КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 1.

1. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
1.1. Математическое моделирование систем управления
Основные понятия
Курс «Основы теории управления»
посвящается общим основам теории
автоматического управления и ориентирован на управление техническими объектами и
процессами.
Рассмотрим истоки зарождения основ управления. Первая научно-техническая
дисциплина этого направления – теория автоматического регулирования паровой машины
– зародилась в недрах прикладной механики.
С необходимостью построения регуляторов одними из первых столкнулись создатели
точных механизмов, в первую очередь часов. Влияние хотя и небольших, но непрерывно
действующих помех накапливалось и приводило в конечном итоге к недопустимым
отклонениям от нормального хода. В 1675 г. Гюйгенс встроил в механические часы
маятниковый регулятор хода. Бурное развитие теории регулирования началось в эпоху
промышленной революции в Европе на рубеже восемнадцатого и девятнадцатого веков.
Первыми промышленными регуляторами этого периода являются автоматический
регулятор давления пара котла паровой машины И.И. Ползунова, центробежный
регулятор скорости паровой машины Д. Уатта. Эти регуляторы открыли путь целому
потоку изобретений принципов регулирования и самих регуляторов.
В насточщее время существует большое разнообразие автоматических систем. Все
автоматические системы можно разделить на два больших класса:
1) автоматы, выполняющие определенного рода однотипные операции;
2) автоматические системы, которые в течение достаточно длительного времени нужным
образом изменяют или поддерживают неизмеными физические величины, например,
координаты движущегося объекта, скорость движения и т.п. в том или ином
управляемом процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы, следящие
системы,
автопилоты,
некоторые
вычислительные
устройства,
системы
дистанционного управления и т.п.
Всякий технический процесс характеризуется совокупностью физических величин,
называемых показателями, величинами. Для управления и построения управляющих
систем используются, во-первых, конкретные сведения о данном процессе, во-вторых,
принципы и методы управления общие для самых разнообразных объектов и процессов.
Конкретные сведения о процессе дают возможность установить основные цели
управления. Для правильного и качественного управления процессом некоторые из его
показателей (управляемые величины) необходимо поддерживать в заданных границах или
изменять по определенному закону.
Совокупность технических устройств, использующих рабочие операции в ходе
технологического процесса, называется объектом управления. Совокупность средств
управления и объектов управления называется системой управления.
Необходимость в управлении процессом возникает тогда, когда нормальный его ход
нарушается в результате различного рода возмущений, таких как изменение нагрузки,
изменения внешней среды и др. Рассмотрим схематично влияние воздействий на объект
f1
f 2 ...
fk
u1
u2
.
..
un
y1
Объект
управления
y2
...
yn
Здесь приняты следующие обозначения: u - вектор управляющих воздействий, f вектор возмущений, y - вектор управляемых параметров. Таким образом, y является
функцией от u , f, то есть можно записать
y =  (u, f),
где  - оператор, определяющий вид математической зависимости, связывающей y , u, f.
В общем случае он представляет собой нелинейную векторную функцию. Оператор для
всей системы управления в целом в общем виде можно представить как
y =  (u, g, f),
где g – вектор задающих воздействий, т.е. требуемых функций или значений для
управляемых параметров. Оператор системы является полной исчерпывающей ее
характеристикой. Введем определение.
Оператор А называется линейным, если при любых числах n, c1 , c2 ,..., cn и при любых
функциях xi (t ) выполняется условие:
n
 n
A cv xv (t )   cv Ax (t ).
 v 1
 v 1
Динамическая система будет линейной, если ее оператор линеен.
Любой объект, имеющий массу, является динамическим, поскольку под действием
внешних сил и моментов, со стороны объекта возникает соответствующая реакция, и его
положение (состояние) не может измениться мгновенно. Изменения параметров объекта
(процесса) определяются совокупностью правил или математической зависимостью,
называемой алгоритмом функционирования. Такой алгоритм направлен на выработку
управляющих воздействий u. Приведем ряд важных определений.
АСУ - автоматизированная система управления, выбранная для достижения цели
управления в сочетании с человеком - оператором и комплексом технических средств,
спроектированных для измерения, регулирования, сбора информации, выработки
решений. Важным свойством автоматизированной системы является то, что система
обладает свойствами и выполняет функции, которые существенно отличаются от свойств
и функций ее отдельных частей.
САУ – система автоматического управления, она представляет собой комплекс
технических средств, назначение которого управлять поведением объекта без участия
человека.
САР - система автоматического регулирования. САР это комплекс технических
средств, обеспечивающий автоматическое поддержание заданного значения регулируемой
величины или ее автоматическое изменение по определенному закону без участия
человека.
Устройство, обеспечивающее процесс управления называется управляющим.
Элементы системы автоматического управления связаны между собой информационными
каналами, линиями управления, по которым, передаются управляющие сигналы. Система
автоматического управления представляет собой совокупность объекта управления (ОУ) и
управляющего устройства (УУ). Система автоматического регулирования представляет
собой совокупность объекта регулирования (ОР) и регулятора (РГ). САР является
замкнутой системой, замыкание осуществляется через обратную связь. В обратную связь,
как правило, входит измерительное устройство, сигнал с выхода которого посылается на
сравнивающее устройство.
Все одномерные системы управления, то есть имеющие один вход и один выход,
могут быть сведены к соединению с обратной связью. Рассмотрим функциональную
схему САР:
СУ
УЭ
ЗУ
ИЭ
РГ
ОР
ИЗУ
Здесь приняты следующие обозначения: ЗУ- задающее устройство, предназначенное
для задания требуемого значения или закона изменения регулируемой величины; СУ сравнивающее устройство,
предназначенное для сравнения измеренного значения
регулируемой величины с требуемым; УЭ - усилительный элемент, предназначенный для
усиления мощности сигнала в цепи управления, он питается энергией от внешнего
источника;
РГ – регулятор, это устройство, которое в зависимости от величины поступающего
сигнала, в соответствии с заложенным в нем законом, вырабатывает управляющий сигнал
определенной величины; ИЭ - исполнительный элемент, этот элемент воздействует на
объект регулирования; ОР - объект регулирования; ИЗУ - измерительное устройство, оно
измеряет или регистрирует значение измеряемого параметра. Обычно оно представляет
собой преобразователь одной физической величины в другую. Измерительные устройства
необходимы для преобразования управляемых переменных в сигналы управления.
Система, состоящая из объекта регулирования и регулятора, называется контуром
управления. Устройство, обеспечивающее процесс управления, называется управляющим.
Рассмотрим принцип управления по отклонению регулируемой величины от
заданного значения. Он основан на использовании информации о результатах управления.
При управлении с обратной связью значение управляемой переменной постоянно
сравнивается с ее заданным (эталонным) значением. В представленной ниже схеме,
состоящей из регулятора и объекта регулирования, показано приложение воздействий и
следование сигналов:
f
g
е
РГ
u
ОР
y
На объект регулирования воздействует внешнее возмущение f и управляющее
воздействие u с регулятора. Информация о состоянии ОР передается по цепи обратной
связи на вход системы, где сравнивается с заданным значением g. Разность e = g – y
воздействует на регулятор. Введение обратной связи приводит к тому, что обратная связь
входит в канал управления. Этот принцип управления является фундаментальным.
Рассмотрим следующий принцип управления - управление по возмущению. Он
предусматривает измерение f и создание управляющих воздействий, компенсирующих
влияние f на объект:
f
f - возмущение
ИЗУ
+
g
е
УУ
u
ОУ
Возмущение, действующее на ОУ, измеряется и подается на вход системы, где
суммируется с g. На основе этой информации управляющее устройство вырабатывает
управляющее воздействие u, подаваемое на объект управления. К достоинствам такого
принципа управления можно отнести высокое быстродействие, а к недостаткам то, что
невозможно заранее учесть весь спектр возможных возмущений и воздействий, и как
следствие, возможность потери устойчивости в процессе управления объектом. Система
разомкнутого цикла отличается от системы замкнутого цикла тем, что в системе с
обратной связью имеет место сравнение реального значения управляемой переменной с
ее заданным (эталонным) значением, а в разомкнутой системе такое сравнение
отсутствует.
Рассмотрим схему комбинированного принципа управления:
f
ИЗУ
+
е
g
y
u
УУ
f - возмущение
ОУ
-
Отметим, что автоматические системы высокой точности обычно строятся по
принципу комбинированного управления (по отклонению и по возмущению).
Рассмотрим принцип управления - адаптацию:
ЭВМ
f - возмущение
v
g
f
+
е
u
УУ
y
ОУ
-
Схема состоит из обычной системы управления и контура самонастройки.
Самонастраивающаяся система - это система, в которой в процессе функционирования
автоматически в соответствии с формируемым ЭВМ законом управления изменяются
определенные параметры управления,
обеспечивая заданного качества управления в
условиях непостоянности задающих и возмущающих воздействий. Адаптивные системы
бывают самонастраивающиеся и самоорганизующиеся, последним из которых присуща
автоматическая перенастройка конфигурации структуры в процессе работы системы.
Одной из существеных характеристик системы автоматического регулирования
является зависимость значения регулируемого параметра от величины внешнего
воздействия. По виду такой рабочей характеристики различают статическое и
астатическое регулирование. Регулирование со статической характеристикой это
регулирование,
при
котором
в
установившемся
режиме
имеется
определенная
зависимость между величиной отклонения регулируемого параметра от заданного
значения и величиной внешнего воздействия. В противном случае имеет место
астатическое регулирование. Система управления (СУ) называется системой прямого
действия, если у нее при изменении значения управляемого параметра исполнительный
элемент
приходит
в
действие
непосредственно
от
сигналов
возникающих
в
чувствительных элементах без использования вспомогательной энергии. В противном
случае система является системой непрямого действия. Стабилизирующей системой
управления называется такая система управления, назначение которой поддерживать
значение регулируемого параметра постоянным (g(t) = const). Следящей системой
управления
называется
такая
система
управления,
которая
изменяет
величину
управляемого параметра в зависимости от неизвестного заранее значения задающего
воздействия (g(t) – случайная величина). Система управления, у которой задающее
воздействие g(t) – известная функция, называется системой программного управления.
Перейдем к рассмотрению математического описания процессов, происходящих в
системах регулирования.
1.2. Математическое описание динамики САР
f(t)
g(t)
e(t)
РГ
u(t)
y(t)
ОР
-
На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами
существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет
характеризоваться следующими параметрами:
y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее
воздействие; e(t) – рассогласование сигналов; g(t) - задающее воздействие. Значения этих
параметров в моменты времени t1, t2, ... tk дают полную информацию о состоянии САР.
Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u),
тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой
уравнений вида [1]:
y (t) = G [ y(1), y(2), ..., y(n), f , f(1), ..., f(l), u, u(1), ... ,u(q)]
(1.1)
u (t) = Q [ e, e (1), ... e (n), u(1) , ..., u(q)]
(1.2)
e (t) = g (t) - y (t)
(1.3)
Переменные u и e - внутрение, математически их можно выразить через внешние
переменные. Следовательно, можно записать:
y = F [ y(1), ...y(n) , f, f(1) , ...f(l) , g, g(1) , ...g(m) ]
(1.4)
Здесь под y(i) , f(i) , g(1) понимаются соответствующие производные. Уравнение (1.4)
называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в
системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы
вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В
таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в
первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая
получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру.
Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в
окрестности точки равновесия. В нашем случае
точка равновесия есть точка,
характеризующая установившееся состояние. Чем меньше отклонение от состояния
равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного
уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики.
Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени
к нулю:
y0 = F (0, ..., 0, f0, 0, ...0, g0, 0, ...,0).
Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:
g = g0 +  g,
f = f0 +  f.
Тогда в системе возникает переходной процесс:
y = y0 +  y.
Представим функцию F рядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в
разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с
откидываемыми малыми величинами:
y = F (0,...,0,f0,0,...,0,g0,0,...,0) + ( Fy )0
y
+ (  Fg )0  g + ( Ff )0  f + ...
Далее, учтем, что y0 = F (0, ... 0, f0, 0, ...0,g0, 0, ...0) и отметим, что в уравнение динамики
входят только отклонения, но не сами переменные, кроме того
d y d ( y0  y ) d y
, поскольку y 0 = const.


dt
dt
dt
Поэтому символ приращения 
можно опустить. Введем коэффициенты а i , c i , b i
равные частным производным функции F по g, f, y соответственно в точке равновесия.
Перепишем уравнение динамики с учетом введенных переменных, получим:
bn
m
d n y(t )
d n1 y(t )
dy(t )
d i g (t ) l
d i f (t )

b

...

b

b
y
(
t
)

a

c


n1
1
0
i
i
dt n
dt n1
dt
dt i
dt i
i 0
i 0
(1.5)
Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно
называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики
различают
модели, описываемые
дифференциальными
алгебраическими
уравнениями,
уравнениями,
дифференциальными
обыкновенными
уравнениями
в
частных
производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения
различают
модели
коэффициентами,
с
с
постоянными
переменными
(детерминированными,
(недетерминированными,
стационарными)
нестационарными)
параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых
интервалах времени. По виду временных функций, различают модели непрерывные,
дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные
системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы
характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы
их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если
входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение
всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система
управления,
поведение
которой
описывается
линейными
дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной
системой. В заключение отметим, что системы управления по виду уравнений динамики
разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и
одномерные, непрерывные и дискретные.
Аналитическое построение математической модели
Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:
 выбираются обобщенные координаты (1.1), характеризующие объект;
 выбираются начальные условия;
 определяются физические или химические закономерности, которым подчиняется
поведение технического объекта;
 выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;
 при наличии нелинейных характеристик уравнение по возможности линеаризуется.
Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев на
примерах анализа работы элементов электрических цепей. Для этого понадобятся знания
закона Ома и законов Кирхгофа. Вспомним законы Кирхгофа:

