Ч.3 гл.3

Глава 3 Дифференциальные уравнения.
3.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, поле направлений, интегральная
кривая. Примеры.
3.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее
решения.Примеры.
3.3 ДУ с разд. переменными, д.у. с однородной правой частью.
3.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.
.
3.5 Линейные ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Принцип
суперпозиции. Линейность пространства решений однородного уравнения.
3.6 Линейные ДУ 2 порядка с пост. коэффициентами. Однородные ДУ,ФСР.
Примеры.
3.7 Неоднородные ДУ со специальной правой частью. Частное решение..
Примеры.
3.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, интегральная кривая.
Примеры.
Мы на самом деле уже встречались с дифференциальными уравнениями
при нахождении неопределенного интеграла. Действительно нам было
задано соотношение
y   f (x) . Надо было найти все функции, для которых это равенство верно.
Было получено, что если f (x) непрерывна, то у нее существуют
первообразные, и все они задаются формулой:  f ( x)dx  F ( x)  C , где С-любая
константа. На самом деле y=F(x)+C является здесь общим решением
дифференциального уравнения
y   f (x) .
Дадим строгое определение дифференциального уравнения (ДУ) 1 порядка
и его решения.
Определение 1(ДУ 1 порядка, решение, общее решение) .
Дифференциальным уравнением 1 порядка называется соотношение
F(x,y, y )  0 (*) ,
где F(x,y, y ) -функция 3 переменных.
Дифференциальным уравнением 1 порядка, разрешенным относительно
производной, называется соотношение
y   f(x,y) (**),
где f(x,y) -функция 2 переменных.
Ф
ункция y(x) , имеющая производную на интервале (a,b), называется
решением ДУ(*) или (**), если при подстановке ее и ее производной в это
уравнение получаем тождество на (a,b):
F(x,y(x), y ( x))  0 (*) или
y (x )  f(x,y(x)) (**).
Функция y(x,С) , где C-произвольная константа, имеющая производную по x
на интервале (a,b), называется общим решением ДУ (**), если
 фиксированного C эта функция является решением и
любое решение ДУ получается из этой формулы при некотором C.
Замечание. Для уравнения, не разрешенного относительно производной,
общее решение может не записываться в таком виде.
Например,
y  2  f ( x). Тогда y 2   f ( x), y ( x)   F ( x)  C. Здесь F(x)-первообразная для
.
f(x) . Здесь при одном C получается 2 решения уравнения!
Пример.
Для y   f (x) .
Любая первообразная y(x)=F(x) для f (x) будет решением этого уравнения,
а общее его решение –множество всех первообразных, т.е.
y(x)=F(x)+C, С  R.
Изобразим на рисунке графики всех решений этого уравнения( рис.1).
Из вида общего решения следует, что достаточно нарисовать график одного
решения, все остальные получаются сдвигом этого графика параллельно оси
и их сдвиги по осиY.
Из рассмотрения графика решения и исходного уравнения получим, что в
любой точке (x,y(x)) плоскости, где определено решение, график имеет
касательную
с коэффициентом наклона y ( x)  f ( x) . Заметим, что тангенс наклона
касательной известен из уравнения ранее, чем мы его решили. Т.е. множество
касательных к решениям мы можем нарисовать, как только задано
уравнение. И так будет для любого уравнения 1 порядка, разрешенного
относительно производной. Дадим соответствующее определение.
Определение 2.
Пусть дано ДУ 1 порядка, разрешенное относительно производной
y   f(x,y).
Пусть правая часть определена в области плоскости D.
Тогда полем направлений для этого уравнения в области D называется
множество прямых, имеющих каждая в своей точке (x,y) угловой
коэффициент k=f(x,y).
(Можно заметить, что это прямые есть касательные в каждой точке к
будущим решениям)
Определим теперь интегральную кривую, как кривую, касательная в
каждой точке к которой совпадает с прямой, соответствующей этой
точке в поле направлений.
Пример Для y   f (x) все касательные к некоторой первообразной y(x)=F(x)
и их сдвиги по оси Y будyт образовывать поле направлений (рис.2).
Замечание. Для уравнения, не разрешенного относительно производной,
поле направлений для каждой точки может не быть однозначно определено.
Например y  2  f ( x). Тогда y 2   f ( x), Если f(x)  0, то через точку (x,y)
Проходит 2 касательных к решениям.
3.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее решения.
Примеры.
Обычно интересуются не только нахождением всех решений ДУ, но также
решения, график которого проходит через заданную точку области, где
определено уравнение. Для уравнения, разрешенного относительно
производной эта задача может быть однозначно разрешима. Для
неразрешенного это неверно, например для y  2  f ( x). Тогда y ( x)   F ( x)  C.
Приведем соответствующие определения.
Определение 3.
Пусть дано ДУ 1 порядка , разрешенное относительно производной.
y   f(x,y).
Пусть правая часть определена в области плоскости D.
Задачей Коши для этого уравнения называется задача нахождения решения
уравнения y(x), такого, что y(x0)=y0, где (x0,y0)  D.
Часто эту задачу записывают кратко:
 y   f ( x, y)

