, учебно-методическое
пособие, Цивильск, 2009.
Литература рекомендованная для учащихся
1. В. В. Амелькин. Задачи с параметрами. Минск, 1996.
2. В. А. Гусев. , А. Г. Мордкович. Математика. Справочные материалы.
3. П. И. Горнштейн. Задачи с параметрами.
Календарно-тематическое планирование
№
1
1.1
ТЕМА
Количеств Тип
о
урок
часов
а
Модуль в выражениях
4
Введение. Определение
лекци
2
модуля. Раскрытие
я
модуля. Свойства
модуля.
1.2
Упрощение выражений,
содержащих переменную под
знаком модуля.
2
2
2.1
Модуль в уравнениях
Решение простейших
линейных уравнений
содержащих модуль
.Основные методы решения
уравнений с модулем
23
2
2.3
Раскрытие модуля по
определению, переход от
исходного уравнения к
равносильной системе.
6
2.4
. Функция,
6
комб
иниро
ванн
ый
4
практ
ическ
2.2
область
определения, числовые
функции. Модуль и графики.
Графики функций: у=к|х| ; у=|кх| ;
5
у=к|х| +в; у=|кх+в|; |у|=кх+в .
2.5
Комбинированные задачи
комб
иниро
ванн
ый
лекци
я
комб
иниро
ванн
ый
комб
иниро
ванн
ый
Дата
пла фак
н
т
3.
Повторительнообобщающий
2
4.
Линейные уравнения с
параметром.
25
4.1
Решение линейных
уравнений содержащих
параметр.
7
4.2
Решение задач на уравнения
с параметрами.
7
4.3
Решение задач на линейные
уравнения содержащие
параметр .
7
4.4
Нестандартные методы и
приемы решения линейных
уравнений, содержащих
параметры.
4
Итоговое занятие
2
5
ий
практ
ическ
ий
комб
иниро
ванн
ый
комб
иниро
ванн
ый
комб
иниро
ванн
ый
практ
ическ
ий
тести
рован
ие