для токов. Алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;
 для напряжения. Алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого
контура равна нулю.
Пример 1.1. Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R
C цепь:
R
С
U0
U
Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным - U C  U , и цепь
считать ненагруженной, то, воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи,
составленными на основе уравнений Кирхгофа, можно записать:
U R  UC  U0  0 ,
iR  iC  0 .
Учитывая, что iR  iC , обозначим ток в цепи через i и перепишем
уравнение Кирхгофа для напряжений, получим
R * i + U = U0.
Далее воспользуемся известной формулой
емкости от напряжения
получим
R *C
ic
зависимости тока на
dU
, подставим ее в уравнение,
dt
dU
 U  U 0 . Введем обозначение T = R * C,
dt
тогда уравнение динамики примет стандартный для звена вид
T
dU
 U  U0.
dt
Пример 1.2. Составим дифференциальное уравнение колебательного звена,
аналогом которого, может быть контур R L C.
L
R
iC  C
i
С
U0
dU C
;
dt
UL  L
diL
;
dt
iC  iL  iR  i
U
;
U R + U L + U C = U0;
dU
di
R *C
 L  U  U0 ;
dt
dt
Введем обозначения: T =
R *C
dU
dU 2
 L *C 2 U  U0
dt
dt
C *L ;  = 0.5 R
C / L ; тогда
уравнение динамики звена примет стандартный вид:
T2
d 2U
dU
 2 * T
 U  U0 .
2
dt
dt
Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному
исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что
свидетельствует
об
одинаковом поведении
процессов во
времени.
Аналогично
рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта
или системы.
Задачи проектирования многомерных систем управления
Проектирование многомерных систем управления включает:
формирование математической модели (уравнений) системы; расчет;
анализ; синтез. Чтобы приступить к автоматизированному проектированию, необходимо
ввести информацию о системе управления. Обычно при вводе данных задаются
коэффициенты уравнений, диапазоны изменения параметров, варьируемые параметры,
начальные значения. Если блок управления будет синтезироваться, то задаются
параметры объекта управления, его математическая модель и требования к его
функционированию.
При расчете многомерных линейных непрерывных систем управления обычно
используется матрица передаточных функций, на ее основе получают переходные и
импульсно-переходные характеристики, рассчитывают влияние разброса параметров,
строят
амплитудно-частотные
и
фазо-частотные
характеристики,
определяют
расположение полюсов и нулей передаточных функций. На основе расчета проводится
анализ
динамических
характеристик,
и
определяются
задачи
дальнейшего
проектирования. Обычно проектирование идет в направлении улучшения свойств системы
за счет оптимальной настройки параметров. Если положительного результата добиться не
удается, проектирование продолжается в направлении изменения схемы, что обеспечивает
синтез. Синтез, как правило, выполняется с применением методов аналитического
конструирования
регуляторов
(синтез
структур),
либо
в
направлении
синтеза
оптимальных управлений.
Отметим,
что
большую
роль
в
организации
автоматического
или
автоматизированного управления сложными объектами играет статистическая обработка
информации, в результате которой должно быть принято определенное решение. При
проектировании сложных систем таких как: систем одновременного управления большим
количеством объектов, каждый из которых имеет возможность до некоторой степени
самостоятельно определять свое поведение и принимать решения, может быть построено
только на основе статистических методов.
1.3. Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции
Преобразование Лапласа связывает функцию F(s) (изображение) комплексной
переменной s с соответствующей функцией f(t) (оригиналом) действительной переменной
t . Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических
целей. Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям
над оригиналами
соответствуют более простые соотношения и операции над их
изображениями. Подход заключается в преобразовании уравнения, содержащего
оригиналы f(t), в эквивалентное уравнение относительно соответствующих изображений
Лапласа F(s), где s =  + j на основе известной формулы преобразования [2]:

F ( s)  [ f (t )
   f (t )e st dt
o
Рассмотрим часть основных свойств преобразования Лапласа, знание которых
понадобится для работы с математическими моделями САУ:
 дифференцирование оригинала
d n f (t) 


n
n 1

f ( o)  s n  2 f (1) ( o) ... f ( n 1) ( o)
  s F( s)  s
n


dt


 интегрирование оригинала
t



 F( s)
  f ( ) d  
s


0

 линейность
 ( f (t )   y (t ))  F ( s)  Y ( s) .
Пусть динамика системы управления описывается уравнением вида:
bn
d n y (t )
d m g (t )
 ...  b0 y(t )  am
 ...  a0 g (t )
n
dt
dt m
где y(t) - управляемый параметр, g(t) - внешнее воздействие, вызывающее реакцию
системы управления. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, то есть
до приложения внешнего воздействия система находилась в состоянии равновесия
(установившемся
состоянии).
Применим
к
обеим
частям
уравнения
динамики
преобразование Лапласа, получим:
(b n sn +...+ b 0 ) Y ( s ) = (am sm + ... +ao) G ( s ).
Проследим связь входных и выходных величин:
am s m  ...  a0
Y ( s) 
G( s) .
bn s n  ...  b0
Введем функцию вида
W ( s) 
Y (s)
G(s)

am s m  ...a0
.
bn s n  ...b0
(1.6)
Эта функция является передаточной. Передаточной функцией называется отношение
изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция элементов и систем является одной из важнейших
характеристик, определяющих динамические свойства. Отметим, что для всех реальных
(физически реализуемых) объектов степень полинома числителя передаточной функции
не больше степени полинома знаменателя.
Аппарат передаточных функций является
эффективным при исследовании линейных стационарных систем, имеющих сложные
структурные
схемы.
Обратный
переход
от
изображения
к
оригиналу
может
осуществляться на основе обратного преобразования Лапласа, если оно существует. Для
рациональных алгебраических функций обратное преобразование существует всегда и для
его получения обычно применяется разложение Хевисайда, рассмотрим его. Пусть
A( s ) = am sm + ...+ a0,
представляют
собой
B( s ) = bn sn + ...+ b0
соответственно
полиномы
числителя
и
знаменателя передаточной функции W(s). Пусть корни полинома
знаменателя не кратные, тогда
переходную
и весовую функции
можно представить на основе разложения Хевисайда следующим
образом:
A(0) n A( s) st
h(t ) 

e |s  sk
B(0) k 1 sBs ' ( s)
n
A( s) st
e |s  sk
'
k 1 Bs ( s )
w(t )  
Bs ( s ) 
'
dB ( s )
ds
.
При кратных корнях полинома знаменателя применяются другие формулы, учитывающие
этот факт.
2.1.Типовые воздействия
Типовые воздействия это типовые функции времени, подаваемые на вход
устройства, по реакции на которые определяются динамические характеристики
устройства в переходном режиме. Переходным режимом считается режим перехода
технического устройства из одного состояния в другое. Считается, что состояние
технического устройства в фиксированный момент времени определяется значением его
обобщенных координат. Рассмотрим типовые воздействия.
Типовое воздействие 1 ( t )
0,
1(t )  
1,
t0
t  0
1(t)
t
Реакция системы управления на функцию 1(t) называется переходной функцией или
переходной характеристикой и обозначается h(t).
Импульсная дельта - функция
,
0,
 (t )  
t0
t0
Реакция системы управления на
0
импульсную дельта - функцию называется
импульсной переходной функцией, функцией веса, весовой функцией. Обозначим ее через
 (t). Особенность дельта - функции заключается в том, что она имеет единичную
площадь:


 (t )dt  1 .

Отметим, что импульсная переходная функция зависит только от интервала времени
между моментом начала действия импульса  и данным моментом времени t. Важно
знать, что импульсная переходная функция  (t) системы и переходная характеристика
h(t) связаны соотношением:
.
h(t )   (t ) .
Передаточная функция непрерывной линейной стационарной системы определяется через
преобразование Лапласа ее весовой функции, а именно:

W ( s)    (t )e st dt
0
Типовые воздействия 1(t) и  (t) являются наиболее неблагоприятными для работы
технических устройств и их элементов. Если качество управления удовлетворительно при
типовых воздействиях, то тем более оно будет удовлетворительно при обычных режимах
работы.
Гармоническая функция
Гармонические функции на входе и выходе устройства могут быть
представленны следующим образом:
gвх (t) =Aвх sin  t,
gвых (t) =Aвых sin ( t + ).
Частотные характеристики A() и () описывают установившиеся вынужденные
колебания, полученные при подаче на вход устройства гармонического воздействия. A()
- амплитудно - частотная характеристика. () – фазо-частотная характеристика.
2.2. Типовые звенья обыкновенных линейных систем
Обыкновенными называют линейные системы с постоянными параметрами. После
многократного применения операции разбиения практически любую техническую
систему в конечном итоге можно разбить на не подающиеся дальнейшему разбиению
звенья
четырех
дифференцирующие.
типов:
Из
умножающие,
названных
типов
суммирующие,
звеньев
к
интегрирующие,
динамическим
интегрирующие и дифференцирующие. При разбиении (декомпозиции)
относятся
схемы на
элементарные звенья она обычно становится чрезмерно детальной, громоздкой и
малонаглядной, поэтому в системах автоматического управления широкое применение
находит декомпозиция на типовые звенья несколько более сложной структуры, чем
элементарные, но более соответствующие реальным элементам. Рассмотрим их.
Идеальное интегрирующее звено (интегратор)
Интегральное и дифференциальное уравнения звена имеют вид:
t
y (t ) 
1
T
x(t )  T dydt(t ) .
 x(t )dt  x0 .
0
Здесь приняты следующие обозначения: х(t) – входной сигнал, у(t) – выходной сигнал.
Воспользуемся изображением Лапласа, получим:
y(s)  Ts1 x(s) .
Откуда нетрудно выразить передаточную функцию звена:
W ( s) 
y(s)
x( s)
 Ts1 .
Переходная функция звена, то есть реакция звена на входное воздействие
х(t) = 1(t) при начальных условиях х(0) = 0, будет следующей:
h(t )  T1 t ,
t  0.
Она изображается прямой, наклоненной к оси t под углом arctg (1/T).
Импульсная переходная или весовая функция идеального интегрирующего звена является
реакцией звена на типовое входное воздействие в виде импульсной дельта - функции х(t)
=  (t) и определяется выражением
 (t )  T1 1(t ).
При х(t) =  (t) выходная величина y(t) скачком принимает постоянное значение, которое
и сохраняет в дальнейшем. Примером приближенной реализации интегратора может
служить двигатель постоянного тока, у которого постоянная времени мала в сравнении с
временем переходного процесса системы, в которой двигатель работает.
Идеальное дифференцирующее звено
Дифференциальное уравнение звена имеет вид:
y(t )  T dxdt(t ) .
Воспользуемся преобразованием Лапласа и перепишем последнее уравнение:
y(s) = T s x(s).
.
Передаточная функция определится выражением:
W (s) 
y(s)
x(s)
 Ts.
Переходная характеристика такого звена определяется выражением:
h(t )  T (t ) ,
где  (t ) - импульсная дельта - функция. Переходная характеристика представляет собой
импульс типа дельта - функции с площадью Т. Возможность представления реального
звена идеальным дифференцирующим определяется соотношением постояной времени
звена и дифференцируемого процесса. Чем больше инерция звена, тем с большей
погрешностью оно будет дифференцировать быстро изменяющиеся функции. О близости
реального звена к идеальному звену удобно судить по частотным характеристикам.
Отметим, что идеальный дифференциатор дает усиление гармонических колебаний,
пропорционально частоте и опережение выходных колебаний по фазе  / 2 независимо от
частоты.
Весьма
близким
к
идеальному
дифференцирующему
звену
является
дифференцирующий усилитель с большим коэффициентом усиления. В той полосе
частот, которая указана в паспорте усилителя, его передаточная функция
W ( s )  Ts.
Выходная величина дифференцирующего звена при гармоническом воздействии
пропорциональна частоте воздействия, и звено усиливает высокочастотные помехи, что
сильно затрудняет его использование. Поэтому в моделирующих устройствах обычно
стремятся обойтись без дифференцирующих звеньев. Это всегда возможно, если степень
числителя передаточной функции моделирующего звена не выше степени знаменателя.
Неидеальное интегрирующее звено
Строго говоря, любое реальное интегрирующее звено неидеально.
Иногда грубое интегрирование выполняют с помощью статического звена, например, с
помощью пассивной RC цепи, для которой ранее было найдено уравнение динамики
T
dU
 U  U 0 . При переходе в s – область уравнение принимает вид U ( s)(Ts  1)  U 0 ( s)
dt
или
U (s) 
1
U 0 ( s) . Передаточная функция такого звена определится выражением:
Ts  1
W ( s)  11Ts .
Дифференцирующее инерционное звено
Рассмотрим схему
C
U вх
U вых
R
Для этой схемы законы Кирхгофа для токов и напряжений имеют вид:
iR  iC ,
UC  U вых  U вх ,
где у токов и напряжений опущен аргумент (время) с целью обеспечения наглядности
математических выкладок. Далее учитывая, что
iR 
U вых
R
,
UC 
1
C
i
C
dt ,
перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений
Uвх 
1
C
i
C
dt  U в ых , ,
iC  iR 
U вых
R
.
Подставим последнее выражение iC в интеграл, получим
Uвх 
1
C

U вых
R
dt  U в ых .
Продифференцируем левую и правую части уравнения, получим дифференциальное
уравнение рассматриваемого звена:
dUвх
dt