 y ( x0 )  y 0 .
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 1 (теорема существования и единственности Коши).
Пусть дано ДУ 1 порядка , разрешенное относительно производной.
y   f(x,y). Причем f(x,y) непрерывна по двум переменным и имеет
непрерывную производную по y в открытом и ограниченном множестве
D. Тогда для любой точки ( x0 , y0 )  D существует решение задачи Коши
 y   f ( x, y)

 y ( x0 )  y 0 .
определенное и единственное в некоторой окрестности O ( x0 ).
Примеры. Для y   f (x) -непрерывная
общее решение –
y(x)=F(x)+C,
x0 входит в область определения F(x), y0-любое. Подставим значения в общее
решение: y0=F(x0)+C0. Значит, C0=y0-F(x0) -решение y= F(x)+C0 найдено
единственным образом. Теорема Коши выполнена. Пример не выполнения
теоремы приведем поздже.
3.3 ДУ с разд. переменными, однородной правой частью.
Определение 5.
Уравнение y   f ( x) g ( y) при непрерывных f ( x) и g ( y ) называется уравнением
с разделяющимися переменными.
Метод решения. Пусть y(x)-решение. Тогда по определению решения
имеем y ( x)  f ( x) g ( y ( x)) . Подставим выражение производной через
дифференциалы:
dy ( x)
 f ( x) g ( y ).
dx
Пусть g(y0)=0 в одной точке. Положим y=y0. Тогда y   0, правая часть тоже
равна 0.
Уравнение выполняется, т.е. мы нашли решение.
Если y   0, то на g(y) можно поделить. Получим
dy ( x)
 f ( x)dx, тождество можно проинтегрировать.
g ( y ( x))
dy ( x)
1
 g ( y( x))   f ( x)dx. Пусть g ( y ) имеет первообразную G(y), f(x) имеет
первообразную F(x). Тогда по теореме о замене переменной
dy ( x)
 g ( y( x))  G( y( x))   f ( x)dx  F ( x)  C.
Окончательно
G ( y ( x))  F ( x)  C  общее
решение в неявном виде, к которому надо добавить
y=y0.
Пример. y  x y,
ДУ с разделяющимися переменными.
dy
dy
 x y , y=0-решение. При y  0 1  xdx,
dx
y2

( x 2  2C ) 2
y 
. и y=0- общее решение. Для любого x0 и y0  0

16
2
 x  2C  0
2
( x  2C ) 2
2
, C 0  2 y 0  x0 / 2 ,
Найдем C из y 0  0
16
оно определяется отсюда единственным образом . Но при y0  0
через любую точку (x , 0) проходит еще решение y  0 . Т.е. единственности
1
2
x2
2y 
 C,
2
0
при y0=0 нет.
Действительно, там не выполнена теорема Коши, т.к. нет частной
производной правой части по y в этих точках.
Задание. Нарисуйте поле направлений и интегральные кривые для
этого уравнения
Определение 6.
y
x
Уравнение y   f ( ) с непрерывной f(x) называется уравнением с однородной
правой частью.
Метод решения. Пусть y(x)-решение. Делаем замену зависимой переменной
u ( x) 
y ( x)
.
x
Тогда y(x)=u(x)x,
y ( x)  u ( x) x  u ( x).
Подст авим в уравнение. Получим
u ( x) x  u ( x)  f (u ( x))
Отсюда
u x  f (u )  u
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Решая, получим
du
dx
du
 , если f (u )  u  0 и F (u )  C  
,
f (u )  u
x
f (u )  u
то lnIxI=F(u)+C, x=CeF(u),
 x  Ce F (u )
-параметрическое задание решения.