1
RC
U вых  dUdtвых .
Далее, чтобы получить выражение передаточной функции, умножим левую и правую
части уравнения на одинаковый сомножитель Т = RС, применим преобразование Лапласа,
перейдем к изображениям, сгруппируем члены нужным образом. Будем иметь
U вых (1  RCs )  RCsU вх
U вых  (1RCs
U вх ( s)  1TsTs U вх ( s).
RCs )
Погрешность замены идеального звена неидеальным звеном,
можно уменьшить,
выбрав T достаточно малым, и вводя большой коэффициент усиления k. Передаточная
функция такого звена определится выражением:
W ( s)  1kTs
 Ts
.
Переходная функция звена, то есть реакция звена на входное воздействие
х(t) = 1(t) при начальных условиях х(0) = 0, будет следующей:
k t
h(t )  e T ,
T
t  0.
В момент включения h(0)=k, то есть выходная величина изменяется скачком аналогично
изменению входной х(0) = 1.
Идеальное форсирующее звено
Введение производных в закон регулирования осуществляется обычно с помощью
так называемых форсирующих звеньев. Идеальное форсирующее звено осуществляет
сложение выходной величины с ее производной и имеет передаточную функцию
W ( s)  Ts  1.
Апериодическое звено первого порядка
Рассмотрим звено с передаточной функцией
W ( s) 
k (T2 s 1)
T1 s 1
.
В таком звене при T2  T1 преобладает форсирование (дифференцирование), при T1  T2 инерционное запаздывание (интегрирование). Поэтому такое звено часто называют
интегрирующим. При T2  0 , оно превращается в часто используемое звено, называемое
статическим звеном первого порядка, инерционным, апериодическим. Величины k и T
называются соответственно
коэффициентом усиления и постояной времени.
Колебательное звено
Уравнение динамики такого звена было получено ранее на примере RLC контура.
Такое звено имеет дифференциальное уравнение вида
T2
d 2U выхх (t )
dU вых (t )
 2T
 U вых (t )  U вх (t ) .
dt 2
dt
Перейдем к изображению Лапласа, получим:
T 2 s 2U в ых ( s)  2TsU в ых ( s )  U в ых ( s )  U в х ( s ) .
U вых ( s) 
1
U вх ( s) .
T s  2Ts  1
2 2
Откуда следует выражение его передаточной функции
W ( s) 
1
.
T s  2Ts  1
2 2
Колебательное звено, у которого   0 , называется консервативным
( резонансным) звеном.
Аналогичным образом получены передаточные функции остальных типовых
звеньев, результаты внесены в таблицу 1:
Таблица 1.
Тип звена
Передаточная
функция
1. Безынерционное звено
k, k = const
2. Идеальное дифференцирующее звено
ks
3. Дифференцирующее звено с замедлением
ks / (1+Ts)
4. Идеальное интегрирующее звено
k/s
5. Интегрирующее звено с замедлением
k / (s (1 + Ts))
6. Апериодическое звено 1-го порядка
k / (Ts+1)
7. Апериодическое звено 2-го порядка
k / (T2s2+T1s+1)
8. Колебательное звено
k / (Ts2+2Ts+1)
9. Идеальное форсирующее звено
Ts+1
10. Изодромное звено
k ( Ts +1) / s
11. Консервативное звено
k / ( T2 s2+ 1 )
2.3. Топология систем управления. Способы соединения элементов
Символическое изображение всех функциональных элементов и связей между ними,
отражающее последовательность взаимодействия процессов в системе управления,
называется функциональной или структурной схемой.
Если известна структурная схема и параметры системы, то можно, пользуясь аппаратом
структурных преобразований, найти передаточную функцию любой системы.
При исследовании линейных систем важно уметь приводить структурные схемы к
форме наиболее удобной для расчетов. Для этого необходимо научиться заменять одни
структурные схемы на равноценые, но более удобные для проводимых расчетов или
проводимого моделирования, что
позволяет значительно упростить определение
характеристик систем и сократить объем необходимых для этого вычислений. Всякая
структурная схема представляет собой
совокупность более простых структур, точек
разветвления, сумматоров, соединенных между собой различными способами. Любое
преобразование структурной схемы сводится к эквивалентной перестановке различных
ее соседних элементов. Точки разветвления линейных систем называются узлами.
Основной принцип перестановки элементов структурной схемы состоит в том, что все
входные и все выходные переменные преобразуемого участка должны остаться
неизменными. Одномерной системой управления называется система, имеющая один
контур управления, то есть система с одной управляемой координатой и одним задающим
воздействием. Многомерной САУ называется такая система управления, у которой
несколько управляемых параметров. Рассмотрим способы соединения элементов в схеме и
формулы передаточных функций типовых соединений.
Последовательное соединение
W2 ( s )
W1 ( s )
...
Wn (s )
Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных
функций входящих в соединение звеньев.
n
W ( s )  Wi ( s )
i 1
Параллельное соединение
W1 ( s )
r
y
W2 ( s )
+
...
Wn (s )
W(s) 
n
 Wi (s)
i 1
Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций
входящих в соединение звеньев.
Соединение с обратной связью
R
Y
W1 ( S )
+
W2 ( S )
Передаточная функция обратного соединения равняется отношению передаточной
функции звена в прямой цепи к произведению передаточных функций звеньев, стоящих в
прямой и обратной цепи со знаком + для отрицательной обратной связи и со знаком - для
положительной обратной связи, увеличенному на единицу:
W(s) 
W1 ( s )
.
1 W1 ( s )W2 ( s )
2.1. Вычисление передаточных функций
Нахождение передаточной функции сложного соединения можно произвести
несколькими способами. Один из них касается
процедуры последовательного
объединения элементов внутри схемы в блоки и нахождения передаточной функции
такого блочного содинения элементов.
Второй способ нахождения передаточной
функции сложного соединения заключается в использовании формулы Мейсона [1].
Рассмотрим ее. Передаточная функция между двумя произвольными вершинами А и В
графа определяется формулой:
WA,B  Wk  k /  ,
k
где k - количество прямых путей между A и B; Wk - передаточная функция к -го прямого
пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер;  определитель графа;  k- определитель к - го минора графа, полученного путем удаления
всех ребер и вершин, лежащих на к - ом пути, а также всех ребер, входящих и исходящих
из этих вершин. Такой определитель вычисляется по формуле:
  1  Wi  WiW j  WiW jWl  ...
i
i, j
i , j ,l
где Wi - передаточные функции различных контуров; Wi Wj - произведение передаточных
функций несоприкасающихся пар контуров; WiWjWl - произведение передаточных
функций несоприкасающихся троек контуров и т.д. Под прямым путем между двумя
заданными вершинами графа будем понимать непрерывную последовательность ветвей
одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более
одного раза. Под контуром будем понимать непрерывную последовательность ветвей
одного направления, при прохождении которой можно вернуться в вершину начала
прохождения, причем каждая вершина внутри контура встречается не более одного раза.
Рассмотрим применение формулы Мейсона на примерах.
Пример 1.3. Для заданной схемы, где передаточные функции звеньев соответственно
W1 ,W2 ,W3 ,W4 , найти передаточную функцию соединения.
4
Хвых
Хвх
1
3
2
Решение.
В схеме можно выделить только один прямой путь, проходящий через
последовательное соединение элементов 1 и 3. Его передаточная функция равна W1 *W3 .
Далее найдем в схеме замкнутые контуры. Их будет два. Один контур с элементами 1, 3, 4
и передаточной функцией  W1 * W3 * W4 , а другой контур с элементами 2,3 и передаточной
функцией  W2 *W3 . Знак минус учитывает отрицательную обратную связь. Найдем
определитель графа
  1  W1W3W4  W2W3 , минор графа 1  1 . Подставим полученные результаты в формулу
Мейсона, получим
WA,B 
W1W3 *1
.
1  W1W3W4  W2W3
Пример 1.4. Для заданной схемы, где передаточные функции звеньев соответственно
W1 ,W2 ,W3 ,W4 , найти передаточную функцию соединения.
Хвых
Хвх
1
4
3
+
2
Решение. В схеме можно выделить два прямых пути с элементами 1,3,4 и 2,3,4 и с
передаточными
функциями
W1 * W3 * W4
и
W2 * W3 * W4 соответственно. В схеме
определяются контура с элементами 1,3 ; 2,3; 2 и с передаточными функциями  W1 *W3 ,
 W2 *W3 ,
 W2 соответственно.
Определитель графа   1  W1W3  W2W3  W2  W1W3W2 . Миноры графа, соответствующие
прямым путям: 1  1  W2 и
 2  1. Подставим полученные результаты в формулу
Мейсона, получим
WA,B 
W1W3W4 * (1  W2 )  W2W3W4 *1
.
1  W1W3  W2W3  W2  W1W3W2
2.2. Свободное и вынужденное движение
Пусть y(t) - сигнал на выходе устройства, g(t) – сигнал, подаваемый на его вход.
Пусть работа устройства описывается в общем виде уравнением:
bn
d n y (t )
d m g (t )
 ...  bo y (t )  am
 ...  ao g (t ) .
n
dt
dt m
Чтобы определить y(t) необходимо решить дифференциальное уравнение. Такое решение
может быть записано в виде:
y(t) = y своб.(t) + y вын.(t),
где y своб (t) – решение однородного дифференциального уравнения:
bn
d n y(t )
 ...  bo y(t )  0 .
dt n
Такое уравнение определяет свободное движение или колебания. yвын.(t) есть частное
решение
рассматриваемого
неоднородного
дифференциального
уравнения.
Оно
определяет вынужденные движения, обусловленные внешним воздействием.
Рассмотрим принцип суперпозиции, применяемый в проектировании сложных
систем управления. Пусть на техническое устройство подается несколько внешних
воздействий.
Тогда
для
такого
устройства,
описываемого
системой
линейных
дифференциальных уравнений, справедливо утверждение, что сигнал на выходе
устройства равен сумме выходных сигналов, полученных при подаче на вход устройства
одного воздействия при равенстве нулю всех остальных. Принцип наложения сигналов
называется принципом суперпозиции. Рассмотрим систему автоматического управления с
несколькими управляемыми параметрами, то есть многомерную, общая схема которой
может быть представлена следующим образом:
g1
y1
g2
...
gm
САУ
y2
...
yn
В качестве математической модели такой системы может рассматриваться система
алгебраических уравнений:
Yi (s) = Wi1(s) G1(s) + Wi2 (s) G2 (s) + . . .+ Wim (s) Gm(s).,
записаная в векторно-матричной форме:
W
 Y  W
12
 Y1   W11
...
 2    21
 ...   ...
  
Yn   Wn1 Wn2
W1m   G 
 G1  .
 2 
  ... 


... W  G 
nm   m 
...
Если исследовать динамические свойства САУ при типовых режимах, то предполагается,
что типовое воздействие одного вида подают на все входы одновременно, тогда выходной
сигнал будет определяться по формуле:
Yi (s) = G(s) * (Wi1(s) + Wi2(s) + . . . + Wim(s)).
Сумма Wi1(s) + Wi2(s) + . . . + Wim(s) называется обобщенной передаточной функцией. Число
обобщенных
передаточных
функций
многомерной
САУ
определяется
числом
управляемых сигналов. Рассмотрим определение принципа суперпозиции через понятие
оператора системы. Пусть А – оператор системы.
Если для системы характерно
выполнение условия:
n
 n
A cv xv (t )   cv Ax (t ) ,
 v 1
 v 1
то это свойство линейности системы эквивалентно выполнению принципа суперпозиции.
Отсюда можно сделать заключение, что нелинейным называется любой оператор, для
которого принцип суперпозиции не имеет места или справедлив только при некоторых
вполне определенных функциях x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) и числах c1 , c2 ,..., cn . Далее заметим,
что запись вида:
2
2




A  c( ) x(t ,  )d    c( ) Ax(t , d


 1
 1
выражает принцип суперпозиции в интегральной форме.
2.3.
Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа
Передаточную функцию разомкнутой системы управления можно представить в
виде:
Wр аз. ( s) 
kA( s )
.
B( s)
Здесь k - числовой коэффициент, в который в качестве сомножителя входит коэффициент
усиления сигнала в прямой цепи. Передаточная функция замкнутой системы управления с
единичной отрицательной обратной связью определяется по формуле:
Wзам. ( s ) 
Уравнение
Wр аз. ( s )
1  W раз. ( s )

kA( s )
.
B ( s )  kA( s )
B(s) + kA (s) = 0 называется характеристическим. Его корни называются
полюсами, а корни уравнения kA(s) = 0 называются нулями. Полюса и нули могут
рассматриваться в качестве динамических характеристик наряду с переходными и
частотными. При изменении k от 0 до бесконечности полюсы описывают в комплексной
плоскости траектории, называемые корневым годографом, траектории могут иметь
произвольную форму,определяемую уравнением динамики, например, гиперболу
j

По движению полюсов вдоль траекторий судят о свойствах системы управления.
Отметим несколько основных свойств корневого годографа:
 корневой годограф симметричен относительно действительной оси;
 действительная ось принадлежит корневому годографу;
 число ветвей корневого годографа определяется степенью характеристического
уравнения.
Основное аналитическое уравнение траектории корней имеет вид алгебраического
уравнения:
{[ A( ) 
[ B( ) 
2
2!
2
2!
A( 2) ( ) 
B ( 2) ( ) 
4
4!
4
4!
A( 4) ( )  ...][ B (1) ( ) 
B ( 4) ( )  ...][ A(1) ( ) 
2
3!
2
3!
B (3) ( ) 
A(3) ( ) 
4
5!
4
5!
B (5) ( )  ...] -
A(5) ( )  ...]}  0 .
Это уравнение позволяет по задаваемому значению  найти  , и наоборот, то
естьуравнение дает возможность строить по точкам корневой годограф. Здесь приняты
следующие обозначения: A(), B() - полиномы A(s) и B(s) соответственно после
подстановки s = . A(i ) ( ) , B(i ) ( ) - производные этих полиномов. Для многомерной
системы управления число характеристических уравнений будет определяться числом
управляемых параметров. Если все каналы управления связаны между собой, то
характеристические уравнения всех каналов будут одинаковые.
2.4.
Построение частотных характеристик
Для произвольных линейных систем применение частотных характеристик
обязательно включает операцию перехода к преобразованию Лапласа. Запишем формулу
передаточной функции:
W ( s) 
am s m  am 1s m 1  ...  a0
bn s n  bn 1s n 1  ...  b0
Если от аргумента s =  + j перейти к аргументу s = j, положив  = 0, то будем иметь
дело с моделью в виде частотной передаточной функции:
Z (i ) 
Q1 + j Q 2
Q P +Q P
 P  jQ  Z (i ) e i ; P( )  1 21 22 2 ;
P1 + j P2
P1 + P2
Q( ) 
Q1 = ao - a2 2 + a4 4 - ...
Q2 = a1 - a3 3 + a5 5 - ...
P1 = bo - b2 2 + b4 4 - ...
P2 = b1 - b3 3 + b5 5 - ...
A( )  P 2  Q 2 
Q12  Q22
;
P12  P22
 ( )  arctg (Q / P)  arctg
Q 2 P1 - Q1 P2
;
P12 + P22
Q2 P1  Q1 P2
.
Q1 P1  Q2 P2
Меняя частоту  от 0 до  можно строить частотные характеристики, по виду которых
анализируется качество работы схемы. Итак, в общем виде
амплитудно - фазовая характеристика имеет вид:
Q

A( )
 ( )

P
0
Отметим, что динамика стационарных линейных систем в плане анализа устойчивости и
быстродействия
полностью
характеристик. Однако,
может
быть
исследована
с
помощью
частотных
применение частотных характеристик для произвольных
линейных систем не всегда рационально. Такой выбор должен быть обоснован.
2.5.
Методы анализа качества систем управления
Понятие устойчивости систем управления
Комплекс требований, определяющих поведение САУ, объединяется понятием
качества процесса управления (качества системы управления). Главным требованием,
предъявляемым к качеству работы систем управления, является требование устойчивости.
Рассмотрим основные положения теории устойчивости.
Если под действием возмущения система управления отклонилась от состояния
равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия возмущения
снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым,
сходящимся к исходному. Если по окончанию воздействия, как бы мало оно не было,
управляемая координата продолжает изменяться, или, если по окончании воздейсвия
устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального, зависящее от
произведенного воздейсвия, то объект является неустойчивым. Объект, способный после
кратковременного внешнего воздействя с течением времени возвратиться к исходному
состоянию или близкому к нему является ассимптотически устойчивым.
Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову [1]. Пусть имеем уравнение
динамики:
dx
d n 1x .
 f ( t , x, ,...,
)
dt
dt n
dt n 1
d nx
Его можно переписать с использованием фазовых координат:
dx i
dt
 f i ( t , x1 , x 2 ,..., x n ) .
xi 
dxi 1
,
dt
x1  x.
x i - фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Их можно трактовать как
координаты n – мерного пространства. Такое пространство называется пространством
состояний,
и
его
координаты
x ( k ) (t ), k  0, n  1 . Координаты
лишенные физического смысла.
представляют
собой
производные
по
времени
xi вектора состояния – это абстрактные величины,
Представленное уравнение в фазовых координатах
описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты x i в начальный
момент времени t = to имеют значения: x1 = 1 (t0), x2 = 2 (t0), ... , xn = n (t0). Решение
дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно
может быть записано в виде
xi =  i [t,  i (to)] .
Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли
значения:
 i*(to) =  i (to) + i .
Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:
xi* =  i*[t,  i* (to)] .
Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется
устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений x i
возмущенное движение в момент времени t > t0 будет отличаться от невозмущенного
движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением x i , будет
устойчивым по Ляпунову, если для любого  > 0 можно подобрать  () > 0, чтобы при
t > t0
и при
|  i*(to) -  i (to) | <  ()
выполнялось условие:
|  i*(t) -  i (t) |  .
Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается
асимптотически устойчивым, если при t  
lim |  i*(t) -  i (t) | = 0.
Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в
результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является
ее приближенной моделью, вследствие этого
возникает вопрос – правомерно ли
переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную
систему, когда и в какой мере это справедливо. А.М. Ляпуновым был доказан ряд теорем,
отвечающий на поставленный вопрос.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения
первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной
нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при
линеаризации членов.
Теорема
2.
Если
среди
корней
характеристического
уравнения
первого
приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то
невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации
членов.
В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто
мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части,
судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком
случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации
нелинейные слагаемые.
Другими словами стационарная линейная система управления, поведение которой
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, устойчива тогда и
только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения (полюсы ее
передаточной функции) имеют отрицательные вещественные части, то есть лежат в левой
полуплоскости комплексной переменной s.
Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной
области, представляется выражением:
bnsn + bn-1s n-1+ ... + bo = 0.
Если
система
управления
исследуется
в
области
фазовых
координат,
то
характеристическое уравнение рассматривается в виде:
det [ sE - A] = 0,
где A – матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная
матрица; s - алгебраическая переменная.
В теории автоматического управления пользуются условиями, которые позволяют
судить о расположении корней характеристического уравнения в левой полуплоскости
без нахождения их значений. Что весьма существенно, так как корни уравнений выше
четвертой степени не выражаются через коэффициенты посредством алгебраических
соотношений и могут быть найдены лишь численно. Такие условия называются
критериями устойчивости. Существует несколько критериев устойчивости. Все они
математически эквивалентны, так как решают единственный вопрос – лежат ли все корни
характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Существующие критерии
устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные.
Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения
характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3].
Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:
bo sn+ b1 sn-1+ ... + bn = 0.
Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:
 b1
b
 0
0


 0
b3
b2
b1
b5
b4
b3
...
...
b7 ...
b 6 ...
b 5 ...
0
0 
0


b n 
При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты
характеристического уравнения, начиная с b1. Строки вправо от диагонали заполняются
коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания.
Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для
выполнения
условия
устойчивости,
то
есть
для
расположения
всех
корней
характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы
при bo > 0 все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы
Гурвица)
 1 = b1 > 0;
 2 = b1 b3  > 0; ...
b b

были
положительными.
0
Остановимся
2 
кратко
на некоторых
общих
замечаниях.
Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением
их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и
неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие
расчеты:
1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от
мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты bi
были одного знака;
2) обращение в нуль определителя  i свидетельствует о появлении пары
чисто мнимых корней;
3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то
все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные
корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;
4) если в последовательности b0, b1, b2,…, bn имеется одна перемена знака, то
имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число
перемен знака равно N > 1, то число таких корней равно N;
5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой
степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать
алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах.
Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная
функция замкнутой автоматической системы в форме
W ( s) 
am s m  am1s m1  ...  a0
b0 s n  b1s n1  ...  bn
.
Характеристическое уравнение при этом имеет вид:
B( s)  b0 s n  b1s n1  ...  bn =
0.
Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса
Таблица 2.
Коэфф. ri
Столбец
i
1
2
3
4
c11  b0
c21  b2
c31  b4
c41  b6
2
c12  b1
c22  b3
c32  b5
c42  b7
r3  c11 / c12
3
c13  c21  r3c22
c23  c31  r3c32
c33  c41  r3c42
c43
r4  c12 / c13
4
c14  c22  r4 c23
c24  c32  r4 c33
c34  c42  r4 c43
c44
r5  c13 / c14
5
c15  c23  r5c24
c25  c33  r5c34
c35  c43  r5c44
c45
…
.
…
…
…
…
ri  c1,i 2 / c1,i 1
i
c1i  c2,i 2  ri c2,i 1 c2,i  c3,i 2  ri c3,i 1
c3i  c4,i 2  ri c4,i 1
c4i
…
...
…
…
…
-
1
-
…
Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости.
Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия:
ri  0, i  3,4,...
_______
c1,i  0, i  1, n  1, (a0  0) .
Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то
система неустойчива, а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто
мнимых корней, что характерно для неустойчивых систем управления, либо
находящихся на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно
числу правых полюсов. В таблице Рауса для упрощения расчетов элементы строк можно
делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм
Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно
исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на
устойчивость отдельных параметров системы.
Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены
Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = i с
целью его рассмотрения в частотной области:
B(i) = bn (i)n + bn-1 (i)n-1+ ...+ bo = A () e i () = P() + i Q() = 0.
При изменении  от 0 до , вектор B(i) начинает описывать в комплексной плоскости
кривую, которую называют кривой Михайлова:
Q
 
B(iw)
P
0
b0
Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и
достаточно, чтобы вектор кривой B(i) при  =
0,
повернулся, нигде не обращаясь в 0,
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (  n)/2, где n - степень
характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается
последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.
В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об
устойчивости
замкнутой
системы
по
амплитудно-фазовой
характеристике
Z(j)
разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во
внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива,
то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s.
Рассмотрим функцию
1+ Z(i) = 1 +
A( s) B( s)  A( s)
.

B( s )
B( s )
(2.1)
В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы,
в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень
полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am
не выше степени n полинома B(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn . Тогда степени числителя и
знаменателя (2.1) одинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(i) изображается
вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы.
Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым,
необходимо и достаточно, чтобы
скользящий своим концом по
при возрастании  от 0 до  вектор 1+ Z(i),
амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой
системы, повернулся вокруг точки (-1, j) в направлении по часовой стрелке k/2 раз, где k
– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под
правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости
комплексной плоскости s.
Корневые показатели качества
Отметим, что основными показателями качества системы управления являются
устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием
устойчивости системы управления считается выполнение условия:
i < 0;
(si = i + ji , i= 1, n )
где si - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние
вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение
системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на
вход системы единичной ступенчатой функции.
1) si =  i < 0 , ( i = 1,…, n)
h(t)
t
0
2) si =  i +j,  i < 0, ( i = 1,…, n)
h(t)
t
0
3) s i =  i > 0
h(t)
0
t
4) s i =  i + j  i,
i > 0,
h(t)
t
5) si = j, автоколебания
h(t)
t
Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического
уравнения эталоной (идеальной) САУ:
si  ,
( =  + j:   -,  > 0, |  |   || ).
Здесь приняты следующие обозначения:  - степень устойчивости;  - показатель
колебательности. Область  выглядит следующим образом:
j




где   arctg (  ) . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания
следующих характеристик:
 степени устойчивости
 = | max Re(si)|,
Re(si) < 0,
( i = 1,…, n),
запасом устойчивости по амплитуде называется относительное
увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором
устойчивая система доходит до границы области устойчивости;
 колебательности
 = |Im (sдом) / Re (sдом)|;
 = arctg ,
колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях
допускается до 3;
 времени регулирования
Tрег = (1/) ln (1/  );
-
демпфирования (затухания)
 = 1 - exp (-2 / ),
демпфирование допускается в пределах 90-98%;
-
переходной функции
A(0) n A(s) es t
h (t) =
+ 
B(0) i = 1 sBs ' (s) s = si
 функции веса
n A(s) es t
 (t) = 
'
s=s
i
i = 1 Bs (s)
В введенных формулах приняты следующие обозначения: si - корень характеристического
уравнения; sдом - доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный
модуль; А(s) и В(s) – соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной
функции замкнутой системы; n - порядок полинома В(s);  - малое действительное
положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса
на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.
Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами
всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными
комплексными величинами.
Анализ качества САУ по переходной характеристике
Склонность системы управления к колебаниям, а также и запас устойчивости могут
быть охарактеризованы максимальным отклонением значения регулируемой величины от
установившегося значения. Рассмотрим график переходной характеристики и отметим
основные показатели.
h(t)
h max


h()
0.5 h( )
t
T рег
t зап
Здесь
 - величина перерегулирования. При анализе используют ее абсолютное или
относительное значение:
  hmax  h() ,
h
 h(  )
  max
h(  )
100 %.
h() - установившееся значение регулируемой величины. В большинстве случаев
считается, что запас устойчивости является достаточным, если перерегулирование < 30%.
В ряде случаев допускается до 70%. Быстродействие системы управления может
определяться по длительности переходного процесса Tрег. Длительность переходного
процесса определяется временем, протекающим от момента приложения на вход системы
управления единичной ступенчатой функции до момента начала выполнения неравенства:
| h(t) - h() |   ,
где  – статическая ошибка. Иногда в качестве требования, накладываемого на работу
системы управления, может задаваться допустимое число колебаний за время
регулирования. Отметим еще две важные временные характеристикия, используемые при
анализе качества работы системы управления:
 tзап. - время запаздывания - отрезок времени между моментом приложения входного
воздействия и моментом времени, при котором величина выходного сигнала станет
равной половине установившегося значения;
 время срабатывания - время между моментом приложения входного воздействия и
точкой пересечения переходной характеристики с h().
Анализ качества САУ по частотным характеристикам
Частотные характеристики легко находятся для любых сколь угодно сложных
систем простыми графическими и алгебраическими операциями. Для построения
амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных (ФЧХ)
характеристик
задаются
значения частот: 1, 2, ... и при каждом i по формулам А() и () рассчитывают
ординаты характеристик, затем по полученным точкам строят графики. Рассмотрим
графики этих характеристик и отметим некоторые их особенности.
A( )
Amax
1
0.707

p
cр
п
Резонансная частота p соответствует Аmax. Полоса частот от 0 до n называется
полосой пропускания. Частота среза ср соответствует амплитуде равной 1. Она
характеризует быстродействие.
При анализе качества САУ важными показателями
считаются запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Кроме того,
анализ часто включает построение логарифмических характеристик, а именно:
логарифмической амплитудно-частотной характеристики L() = 20lg A() измеряемой в
децибелах (дБ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (). В качестве
аргумента при построении логарифмических характеристик вместо  используется
аргумент lg, измеряемый в декадах.
L( )
lg 
cр