F (u )
 y  Cxe
При f (u0 )  u0  0 , имеем решение u  u0 или y  u0 x Графиком решением
является проходящая через начало координат прямая. Поэтому она во всех
своих точках совпадает с полем направлений. Это объясняет то, что она
называется для уравнения инвариантным лучом.
Следствие. Все интегральные кривые уравнения с однородной правой частью
 x1  C1e F (u )  x  Ce F (u )
,
-два неинвариантных решения .
F (u )
F (u )
 y  Cxe
 y1  C1 xe
подобны. Пусть 
Найдем отсюда
при одинаковых u
x1 C1 y1

 . Это и дает подобие любых неинвариантных
x
C
y
решений.
Пример. y  
y
y
ex.
x
Уравнение с однородной правой частью.
Делаем замену u ( x) 
y ( x)
.
x
Тогда y(x)=u(x)x,
y ( x)  u ( x) x  u ( x).
Подставим в уравнение. Получим
du dx
u x  u  e  u, u x  e , u  ,
x
e
u
u
e
u
 ln x  C , x  Ce
e

y
x
 общее решение.
Т.к. eu не равно 0 и инвариантных лучей нет.
3.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.
Определение 7.
Уравнение y   p( x) y  q( x) c непрерывными p( x) и q( x) называется линейным
уравнением . Если q( x)  0 ,
то уравнение называется однородным, если q( x)  0 ,
то уравнение называется неоднородным.
Метод решения.
Теорема 1.
Пусть yчастн(x)-частное решение уравнения
y   p( x) y  q( x) .
yодн(x,C)-общее решение однородного уравнения y   p( x) y  0
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет
yнеодн(x,C)= yодн(x,C)+yчастн.
Доказательство.
а)Подставим yнеодн(x,C)= yодн(x,C)+yчастн в уравнение.
Получим в силу предположения
  yчастн


  p( x) yодн  0  q( x)  q( x) .
yодн
 p( x)( yодн  yчастн )  yчастн
 p( x) yчастн  yодн
Т.е. формула дает решение неоднородного уравнения.
б)Получим, что приведенная формула
дает любое решение неоднородного уравнения, т.е. является общим
решением.
Действительно. взяв любое решение неоднородного уравнения
y(x) , подставим в левую часть y(x)-yчастн(x). Получим
 ( x)  p( x)( y ( x)  yчастн ( x))  yчастн
 ( x)  p( x) yчастн ( x) 
y ( x)  yчастн
y ( x)  p( x) y ( x)  q( x)  q( x)  0.
Т.е. y0=y-yчастн –решение однородного уравнения и y=y0+yчастн- имеет
требуемый вид.
Т.е. чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, надо найти
общее решение однородного и частное решение неоднородного.
Теперь мы можем изложить метод решения линейного уравнения
1 порядка.
1. Решаем однородное уравнение.
y   p( x) y  0,
y    p( x) y
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его.
x

x
dy
  p( x)dx, ln y    p (t )dt  C ,
y
x0
y  Ce
 p (t ) dt
x0
(потерянное при делении
y  0 получается при C  0)
решение
Т.е.
x

y  Ce
 p (t ) dt
x0
общее решение однородного уравнения.
Замечание. Из формулы получаем, что множество решений линейного
уравнения первого порядка есть линейное пространство размерности
1(все решения получаются из одного умножением на произвольную
константу.
2. Ищем теперь решение неоднородного уравнения в виде
x

 p ( t ) dt
y  C ( x )e
. Так как здесь мы делаем изменяемой произвольную
x0
постоянную, то этот метод называется методом вариации произвольной
постоянной. Подставим это выражение в уравнение.
x
x