Запас устойчивости по модулю

B
2
A


 ( )
Запас устойчивости по фазе
3

2
Запасом устойчивости по амплитуде называется относительное увеличение
коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором устойчивая замкнутая
система доходит до границы устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде на основе
логарифмических
частотных
характеристик
определяется
следующим
образом:
необходимо точку А пересечения фазовой характеристики с прямой  ( )   или
 ( )  0 спроектировать на амплитудную характеристику, тогда модуль ординаты точки
В определит запас устойчивости по модулю. Запас устойчивости по фазе определяется
значением фазы на частоте среза, если частотная характеристика строится относительно
оси  ( )  0 . Если же она строится относительно оси  ( )   , то запас устойчивости
по фазе будет определяться величиной  . Устойчивость есть необходимое условие
нормального функционирования любой технической системы. Она должна иметь место не
только в случае постоянства параметров, но и когда в процессе эксплуатации параметры
изменяются в определенных пределах. Это может быть выполнено, если система работает
не на границе устойчивости, а на некотором удалении от нее. Другими словами система
управления
должна обладать некоторым запасом устойчивости, обеспечивающим ее
работоспособность в различных условиях эксплуатации. Рассмотрим оценку запаса
устойчивости в комплексной области. Для этого обратимся к характеристическому
полиному, где s заменим на j:
В(j) = P() + j Q() ;
 = 0, .
Отметим, что из двух систем управления потеряет устойчивость быстрее та, у которой
запас устойчивости меньше. В комплексной области в качестве меры запаса устойчивости
по фазе принимается угол  между отрицательным направлением действительной оси и
лучом, проведенным из начала координат через точку, лежащую на пересечении
частотного годографа B(i) c окружностью единичного радиуса.
Q
H
B ( j )
(1, j 0)
P

1
Величина  H показывает расстояние от точки (-1, j0) до точки пересечения
частотного годографа В(j) с действительной осью. Она является мерой оценки запаса
устойчивости по модулю.
2.6. Статические и астатические системы
Рассмотрим динамическую систему с одним входным воздействием x(t) [5]:
y(t) = W(p) x(t),
где
W(p) = A(p)/B(p),
А(p) = am pm + am-1p m 1 +... +ao,
B(p) = bnpn +bn-1 p n 1 +...+ b 0 ,
p
d
.
dt
Будем полагать, что в данном случае в качестве входа x(t) может выступать как задающее,
так и возмущающее воздействие, а под системой управления подразумевается как
разомкнутая система, так и замкнутая. Для статической системы, т.е. системы, у которой
b 0  0, значение передаточной функции в точке p = 0 определяется как : W(0) =a 0 / b 0 =
k, где k – статический коэффициент системы, и при постоянном входном воздействии х(t)
=
имеет
const
y ()  kx .
место
Отметим,
что
для
статической
системы
характеристическое уравнение B(p) = 0 не имеет нулевых корней. Включение
статического (пропорционального) регулятора в схему управления уменьшает статизм
замкнутой системы в 1/(k+1) раз, где k – коэффициент усиления разомкнутой системы,
при этом увеличивается астатизм, то есть возрастает точность выполнения командного
(задающего) сигнала.
Теперь рассмотрим астатическую систему, полагая
bk  0.
b0 = b1 = …= bk-1= 0,
Ее характеристическое уравнение может быть приведено к виду
B( p)  p k Bk ( p)
,
где
n 1
Bk ( p)  bn pn  bn 1
pn 1  ...  bk pk .
Такой полином имеет k нулевых корней. Число k назвается порядком астатизма. Для
астатической системы можно записать
W ( p) 
1
Wk ( p)
pk
,
где
Wk ( p ) 
A( p )
Bk ( p ) .
Характерным признаком астатизма служит наличие в структурной схеме k
интегрирующих звеньев:
f - возмущение
x(t)
УЭ
Wk(p)
1/p
...
Y(t)
1/p
k
f - возмущение
Порядок астатизма системы по управляющему воздействию равен числу интегрииующих
звеньев, входящих в контур. Порядок астатизма замкнутой системы по отношению к
рассматриваемому воздействию равен числу интегрирующих звеньев, включенных в цепь
обратной связи между точками приложения этого воздействия (входом) и измерения
ошибки (выходом) и не зависит от числа интегрирующих звеньев, включенных в цепь
прямого преобразования сигнала между этими точками. Так как для астатической системы
значение W(0) не определено, то можно ввести в рассмотрение показатель
Wk (0) 
a0
 Kk ,
bk
называемый добротностью системы
по соответствующей производной выходной
переменной (по скорости, ускорению и т.д.). Отметим, что астатизм системы управления
может быть обусловлен свойствами объекта управления или наличием в составе системы
ПИ и ПИД – регуляторов. Реализация замкнутых систем с высоким порядком астатизма
достаточно
затруднительна,
поскольку
система
автоматического
регулирования,
содержащая всего два интегрирующих звена, является структурно неустойчивой и не
может быть реализована без специальных корректирующих устройств. Важно знать, что
чем выше порядок астатизма системы, тем выше точность в установившемся режиме и
меньше запас устойчивости.
Введение пропорциональной составляющей в закон
управления по отклонению влияет и на точность и на устойчивость.
В завершение раздела отметим следующие простые, но важные положения.
1. При любых последовательных и параллельных соединениях устойчивых систем всегда
будет получаться устойчивая система.
2. Если среди соединяемых последовательно или параллельно систем имеется хотя бы
одна
неустойчивая, то и вся система, полученная в результате соединения, будет
неустойчивой.
3.
Исследование устойчивости
любой линейной
системы, полученной
путем
последовательного и параллельного соединения любого количества элементарных систем,
может сводиться к исследованию устойчивости отдельных элементарных систем,
входящих в ее состав.
4. Зная полюсы передаточных функций элементарных звеньев, легко определить какие
полюсы в правой полуплоскости будет иметь передаточная функция системы, полученная
путем последовательных и параллельных соединений этих звеньев, в случае, если она
неустойчива.
2.7.
Основы оптимизации и методы синтеза систем управления
Постановка задачи параметрической оптимизации
Пусть поведение одномерной системы управления описывается дифференциальным
уравнением вида:
B(p) y(t) = A(p) g(t),
p = d / dt
(3.1)
dn
d n1
B( p)  bn n  bn1 n1  ...  bo .
dt
dt
B(p) – операторная функция преобразования. Аналогично можно записать операторную
функцию A(p). Особого внимания заслуживает рассмотрение преобразования входного
сигнала g(t) в выходной y(t):
(3.2)
t
y(t )    (t   ) g ( )d
0
 – ядро операторного преобразования. Если в системе управления выделить вектор
варьируемых параметров х, то последняя формула примет вид:
(3.3)
t
y(t , x)    ( x, t   ) g ( )d
0
Пусть на качество САУ наложены ограничения вида:
(3.4)
~
lim
t 
lim
t 
y ( x, t )  y  
(3.5)
h( x, t  T рег )  h( x, t )
 
| h max (x, t < Tрег) - h ( х, t   )|   ,
Здесь приняты следующие обозначения:

(3.6)
- абсолютное значение величины
перерегулирования;  - статическая ошибка; h(x,t) - переходная характеристика; h (х, t 
~
) - установившееся значение переходного процесса; y - требуемое значение выходной
(управляемой) переменной.
Задача параметрической оптимизации для одномерной САУ, поведение которой
описывается уравнением (3.3), состоит в определении таких значений компонент вектора
x, принадлежащих заданной области, при которых САУ будет обладать требуемыми
характеристиками. Решение задачи сложный и трудоемкий процесс, часто с трудно
разрешимыми ситуациями. «Метод проб и ошибок» в поиске рациональных параметров
не является эффективным. Рассмотрим решение на основе моделирования процессов в
комплексной плоскости. В качестве модели САУ будем рассматривать модель вида:
Y(x, s) = W(x,s) * G(s),
( s    j )
Воспользуемся доказанным утверждением [6].
(3.7)
Для выполнения условий (3.4) - (3.6),
налагаемых на качество управления во временной области, достаточно выполнение
следующих условий в комплексной плоскости:
~
| s Y(x,s) - Y ( s ) |
s  ,
В
(3.8)
s 0
 ,
( =  + j:   -,  > 0, |  |   || ).
связи
с
этим
задача
параметрической
переформулирована следующим образом. Для
(3.9)
оптимизации
может
быть
САУ, поведение которой описывается
уравнением (3.7), требуется найти такие значения компонент вектора оптимизируемых
параметров х = хопт., при которых система управления будет обладать требуемым
качеством (3.8) – (3.9) за счет максимального приближения к эталоной системе
управления, чтобы целевая функция F(x), характеризующая такое приближение,
принимала минимальное значение F ( x)  min .
Методика решения задачи параметрической оптимизации
Прежде чем перейти к решению задачи, рассмотрим влияние полюсов и нулей на
статические и динамические характеристики системы управления.
Запишем выражение установившегося процесса на выходе одномерного объекта
управления:
W ( s  0) 
am s m  ...  a0
c
| s 0  0
bn s n  ...  b0
d0
.
Отметим, что если нуль и полюс находятся близко друг к другу, а именно: на расстоянии
менее чем 0.1 модуля, то влияние такого полюса ослабляется нулем, то есть полюс не
оказывает существенного влияния на динамические характеристики системы управления.
Рассмотрим пример. Пусть выходная функция Y(s) имеет вид:
Y ( s) 
s5
, ( s1п = - 5.2, s2п = - 8, s1н = -5).
( s  5.2)( s  8)
Поскольку расстояние между нулем и первым полюсом намного меньше модуля корня, то
влиянием ближайшего к нулю полюса можно пренебречь, так как он оказывает
несущественное влияние на динамику системы управления в целом. Рассмотрим
ситуацию, когда многомерная система управления, описываемая системой уравнений
(3.8), не удовлетворяет требованиям качества, это означает, что некоторые полюсы
выходят за границу области  или нули оказывают отрицательное влияние на качество
управления. Идеальной системой управления будем считать такую систему, которая имеет
заданное расположение полюсов и нулей или заданный корневой годограф. Для решения
задачи параметрической оптимизации введем в рассмотрение расположение идеальных
полюсов и нулей. Известные формулы перехода от корней алгебраического уравнения к
его коэффициентам позволяют найти
передаточную функцию
эталоной системы
управления вида:
(3.10)
m ~
n ~
~
W ( s )   al s l /  bl s l .
l o
l 0
Передаточная функция оптимизируемой по параметрам системы управления может быть
представлена в виде:
m
n
l 0
l 0
(3.11)
W ( x, s )   al ( x)s l /  bl ( x)s l .
Таким образом, имеем эталоную передаточную функцию в виде (3.10) и реальную в виде
(3.11). Метод параметрической оптимизации основан на приближении реальной системы
управления к эталоной как можно ближе за счет оптимальной настройки параметров x.
Введем в рассмотрение оптимизируемую функцию как средне - квадратичную ошибку
аппроксимации по коэффициентам передаточных функций эталоной и оптимизируемой
по параметрам систем управления. Целевая функция примет вид:

1  mi
F ( x)  
2  l 0

2
i
~

a

a
(
x
)

 l l  
l 0
n
2
~
 
bl  bl ( x)   min

~
Здесь приняты следующие обозначения: al(x), al - соответственно коэффициенты
~
~
полиномов A(x,s) и Al ( s) ; bl(x), bl - соответственно коэффициенты полиномов B(x,s) и
~
Bl ( s ) . Функция F(x) – алгебраическая. Для нахождения ее минимума на множестве X,
заданном ограничениями вида: l(х) = 0, (l= 1, k ), воспользуемся подходом основанным на
введении неопределенных множителей Лагранжа  j [2], что предполагает решение
системы уравнений вида:
l ( x)  0,
l  1, k

Ф( x, )

0

x
(3.12)
k
Ф(x,) = F(x)+  ji ( x)
j 1
где k - размерность вектора  . Первые уравнения вытекают из приравнивания к нулю
производных функции Ф(x, ) по переменным вектора . Минимум функций F(x) и Ф(x,
) будет достигнут в точке x = xопт, найденной из решения (3.13), если в этой точке будет
выполнено условие положительности квадратичной формы ( условие Вейерштрасса):
2Ф
|x опт  х i  x j  0


i 1 j1 x i x j
k
k
(3.13)
где  xi,  xj - малые приращения компонент вектора х. Следовательно, чтобы x = xопт
была точкой, в которой целевая функция принимает минимальное значение, необходимо и
достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия (3.12) и (3.13). Для решения (3.12)
используются известные методы, в частности, численный метод решения системы
нелинейных алгебраических уравнений Ньютона - Рафсона. Отметим, что любые
неравенства, накладываемые на неизвестные параматры вектора х, можно привести к
равенствам, вводя дополнительные неизвестные. Например, пусть имеем ограничение
вида:
х 1 <5, которое можно переписать в виде: х 1 =5 - х k 1 , где х k 1 дополнительно
вводимый параметр, подлежащий определению наравне с остальными параметрами
вектора х.
Рассмотрим применение методики параметрической оптимизации на конкретной
задаче.
Проектирование САР с ПИД - регулятором в контуре управления
Пусть задана схема управления в виде:
P
U(s)
R(s)
Y(s)
I
OP
D
В схеме известен вид передаточных функций звеньев:
Wp = kp; W i= ki /s; Wd = kd s; Wор (s) = k / (s + a).
Нужно найти значения вектора параметров x = (kp, ki, kd), при которых корни si
характеристического уравнения замкнутой системы будут принадлежать области качества
, определяемой параметрами  = 2,   1. Решение будем строить по шагам:
1. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы управления:
Wраз. (x, s) = (kp + ki/s + kds) k /(s + a) = k(skp + ki + kds2)/(s(s +a)).
2. Определим передаточную функцию замкнутой системы:
Wзам 
Wраз ( x, s)
1  Wраз ( x, s)
k
kd s 2  sk p  ki
s 2 (1  kkd )  s(a  kkp )  kki
.
3. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:
s 2 (1  kkd )  s(a  kkp )  kki  0 .
4. Зададим эталоное расположение корней характеристического уравнения
и по ним составим характеристическое уравнение:
~s  3 ~s  2 , (s  ~s )(s  ~s ) = s2 + 5s + 6 = 0.
1
2
1
2
4. Cоставим целевую функцию F(x) на основе минимизации невязок коэффициентов
двух характеристических уравнений:
F ( x) 


1
(1  kkd  1) 2  (a  kk p  5) 2  (kki  6) 2  min .
2
Отметим, что поскольку на параметры вектора х не наложены ограничения, то имеем
дело с задачей безусловной оптимизации. Для достижения минимума положительной
квадратичной функции F(x) достаточно, чтобы нулю равнялись все три слагаемые, а
именно:
k p  (5  a) / k

kd  0

 k  6/k
i

 1  kkd  1  0

a  kkp  5  0
 kk  6  0
i

Если мы используем необходимое и достаточное условие минимальности F(x), то
получаем следующую систему уравнений:
 F
 k  a  kk p  5  0
 p
 F
 kki  6  0

 k i
 F  1  kk  1  0
d
 k
 d
Поскольку оптимизируемая функция является положительной квадратичной, она имеет
один экстремум – минимум и, следовательно, нет необходимости проверять условие
Вейерштрасса, то есть положительность квадратичной формы.
Рассмотрим алгоритм параметрической оптимизации для многомерной САУ. Его
применение предполагает выполнение следующих этапов:
1. Задание схемы САУ, передаточных функций звеньев, вектора оптимизируемых
параметров х, ограничений (x), начального значения
х = х0.
2. Выполнение декомпозиции схемы на каналы вход - выход.
3. Нахождение матрицы W(x,s).
4. Анализ качества системы управления по расположению нулей и полюсов матрицы
W(x,s) при х = х0. Если качество удовлетворительно, то нужно перейти к п.9.
~
5. Задание эталоной системы управления в виде Wi (s) .
6. Формирование целевых функций Ф(x,), F(x).
7. Решение задачи оптимизации для Ф(x,)  min или F(x)  min.
8. Вывод результатов в виде значений вектора х.
9. Конец алгоритма.
При автоматизации производственных процессов возникает задача выбора типового
регулятора и определение его параметров, обеспечивающих заданное качество управления
объектом. При этом обычными приемами синтеза регулятора являются: выбор закона
регулирования в виде уравнений динамики регулятора;
определение передаточной
функции САР; исследование САР на устойчивость; определение параметров настройки
регулятора в соответствии с требованиями, налагаемыми на качество управления. Если не
удается настроить параметры регулятора должным образом, то проектирование
продолжается в направлении усложнения регулятора. Под сложностью регулятора
понимают порядок его уравнений. Обычно сложность регулятора не превышает
сложности объекта регулирования.
2.8.
Синтез адаптивных систем управления
Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем
Рассмотрим две схемы адаптивного управления:
- схема 1 - “ЭВМ + РГ + ОУ”:
Цели управления
g
V
Устройство вывода
управляющих и задающих
сигналов
Управляющая ЭВМ
Устройство сопряжения
f - возмущение
U
Объект управления
Регулятор
Управляемые параметры
- схема 2 - “ЭВМ + ОУ ” :
Y
Измерительное устройство
Цели управления
Устройство вывода
управляющих сигналов
Управляющая ЭВМ
Устройство сопряжения
f - возмущение
Y
U
Объект управления
Измерительное устройство
Управляющие
воздействия
Выходы ОУ
Введем в рассмотрение вектора:
 p - вектор параметров ОУ;
 х - вектор перенастраиваемых параметров регулятора;
 V - вектор управляющих воздействий на регулятор;
 U - вектор управляющих воздействий на ОУ;
 g - вектор задающих воздействий;
 f - вектор возмущающих воздействий.
Считаем
значения
векторов
p,
g,
f
нестационарными.
В
качестве
самонастраивающейся системы управления будем рассматривать такую, которая
вырабатывает
управляющее
воздействие
на
нестационарный
объект
при
нестационарности задающих и возмущающих воздействий, обеспечивая цель и качество
управления.
Задача синтеза самонастраивающейся системы управления с ЭВМ и регулятором в
контуре управления может быть сформулированна следующим образом. Для заданного
объекта управления передаточной матрицей WОУ(p,s), отдельные или все коэффициенты
которой являются переменными, необходимо определить структуру системы управления
и закон x (tm) = x (p, g, f, tm) изменения вектора настраиваемых параметров регулятора в
зависимости от изменения во времени p, g, f , кроме того, требуется сформировать закон
V (t m )  x(t m )  x(t m1 ),
который будет обеспечивать требуемые показатели качества функционирования системы
во времени.
Задача синтеза системы управления с ЭВМ в контуре управления, на которую
возлагаются все функции управления, может быть сформулированна следующим образом.
Для заданного объекта управления матрицей WОУ(p,s) необходимо определить закон
U (tm )  U ( p, g , f , tm ) .
выработки управляющих воздействий на объект управления, который при вариации во
времени p, g, f будет обеспечивать требуемые показатели качества управления объектом
во времени.
Процедура синтеза закона управления
Пусть структура системы управления уже выбрана или известна. В зависимости от
типа синтезируемой системы управления с автоматическим регулятором или без него в
контуре управления нужно различать и задачи синтеза управлений. Рассмотрим
процедуру синтеза вектора V. Для того чтобы воспользоваться рассмотренными ранее
положениями нужно перейти от математической модели непрерывной системы
управления к модели непрерывно дискретной, квазистационарной, то есть такой модели,
которая в дискретно малые интервалы времени  t может быть представлена системой
уравнений вида:
Y (g, х, p, f, s) = WI (х, p, s) g (s) + WII (х, p, s) f (s)
(4.1)
При нахождении вектора х в момент tм решение будет искаться в интервале  t. Для
этого необходимо задать эталоную систему управления через расположение полюсов и
нулей. Синтезируемый закон управления должен отвечать за формирование в интервале
 t математической модели максимально приближенной к эталоной. Тогда из решения
расчетной системы уравнений определяются искомые зависимости
х = х (p, g, f).
Рассмотрим
формирование
целевой
(4.2)
функции.
Моделирование
процессов
комплексной области позволяет выбрать в качестве целевой функции функцию вида:
1
2

 mi
  i  ail ( x, p)  a il 
j
i 1


 l 0
~

2
i
~


  bil ( x, p)  b il 

l 0 
n
F (x, f, p, g)  min.
2

~
 sYi ( x, p, g , f , s )  Yi
s 2 0
(4.3)
~
Здесь через Yi обозначено заданное значение управляемой величины Yi на





в
i-ом выходе объекта управления в установившемся режиме, через  i обозначены весовые
коэффициенты, назначение которых разделять каналы управления по степени значимости.
Минимизация F будет проводиться по переменным вектора
х.
Это позволит в
дискретные моменты времени
tm = tm-1 +  t по измеренным или оцененным значениям p, f, g находить
х(tm ) из расчетной системы уравнений. Предполагается, что реализации p(tm)
определяются прямо (с датчиков) или косвенно (с помощью оценок), реализации g(tm),
относящиеся к задающим воздействиям, поступают от ЭВМ в моменты времени tm в
соответствии с целями управления. Значения вектора возмущений f(tm) учитываются в том
случае, если места приложения таких воздействий известны, а их величины могут быть
измерены или оценены. Отметим, что при синтезе закона управления нужно стремиться к
получению линейных алгебраических зависимостей, что обеспечит наиболее простое, а
значит и более эффективное управление объектом. Линейные зависимости могут быть
получены путем рационального синтеза структуры регулятора
(аналитического конструирования регулятора). Полученные зависимости:
х(tm) = х (p, f, g, tm) позволят формировать вектор управляющих воздействий
V (tm) = х (tm) - х(tm-1),
(4.4)
направленый на изменение параметров регулятора. Перенастройка параметров х
осуществляется с помощью исполнительных устройств.
Перейдем к рассмотрению синтеза закона управления для второй схемы. Отметим, что,
несмотря на исключение регулятора из контура управления, его формальное присутствие
остается в математической модели системы управления. Работу регулятора в данном
случае берет на себя ЭВМ. При этом характеристики модели регулятора будут влиять на
выработку управляющих воздействий U. Обратимся к схеме и найдем выражение,
определяющее вектор Y, параметр s у функций опущен для лучшей наглядности.
Y = WuоуU  W fоу f
(4.5)
f
g
РГ
U
У
ОУ
Выразим U посредством g и f. Для этого вначале положим сигнал
f = 0. Тогда, как это
наглядно видно из схемы, можно записать:
U
W рг
1  W ргWu
оу
g.
Далее положим сигнал g = 0, и найдем связь U с f , будем иметь:
U  (W fоу W рг ) f
.
В соответствии с принципом суперпозиции можно записать:
U
W рг
оу
g  W ргW f f .
рг
оу
1W W
(4.6)
Несмотря на сложность выражений (4.5) - (4.6) окончательные формулы при решении
задач намного проще после подстановки значений p, g , f, x в момент времени tm. Законы
управления (4.4) и (4.6) позволяют на дискретных интервалах времени  t с помощью
ЭВМ определять управляющие воздействия, обеспечивающие заданные требования к
управлению в виде выполнения условий (3.8) и (3.9). Учет требований (3.8) и (3.9)
закладывается при формировании обобщенного функционала качества (4.3), минимизация
которого составляет основу формирования закона управления.
Синтез адаптивного управления при помощи ПИ- регулятора
Пусть динамика нестационарного объекта управления описывается передаточной
функцией вида:
W ОУ (k , a, s) 
k
.
sa
Требуется спроектировать схему управления объектом при нестационарности задающего
воздействия g, при нестационарности параметров объекта k и a. Найти функцию
управления объектом, позволяющую поддерживать качество управления на заданном
уровне, обеспечивая выполнение условий:
| s Y(s) - g | s=0   ,
s  , ( = 2,  1).
Выберем ПИ- регулятор. Введем в рассмотрение два вектора х = (kp, ki),
p = (k, a). Схема регулятора имеет вид:
Kp
Kp
G
У
U
Ki / s
K / (s + a)
W РГ ( x, s) 
Wраз. ( p, х, s) 
WСАР ( p, х, s ) 
W раз.
1  W раз.
k p s  kI
s
k p s  kI
s


k
sa
k (k p s  k I )
s  (a  kk p ) s  kkI
2
Запишем характеристическое уравнение САР в параметрической форме:
s 2  (a  kkp )s  kki  0 .
Зададим эталоную САР через расположение корней характеристического уравнения:
~s  2, ~s  3 , уравнение примет вид:
1
2
s2 + 5 s + 6 = 0.
Составим целевую функцию:
1

F ( x, p, g )   5  a  kkp
2



2
 6  kkI 
2
 kk

  I g  g
 kkI

2


  min .