 p ( t ) dt
C ( x)e
x

 p ( t 0 dt
 C ( x)e
x0

 p( x)  p( x)C ( x)e
x0
 p (t ) dt
x0
 q( x).
Произведя сокращение, получим
x

 p ( t ) dt
С ( x)  q( x)e
. Справа стоит непрерывная функция, поэтому
x0
существует первообразная C(x) и решение неоднородного уравнения
будет иметь вид
x

 p ( t ) dt
y  C ( x )e
x0
.
3. Согласно теореме 1 общее решение неоднородного получается
сложением этого решения неоднородного и общего решения
однородного.
Пример. y  2 xy  xex .
1) Решаем однородное
2
y   xy  0.
dy
 2 xdx, ln y  x 2  C ,
y
y  Ce x .
2
2)Ищем методом вариации частное решение неоднородного.
y  C( x)e x , y  C ( x)e x  2C( x) xex , Подставив, получим
2
2
C ( x)e x  xe x , C ( x)  x, C ( x) 
2
y ( x) 
2
2
x2
. Частное решение
2
x 2 x2
e .
2
3)Общее решение неоднородного уравнения
y  Ce x 
2
x 2 x2
e .
2
3.5 ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Линейные
уравнения 2 порядка. Принцип суперпозиции. Свойство линейности
решений однородного ДУ.
Определение 8(ДУ 2 порядка, решение, общее решение) .
Дифференциальным уравнением 2 порядка называется соотношение
F(x,y, y , y ) =0 (*),
где F(x,y, y , y ) -функция 4 переменных.
Дифференциальным уравнением 2 порядка, разрешенным относительно
производной, называется соотношение
y   f(x,y, y  ) (**),
где f(x,y, y  ) -функция 3 переменных.
Функция y(x) , имеющая две производных производную на интервале
(a,b), называется решением ДУ(*) или (**), если при подстановке ее и ее
производных в это уравнение получаем тождество на (a,b):
F(x,y(x), y ( x), y ( x)) =0 или
y (x)  f(x,y(x), y ( x), y ( x) ) для любого x из (a,b).
Функция y(x,С1C2) , где C1,C2-произвольные константы, имеющая две
производные по x на интервале (a,b), называется общим решением ДУ
(**), если
 фиксированных C1,C2 эта функция является решением и любое решение
ДУ получается при некоторых C1,C2.
Замечание. Для уравнения, не разрешенного относительно производной,
общее решение может не записываться в таком виде.
Пример.
Для y   f (x)
y  F ( x)  C1 , где F(x)- первообразная для f(x), далее
y(x)=Ф(x)+C1x+C2, где Ф(x)-первообразная для F(x), С1 , С2  R.
Определение 9.(Задачи Коши)
Пусть дано ДУ 2 порядка, разрешенное относительно производной
y   f(x,y, y  ) (**)
Пусть правая часть определена в области пространства D.
Задачей Коши для этого уравнения называется задача нахождения
решения уравнения y(x), такого, что y(x0)=y0, y ( x0 )  y1 , где (x0,y0,y1)  D.
Часто эту задачу записывают кратко:
y   f ( x, y, y )


 y( x0 )  y0 , y ( x0 )  y1 .
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 2 (теорема существования и единственности Коши).
Пусть дано ДУ 2 порядка , разрешенное относительно производной.
y   f(x,y, y  )
Причем f(x,y,z) непрерывна по трем переменным и имеет непрерывные
производные по y и z в открытом и ограниченном множестве
D. Тогда для любой точки ( x0 , y0 , y1 )  D существует решение задачи
Коши
y   f ( x, y, y )


 y( x0 )  y0 , y ( x0 )  y1 .
определенное и единственное в некоторой окрестности O ( x0 ).
Пример. Для y   f (x) -непрерывная
y  F ( x)  C1 , где F(x)- первообразная для f(x), далее
y(x)=Ф(x)+C1x+C2 ,где Ф(x)-первообразная для F(x), С1 , С2  R.
Подставим начальные условия, получим систему
 y 0  ( x0 )  C1 x0  C 2

y1  F ( x0 )  C1

Отсюда всегда однозначно
C 2  ( x0 )  y0  x0 ( F ( x0 )  y1 )