Последнее слагаемое характеризует статическую ошибку, учитывая, что величина
статической ошибки должна подчиняться условию:
| s Y(s) – g|   ,
(s = 0).
Параметры регулятора определятся из уравнений:
k p  (5  a ) / k

 kI  6 / k
5  a  kk p  0

 6  kk I  0
По сути это есть зависимость x = x(k, a). Таким образом, сигналы, подаваемые ЭВМ на
регулятор будут формироваться в соответствии с законом:
V(tm) = х (a, k, tm) - х (a, k, tm-1)).
V 1(tm) =
5  a(tm ) 5  a(tm 1 )
,

k (tm )
k (tm 1 )
V2(tm) =
6
6

.
k (t m ) k (t m -1 )
Схема 1 системы адаптивного управления примет вид:
G
v2
v1
Устройство вывода
сигналов
Управляющая ЭВМ
Устройство сопряжения
kP
kI
s
+
U
k
as
Y
Измерительное устройство
Рассмотрим процедуру синтеза закона управления для схемы 2 адаптивного
управления, воспользовавшись полученной ранее формулой (4.6) при f = 0.
U (s) 
(k s  k I )( s  a )
W рг ( s )
g (s)  2 p
g (s) .
рг
оу
1  W ( s )W ( s)
s  (a  kk p ) s  kkI
Поскольку управляющее воздействие должно вырабатываться только по завершению
переходного процесса, положим s = 0, тогда
U (t m )  g
a
k
t t m
.
2.9. Экстремальные системы управления
Задача оптимизации обычно состоит в отыскании и поддержании таких
управляющих воздействий, при которых обеспечивается экстремум некоторого критерия
качества
функционирования
объекта
управления.
Эта
задача
может
автоматически с помощью экстремальных регуляторов, осуществляющих
работы
поиск
оптимальных
управляющих
воздействий.
Системы,
решаться
в процессе
реализующие
автоматический поиск и сопровождение экстремума некоторого показателя качества
работы объекта, называются экстремальными системами управления или системами
автоматической
оптимизации.
Системы
автоматической
оптимизации,
благодаря
реализации в них алгоритмов поиска оптимальных управлений, обладают рядом
преимуществ, главным из которых является их свойство нормально функционировать в
условиях неполной априорной информации об объекте и о действующих на него
возмущениях. Применение экстремальных систем управления целесообразно в тех
случаях, когда критерий качества работы объекта имеет ярко выраженный экстремум и
имеются возможности реализации поиска и поддержания оптимального (экстремального)
его режима функционирования. Развитие теории и техники экстремальных систем
управления достигло в настоящее время значительного уровня.
Промышленностью
выпускаются типовые экстремальные регуляторы (автоматические оптимизаторы) для
ряда технологических процессов.
Экстремальные системы управления составляют один из наиболее теоритически и
практически развитых классов адаптивных систем. Экстремальными называются такие
объекты автоматического управления, в которых
статическая характеристика имеет
экстремум, положение и величина которого не известны и могут изменяться непрерывным
образом.
Обычно экстремальный регулятор осуществляет поиск и поддержание таких
значений
координат объекта xi , i  1,2,..., n , при которых выход
y  f ( x1 , x2 ,...xn )
достигает экстремального значения. Такой режим работы объекта и системы в целом
является оптимальным в смысле минимума или максимума критерия качества. Примером
одномерного
экстремального
объекта
может
служить
самолет.
Зависимость
километрового расхода топлива y от скорости полета x характеризуется наличием
экстремума, величина и положение которого изменяются при изменении веса самолета за
счет расхода топлива.
В
зависимости
от
количества
экстремумов
объекты
разделяются
одноэкстремальные и многоэкстремальные, причем в последнем случае
на
задача
управления заключается в отыскании глобального экстремума, т.е. наибольшего
максимума или наименьшего минимума. В зависимости от числа управляющих
воздействий, формируемых в экстремальном регуляторе, различают одномерные и
многомерные системы экстремального управления. По характеру работы во времени
экстремальные системы могут быть непрерывными и дискретными. В зависимости от
характера поискового сигнала различают экстремальные системы с детерминированными
и случайными поисковыми сигналами.
2.10.
Оптимальное управление
Синтез любой САУ выполняется на основе задачи управления, которая определяет
основную цель при разработке системы управления [7]. Математическая формулировка
цели управления (заданная точность, быстродействие и т.д.) называется задачей
управления. Возможно, что спроектированая САУ не выполнит поставленную задачу с
наилучшим результатом. Система, которая обеспечивает наилучшие показатели качества
при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называется оптимальной. При
оптимизации САУ в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий
оптимальности, выраженный в математической форме. Обычно для его определения
требуется интегрировать во времени какую – либо функцию, которая зависит от текущего
состояния объекта, т.е. критерий оптимальности является функционалом. В общем случае
функционал зависит от координат
выходного сигнала yi (t ) , управления ui (t ) и
возмущающих воздействий fi (t ) и может быть представлен в виде интеграла:
t2
J   f ( y1 , y2 ,..., yn , u1 , u2 ,..., um , f1 , f 2 ,... f k )dt
t1
или в векторной форме:
t2
J   f ( y, u , f )dt ,
t1
где y, u, f – векторы координат выходного сигнала, сигналы управления и возмущения
соответственно; [t1 , t2 ] - интервал времени.
Функционал, минимум которого необходимо найти, может представлять собой
любую желаемую комбинацию различных критериев качества проектируемой САУ.
Выбор критерия оптимальности является творческой инженерной задачей, которая может
быть решена на основе всестороннего изучения управляемого объекта (процесса).
Трудности, возникаемые при этом связаны с тем, что требования, предъявляемые к САУ,
часто оказываются протеворечивы. Например, высоко точные САУ имеют ограниченное
быстродействие, а быстродействующие – ограниченную точность. Кроме того, сложность
решения задачи зависит от сложности принятого критерия. Если показатель качества
соответствует большому количесву требований к САУ, то синтез ее возможен лишь
численными методами для какой – нибудь частной задачи. Для нахождения решения в
аналитической форме
используются простые показатели качества, которые не могут
отразить в полной мере многие важные требования.
Одним из применяемых на практике подходов к синтезу оптимального управления
является синтез интеллектуальной системы управления, представляющей собой набор
наиболее вероятностных стандартных ситуаций и соответствующих им оптимальных
способов управления. Разработка и подготовка такой базы знаний позволяет при
возникновении в ходе функционирования системы новой ситуации не начинать для нее
синтез нового закона управления, а попытаться отнести ее к одной из имеющихся в базе
знаний образцовых ситуаций и взять оптимальный способ управления, соответствующий
этой образцовой ситуации. Такой подход к синтезу оптимального управления
имеет
большие перспективы в условиях дефицита времени и вычислительных ресурсов при
неполной, нечеткой и противоречивой информации о внешней и внутренней обстановке.
Рассмотрим стандартный подход к синтезу оптимального управления.
Под оптимальностью будем понимать наилучшие свойства системы в смысле некоторого
критерия оптимальности. Рассмотрим формулировку задачи оптимального управления
Майера [8]. Пусть поведение объекта управления описывается уравнением:
x   ( x, u )
Назовем допустимыми такие управления ui(t):
| ui(t) |  ui*, (i=1,2,...n),
(4.7)
которые принимают значения из заданного множества U. Среди допустимых управлений,
переводящих объект (4.7) из состояния x(t0) в состояние x(t1), требуется выбрать
оптимальное, то есть такое, которое будет минимизировать функционал
t1
J    ( x, u ) dt .
to
Здесь x(t) – вектор фазовых координат.
Рассмотрим
формулировку
моделирования процессов в
задачи
оптимального
управления
комплексной плоскости. Пусть объект
на
основе
управления
описывается уравнением:
Y ( x, p, g , f , s)  Wuоу ( p, s)U ( x, p, g , s)  Wfоу ( p, s) f (s) ,
где p - вектор параметров объекта управления; х – вектор оптимизируемых параметров
управляющей части САУ; g - вектор задающих воздействий; f - вектор возмущений.
Отметим, что вектора х, p, g, f – нестационарные.
Среди допустимых управлений переводящих объект из заданного состояния y(t0) в
состояние y(t1) требуется найти такое, для которого функционал (4.3) будет
минимальным.
2.11.
Аналитическое конструирование регулятора
Рациональный или оптимальный выбор структуры регулятора во многом определяет
эффективность синтезированной системы управления. Поэтому задача синтеза структуры
является одной из важнейших в инженерной практике. Задача синтеза, возникающая при
проектировании системы автоматического регулирования, заключается в таком выборе
структурной схемы системы и
технических средств ее реализации, при котором
обеспечиваются требуемые динамические и эксплуатационные свойства всей системы в
целом. Подход к
синтезу структуры может осуществляться в двух направлениях.
Условно разобьем эти направления на две группы. В задачах первой группы задается
только объект управления и требуется определить закон функционирования регулятора в
целом. В задачах второй группы заданными считаются и объект управления, и
управляющее устройство, но которые в целом не удавлетворяют заданным или возросшим
требованиям. Требуется граммотно подключить в схему корректирующие устройства,
чтобы улучшить свойства системы в нужном направлении, то есть рассматриваются
задачи выбора и расчета параметров специальных корректирующих устройств,
обеспечивающих заданные статические и динамические характеристики системы.
Применение корректирующих устройств позволяет получить требуемую точность
системы и приемлемый характер переходных процессов, т.е. качество регулирования. При
этом наиболее универсальным и эффективным способом повышения точности управления
является увеличение общего коэффициента усиления системы. Однако нужно учитывать
тот факт, что при увеличении общего коэффициента усиления система приближается к
границе устойчивости.
Рассмотрим синтез структуры многомерной системы управления базирующийся на
моделировании процессов в комплексной области. Прежде всего, обратимся к вопросу
синтеза структуры и параметров регулятора для одномерного объекта управления
заданного своей передаточной функцией. Затем полученное решение обобщим на класс
многомерных систем. Вернемся к полученному ранее решению задачи параметрической
оптимизации. Среди значений параметров регулятора определялись такие, при которых
проектируемая система управления была максимально приближена к эталоной. В таком
приближении двух математических моделей большую роль играли передаточная функция
синтезируемого устройства и расположение полюсов и нулей эталоной системы
управления. Задание расположения эталоных полюсов выполнялось с учетом требования
(3.9). Формирование передаточной функции регулятора можно осуществлять на базе
итерационного процесса, построенного на последовательном усложнении структуры
регулятора. Правила предписывающие задание характеристик структуры системы
управления состоят в следующем:

структура одномерной системы управления определяется последовательным
соединением
объекта
управления
и
регулятора,
охвачеными
единичной
отрицательной обратной связью;

математическая
модель
объекта
управления
должна
быть
представлена
передаточной функцией вида:
W оу ( p, s) 

A ( p, s )
;
B ( p, s )
регулятор на начальном этапе синтеза задается передаточной функцией, все
коэффициенты которой принимаются за искомые значения:
WРГ(х, s) = x;

усложнение структуры регулятора идет путем последовательного добавления
членов в полиномы его передаточной функции, которые вводятся в порядке
возрастания степени s, начиная со знаменателя и переходя к полиному числителя;

синтез структуры системы управления продолжается пока не будет синтезирована
схема, удовлетворяющая требованиям (3.8) - (3.9).
Отметим ряд важных принципов синтеза структур. Введение дифференциальной
составляющей в закон управления повышает быстродействие системы, а введение
интегральных составляющих снижает быстродейсвие, но повышает точность систем.
Проиллюстрируем процедуру синтеза регулятора на примере. Пусть в начале регулятор
задан пропорциональным звеном с передаточной функцией равной x1 , и пусть такая
система управления не выполнила задачу управления (например, неудовлетворительное
качество), тогда дальнейшая последовательность синтеза регулятора следующая:
W РГ ( s ) 
x1
,
s
W РГ ( s ) 
x1
,
s  x2
W РГ ( s ) 
x1s
,…
s  x2
Задание на начальной итерации передаточной функции регулятора и структуры системы
управления дает необходимую информацию для формирования математической модели
системы управления в виде передаточной функции, представленной в параметрической
форме, а также дает основание для задания ее эталоной модели расположением полюсов
и нулей или передаточной функцией. Это позволяет определить параметры вектора х
путем решения задачи параметрической оптимизации. В случае неудовлетворительного
качества синтезированной системы управления процесс синтеза сосредотачивается на
двух направлениях: корректировке или усложнении эталоной модели и усложнении
структуры регулятора синтезируемой системы управления. Усложнение эталоной модели
осуществляется путем увеличения степени полиномов ее передаточной функции,
например, вводится дополнительный полюс или нуль или даже несколько. Корректировку
расположения полюсов предполагается проводить внутри области .
Обобщение рассмотренной процедуры на класс многомерных систем управления
касается синтеза структуры многомерного регулятора. Предполагается в качестве такого
устройства рассматривать устройство, компоненты которого (локальные регуляторы
каналов вход - выход) синтезируются в соответствии с изложенными выше правилами.
При этом необходим учет влияния каналов друг на друга, если такое влияние существует.
Эта задача, как правило, разрешима, если в качестве функции цели использовать функцию
вида:
y
F ( x, p, r )   i Fi ( x, p, r )  min ,
i 1
минимизация которой должна вестись по параметрам вектора х. Методика синтеза
объединяет процедуру синтеза структуры регулятора с процедурой синтеза его
параметров по схеме:

синтез структуры регулятора;

синтез параметров передаточной функции регулятора;

анализ качества системы управления;

синтез структуры регулятора;

синтез параметров передаточной функции регулятора;

анализ качества системы управления;

… и т.д.
процесс продолжается до тех пор, пока не будет синтезирована система управления с
заданными свойствами.
Синетез
структур
систем
управления
может
вестись
иначе,
а
именно
с
использованием типовых регуляторов: П, ПИ, ПИД. При этом нужно помнить
следующее.
И - регулятор (интегральный регулятор) перемещает регулирующий орган
пропорционально интегралу от
отклонения регулируемой величины. Коэффициент
передачи (коэффициент пропорциональности) И – регулятора численно равен скорости
перемещения регулирующего органа при отклонении регулируемой величины на единицу
ее измерения. По своим динамическим свойствам
И
– регулятор подобен
интегрирующему звену. И – регуляторы могут устойчиво регулировать только объекты с
самовыравниванием.
П - регулятор соответствует безинерционному звену. Пропорциональные регуляторы
(П
-
регуляторы)
перемещают
реагирующий
орган
регулируемой
величины
пропорционально отклонению значения этой величины от ее заданного значения.
Численно коэффициент передачи регулятора равен перемещению регулирующего органа
при отклонении регулируемой величины на единицу ее измерения. При увеличении
коэффициента передачи П – регулятора система может потерять устойчивость.
Критическое значение коэффициента передачи соответствует нахождению системы на
границе устойчивости. Пропорциональные регуляторы обладают тем свойством, что при
различных нагрузках регулируемого объекта удерживают регулируемую величину на
заданном уровне.
ПИ – регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально сумме
отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины. Введение воздействия по
интегралу в ПИ – регуляторе приводит к тому, что амплитудно – фазовая характеристика
разомкнутой системы получает дополнительное отставание по фазе и увеличение по
модулю, т.е. она приближается к опасной точке ( -1, j0).
ПИД – регуляторы характеризуются тем, что введение добавочного воздействия от
производной
регулируемой
величины
дает
опережение
по
фазе,
компенсируя
нежелательное отставание, вводимое воздействием по интегралу, и улучшая тем самым
устойчивость системы.
2.12. Дискретные и цифровые системы управления
Линейной
системой
импульсного
регулирования
называется
такая
система
автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновенными
линейными
дифференциальными
уравнениями,
содержит
импульсное
звено,
преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга
импульсы. Рассмотрим принцип работы дискретных систем управления, которые наряду с
цифровыми относятся к импульсным системам. Будем считать [5], что квантование
сигналов х(t) по времени осуществляется с постоянным интервалом (периодом) Т, и
сигналы дискретной системы x(kT) представлены последовательностями идеальных
импульсов различной амплитуды, определенных в равноотстоящие моменты времени t =
kT. Целое число
k = 0,1,2,… называется дискретным временем, а сами амплитудно - модулированные
импульсные последовательности -
решетчатыми функциями. С целью упрощения
обозначений дискретные сигналы рассматриваемого типа часто записываются просто как
функции дискретного времени x(k), т.е.