C1  F ( x0 )  y1

Т.е. решение существует и единственно.
Нам будут интересны линейные уравнений 2 порядка.
Определение 10.
Уравнение y   p( x) y   q( x) y  r ( x) ,где p ( x) и q( x), r ( x) 
Непрерывные на (a,b) функции, называется линейным уравнением 2 порядка.
Если r ( x)  0 ,
то уравнение называется однородным, если
r ( x)  0 ,
то уравнение называется неоднородным.
Решение линейных уравнений 2 порядка аналогично решению линейных
уравнений 1 порядка, а именно, верны теоремы
Теорема 3(принцип суперпозиции)
Пусть yчастн(x)-частное решение линейного уравнения
y   p( x) y   q( x) y  r ( x)
yодн(x,C1,С2)-общее решение однородного уравнения y   p( x) y   q( x) y  0
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет
yнеодн(x,C1,С2)= yодн(x,C1,С2)+yчастн(x).
Доказательство полностью аналогично доказательству для уравнений 1
порядка . Рекомендуем привести его самостоятельно.
Аналогично замечанию 1 к пункту 1 метода решения линейного уравнения
первого порядка верна теорема
Теорема 4(линейность пр-ва решениий).
Множество решений линейного однородного уравнения 2 порядка
y   p( x) y   q( x) y  0
является линейным пространством размерности 2, т.е.
для 2-х линейно независимых решений y1(x) и y2(x) общее решение
однородного уравнения будет иметь вид y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x).
Эту теорему можно вывести из теоремы существования и единственности
Коши, которая для линейных уравнений отличается тем, что решение
с заданными начальными данными единственно не в окрестности начальной
точки, а на всей области определения уравнения. Т.е множество решений и
множество начальных данных находятся во взаимно однозначном
соответствии, сохраняющем линейные операции-сложения и умножения на
число. Так как начальные данныенезависимые пары чисел и образуют двумерное векторное пространство, то
в силу взаимно однозначного соответствия множества решений и множества
начальных данных, то же верно и для множества решений.
Это рассуждение служит пояснением к доказательству, но при этом оно
может быть оформлено в виде строгого доказательства, чего мы не делаем.
Эта теорема дает повод для следующего определения.
Определение 11
Любые 2 линейно независимые решения линейного уравнения 2 порядка
называются фундаментальной системой решений (ФСР)
Действительно по предыдущей теоремы любая ФСР y1(x) и y2(x)
позволяет записатьобщее решение однородного уравнения
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x), где С1, С2-произвольные постоянные..
Значит , чтобы решить однородное уравнение надо найти ФСР.
Эти общие теоремы для линейных уравнений 2 порядка будут далее
использоваться при решении линейных уравнений 2 порядка с постоянными
коэффициентами.
3.6 Линейные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Однородные ДУ,ФСР. Примеры.
Определение 10.
Уравнение y   py   qy  r (x) ,где p и q 
числа, называется линейным уравнением 2 порядка с постоянными
коэффициентами. Если r ( x)  0 ,
то уравнение называется однородным, если
r ( x)  0 ,
то уравнение называется неоднородным.
1.Займемся решением однородных уравнений с постоянными
коэффициентами. Решение будем искать в виде y( x)  e x . Тогда имеем
y ( x)  e x , y ( x)  2 e x . Подставив, получим
2 e x  pe x  qe x  0.
Сокращая на e x  0, получим
2  p  q  0.
Это квадратное уравнение относительно
,
каждому решению которого соответствует решение дифференциального
уравнения
y( x)  e x .
Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением
для рассматриваемого дифференциального.
Рассмотрим различные случаи для характеристического уравнения
а) характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных
корня
 1 2 . Им соответствуют решения y1 ( x)  e  x y 2 ( x)  e  x . Их отношение
y( x)  e (  ) x -не константа, значит, они линейно независимы, следовательно
образуют ФСР и общее решение имеет вид
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) =
1
2
2
1
C1e 1x  C2 e 2 x .
Пример. y   5 y   6 y  0
Характеристическое уравнение
2  5  6  0.
Корни  1 2, 2  3
Действительные и различные.
y1 ( x)  e 2 x y 2 ( x)  e 3 x - ФСР,
1
2 x
3 x
y(x)= C1e  C2 e -общее решение однородного уравнения.
б) характеристическое уравнение имеет 1 кратный действительный
корень
.
Ему соответствуют решение
y1 ( x)  e x .. Проверьте, что в этом случае y 2 ( x)  xex тоже решение! Их
отношение есть x, тоже не константа, значит, они линейно независимы,
следовательно образуют ФСР и общее решение имеет вид
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x)=
C1e x  C2 xex  e x (C1  C2 x). .
Пример. y   4 y   4 y  0
Характеристическое уравнение
2  4  4  0.
Корни  1 2  2    кратный корень
y1 ( x)  e 21 x y 2 ( x)  xe2 x - ФСР,
2 x
3 x
y(x)= e (C1  C2 e ) -общее решение однородного уравнения.
а) характеристическое уравнение имеет 2 различных комплексных
корня
 1 , 2  a  ib. Им соответствуют решения
y1 ( x)  e  x  e axibx  e ax (cos bx  i sin bx) y 2 ( x)  e axibx  e ax (cos bx  sin bx)  y1 ( x). Их
отношение
y( x)  e (  ) x -не константа, значит, они линейно независимы, следовательно
образуют ФСР и общее решение имеет вид
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) =
C1e  x  C2 e  x .
1
2
1
1
2
Плохо только, что эти решения комплексные. Так как пространство решений
линейно, и функции из ФСР комплексно сопряжены, то решениями будет
действительная
и мнимая часть каждого, Re y ( x)  y1 ( x)  y 2 ( x)  e ax cos bx, Im y ( x) 
1
1
2
y1 ( x)  y 2 ( x)
 e ax sin x.
2i
Решения e ax cosbx, e ax sin bx непропорциональны, а значит независимы
и образуют ФСР. Они уже действительны. Поэтому общее решение равно
y ( x)  C1e ax cos bx  C 2 e ax sin bx .
Пример.
y   4 y   5 y  0
Характеристическое уравнение
2  4  5  0.
Корни  1 2  i, 2  2  i комплексные.
y1 ( x)  e 21 x (cos x  i sin x), y 2 ( x)  e 2 x (cos x  sin x) - комплексная ФСР,
Действительная и мнимая часть первого
e 21 x cos x, e 2 x sin x
действительная ФСР.
2 x
y(x)= e (C1 cos x  C2 sin x) -общее решение однородного уравнения.
3.6 Неоднородные ДУ со специальной правой частью. Частное
решение.. Примеры.
Приведем способ нахождения частного решения неоднородного
линейного уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью
вида
f(x)=eax(Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx), где
Pn(x), Qm(x)- многочлены степеней n и m. Пусть N=max(n,m),   a  ib, k-
кратность   a  ib, как корня характеристического уравнения, причем k
=0, если
  a  ib, –не корень характеристического уравнения.
Тогда частное решение уравнения найдется в виде
y(x)=xkeax(TN(x)cosbx+RN(x)sinbx), где TN(x), RN(x)-многочлены степени
N
Это утверждение дается без доказательства. Подтвердим его примером.
Пример.
y   4 y   4 y  27 xe x
f(x)=xex, a=1,b=0,n=1,m=1,N=1,   1 -не корень, поэтому k=0.
Ищем решение в виде
y(x)=(Ax+B)ex.
y ( x)  ( Ax  A  B)e x , y ( x)  ( Ax  2 A  B)e x . подставив, получим
ex((Ax+2A+B+4Ax+4A+4B+4Ax+4B)=27xex.
Это тождество.
Поэтому 9A=27, 9B+6A=0.
A=3, B=-2.
Частное решение
y(x)=(3x-2B)ex.
По принципу суперпозиции, используя вид общего решения однородного
из примера к пункту б) предыдущего параграфа, получим общее решение
уравнения
y(x)=e-2x(C1+C2x)+(3x-2B)ex.