x(k )  x(kT ) .
Описание дискретного процесса может быть представлено как решение разностного
уравнения. Наиболее распространены разностные уравнения
n – го порядка (модели вход – выход) и системы уравнений первого порядка
(модели вход – состояние - выход), а также их операторные формы. Дискретные модели
либо отражают динамику реальных квантованных по времени процессов, либо являются
одной из форм приближенного описания систем непрерывного действия. В последнем
случае возникает необходимость рассмотрения
вопросов квантования и методов
преобразования динамических систем к дискретной форме, т.е. их дискретизации.
Модели дискретных процессов
Разностные уравнения, описывающие динамику систем дискретного времени получаются
в результате анализа реальных процессов в различные моменты дискретного времени k.
Пример 5.1. Рассмотрим цифровой накопитель (счетчик), содержимое которого в
дискретные моменты времени k описывается функцией x1 (k )
с начальным значением x1 (0)  x10 . В момент k на вход счетчика поступает сигнал x2 (k ) , в
результате чего в последующий момент дискретного времени k + 1 происходит
увеличение содержимого счетчика на величину этого сигнала:
x1 (k  1)  x1 (k )  x2 (k ).
(5.1)
Последнее выражение и является моделью счетчика, представленной в форме разностного
уравнения первого порядка. Уравнение (5.1) можно записать в операторной форме.
Введем в рассмотрение оператор сдвига (упреждения) z, действующий по схеме
zx (k )  x(k  1)
и после элементарных преобразований получим
x1 (k ) 
1
x2 (k ).
z 1
(5.2)
Оператор 1/(z - 1) является передаточной функцией дискретной системы (5.1).
Пример 5.2. Проанализируем прохождение однородных предметов (товаров) в
торговой системе склад – магазин, функциональная схема которой представлена на
рисунке
U
заказ
склад
Х2
f
магазин
потребитель
продажа
поступления
х1
товар
Рис. 5.1. Система склад – магазин
Здесь x1 (k ) - число товаров в магазине, x2 (k ) - товары, поступающие со склада, u (k ) заказанное количество товаров (заказ), f (k ) - число реализованных (проданых) товаров, k
– дискретное время в днях. Начальное состояние системы (в момент k =0) характеризуется
значениями x1 (0) и x2 (0) .
Динамика товаров в магазине описывается разностным уравнением
x1 (k  1)  x1 (k )  x2 (k )  f (k ),
(5.3)
в котором число проданных единиц товара f(t) выступает в роли возмущающего
воздействия. Полагая, что заявка выполняется складом с задержкой в один день, запишем
модель склада в виде
x2 (k  1)  u(k ),
(5.4)
где заявка u(k) на требуемое количество товара играет роль управляющего воздействия.
Если задача управления ставится как задача регулирования объема товаров в магазине, то
переменная x1 считается выходом системы:
y(k )  x1 (k ) .
(5.5)
Таким образом, рассматриваемая система описывается уравнениями состояния (5.3) – (5.4)
и уравнением выхода (5.5). Разностные уравнения состояния связывают значения
переменных состояния x1 и
x2 в последующий момент дискретного времени k + 1
(следующий день) с переменными системы в текущий момент времени k. С
использованием оператора сдвига z полученые разностные уравнения (5.3) – (5.4) можно
привести к операторной форме:
x1 (k ) 
1
( x2 (k )  f (k )),
z 1
1
x2 ( k )  u (k ),
z
удобной для построения структурной схемы
f(k)
U(k)
Х2(k)
1/z
-
X1(k)=Y(k)
+
1/(z-1)
Рис. 5.2. Структурная схема склад – магазин
Модель дискретной системы может быть также представлена в форме вход – выход. Для
этого уравнение (5.3) переписывается для времени k + 2:
x1 (k  2)  x1 (k  1)  x2 (k  1)  f (k  1).
После подстановки выражений (5.4) и (5.5), находим
y (k  2)  y (k  1)  u (k )  f (k  1).
Полученное разностное уравнение второго порядка связывает объемы товаров в моменты
дискретного времени
k+2
и
k+1 с соответствующими значениями заказа
u(k)
и
продаж f(k+1).
Для решения задачи стабилизации количества товаров в магазине y на заданном
уровне
y*  const
может быть использована простейшая стратегия управления
заказами – пропорциональный алгоритм управления
u (k )  K (k ),
где
такой
 (k )  y*  y(k ) - отклонение, К – постоянный коэффициент. Графики процессов в
системе при постоянном спросе
f(k) = const
представлены решетчатыми функциями: x1 (k ), x2 (k ), u(k ), f (k ).
приведены на рисунках и
x1
x2
f
u
012 34 567 89
k
01 2 34 56 7 89
k
Рис. 5. 3. Процессы системы склад – магазин
Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания
Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному
(квантованному по времени) виду называется квантованием (рис. 5.4). Такая процедура
отражает как реальные процессы, происходящие в цифровых системах управления, так и
математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации.
X(t)
T
0
X(kT)
0
Рис. 5.4. Квантование непрерывного сигнала
В результате квантования получается импульсная последовательность
x(kT) (решетчатая функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом:
x(kT )  x(t ) t  kT ,
а в другие моменты времени она не определена. Потеря информации при квантовании
зависит от величины интервала квантования Т или частоты квантования

2
.
T
Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической
возможности восстановления исходного сигнала по полученой в результате квантования
импульсной последовательности (дискретной выборке), что отражает содержание
известной теоремы прерывания (теоремы Котельникова – Шеннона).
Рассмотрим задачу нахождения сигнала x(t) по известной решетчатой функции x(kT),
полагая, что спектр сигнала x(t) ограничен частотой max .
Тогда в соответствии с теоремой прерывания, точное восстановление функции x(t)
теоретически возможно при условии, что частота квантования
 более чем в 2 раза превосходит наибольшую частоту max :
  2max ,
а для интервала квантования выполняется
T

.
max
Приведенный результат широко используется в задачах идентификации динамических
систем и дискретизации непрерывных моделей.
Использование z - преобразования
Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного
преобразования Лапласа, определяемое формулой [3]

F * ( s )   f [n]e  snT ,
(5.6)
n 0
где s    j ,  - абсцисса абсолютной сходимости. Если    , то ряд, определяемый
формулой (5.6) сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение,
являющееся функцией величины e sT .
Для исследования импульсных систем большое распространение получило так
называемое z - преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа
и вытекает из него.
Под
z – преобразованием понимается изображение решетчатой функции,
определяемое формулой

F ( z )   f [ n] z  n .
(5.7)
n0
Здесь введено обозначение z  e sT . Откуда следует, что z – преобразование
практически совпадает с дискретным преобразование Лапласа и отличается только
обозначением аргумента изображения. Из основного выражения следует:

F ( z )   f [n]z n  f [0]  f [1]z 1  ...  f [k ]z k  ...
n 0
Рассмотрим разностное уравнение вида
b0 y[n]  b1 y[n  1]  ...  bm y[n  m]  a0 f [n]  a1 f [n  1]  ...  al f [n  l ] .
Если ввести предположение, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при
n < 0 и, кроме того, функция f[n] прикладывается в момент времени n = 0, то переход к
z
- изображению дает
(b0  b1 z 1  ...  bm z  m )Y ( z )  (a0  a1 z 1  ...  al z l ) F ( z ).
Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде
Y ( z) 
a0  a1 z 1  ...  al z l
A( z )
F ( z) 
F ( z )  W ( z ) * F ( z ).
1
m
b0  b1 z  ...  bm z
B( z )
Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случае
непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин)
при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же
роль в дискретных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в
непрерывных системах.
Устойчивость и качество дискретных систем
В линейных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь
место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т.е. корни
характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости области s. Границей
устойчивости является мнимая ось. Для построения области устойчивости в плоскости
комплексной величины z отобразим мнимую ось плоскости s на плоскость z. Для этой
цели необходимо сделать подстановку s  j
и менять затем частоту  в пределах от
  до   . Таким образом, получаем z  e sT  e jT . При изменении частот в указанных
пределах на плоскости z получится окружность единичного радиуса, представляющая
собой область устойчивости. Условием устойчивости будет расположение особых точек
(полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф(z), внутри этой окружности.
Корни характеристического уравнения должны быть ограничены по модулю: z  1
Im
-1
Отметим
очень
z
1
Re
важное
требование.
Передаточная
функция
устойчивой
стационарной дискретной линейной системы должна быть конечна всюду вне единичного
круга плоскости комплексного переменного z с центром в начале координат.
Оценка качества дискретной системы регулирования может делаться построением
кривой переходного процесса, что при использовании z – преобразования осуществляется
сравнительно легко, а также посредством
различных критериев качества. Наиболее простым является использование показателя
колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как и в
случае непрерывных систем, получение заданного показателя сводится к требованию,
чтобы амплитудно – фазовая характеристика системы не заходила в запретную зону,
окружающую точку
(-1, j0). Точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок.
Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку
дискретной системы регулирования можно представить в виде ряда
.
..
y[n]  c0 g[n]  c1 g[n]  c2 g[n]  ...
где y - выходной сигнал,
g – входной сигнал, ci - коэффициенты ошибок, которые
представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции Фy ( z ) по ошибке
в ряд Маклорена по степеням s:
 d nФy (e sT ) 
cn  
 .
n
 ds
 s  0
Величины,
обратные
коэффициентам
ci
могут
называться
соответствующими
добротностями. Например, добротность по скорости
Kv 
1
,
c1
добротность по ускорению
K 
2
c2
и т.д.
Пример 5.3. Вычислим коэффициент добротности по скорости для системы с
передаточной функцией разомкнутой цепи
W ( z) 
где d  e

T
T1
KT (1  d ) z
( z  1)( z  d )
,
.
Решение. Найдем передаточную функцию по ошибке:
Фy ( z ) 
1
( z  1)( z  d )
.

1  W ( z ) ( z  1)( z  d )  KT (1  d ) z
Подстановка в это выражение z = 1 дает коэффициент c0  0. Для получения
коэффициента c1 находим первую производную:
dФx (e sT )
KT 2 (1  d )( z 3  zd )

, z  e sT .
2
ds
( z  1)( z  d )  KT (1  d ) z 
Подстановка z = 1 дает коэффициент
c1 
1
,
K
а также добротность по скорости
Kv 
1
 K .
c1
Цифровые системы управления
В настоящее время широкое применение находят цифровые системы управления.
Использование в этих системах цифровых вычислительных устройств обеспечивает
реализацию достаточно сложных алгоритмов (законов) управления, а также высокую
точность вычислений [7]. Цифровые САУ относятся к классу дискретных систем, в
которых квантование сигнала осуществляется одновременно по времени и по уровню.
При синтезе цифровых САУ можно использовать либо цифровую вычислительную
машину, либо отдельные цифровые устройства в виде сумматоров, интеграторов и т.д.
Использование цифровых устройств позволяет упростить САУ путем
применения
простых и надежных модулей. Введение в контур управления ЭВМ требует наличия в
САУ вспомогательных элементов, осуществляющих преобразование непрерывных
процессов в дискретные и обратно. Но это окупается возможностью реализации
практически любого алгоритма управления. В зависимости от способа включения ЭВМ
цифровые САУ могут быть трех типов:
- с ЭВМ, включенной вне замкнутого контура управления; в этом случае ЭВМ
служит для формирования на основании наблюдаемого процесса y(t)
оптимального задающего воздействия на входе управляемой системы (УС):
y(t)
g(t)
ЭВМ
УС
- с ЭВМ в замкнутом контуре управления; при этом улучшения динамических
свойств САУ достигают благодаря возможности формирования практически любого
алгоритма управления и изменения его в процессе работы; точность такой САУ
ограничивается
непрерывным
сравнивающим
устройством,
включенным
в
цепь
управления до ЭВМ:
y(t)
g(t)
ЭВМ
+
УС
- с ЭВМ, в которой происходит сравнение задающего воздействия g(t) с выходным
сигналом y(t). Такая САУ обладает всеми качествами предыдущей системы и к тому же
является более точной за счет увеличения разрешающей способности цифрового
сравнивающего устройства. С точки зрения структуры она охватывает обе предыдущие
системы:
y(t)
g(t)
ЭВМ
УС
Выбор конкретного типа ЭВМ определяется в первую очередь теми функциями,
которые САУ следует выполнять. Это может быть обработка поступающей информации,
которая требует вычислительных или логических операций, улучшение динамических
свойств системы, операции оптимизации по некоторым статическим или динамическим
параметрам, операции контроля и т.д.
Теоретической базой для аналитических исследований цифровых САУ
может служить теория дискретныз систем. Сложность при этом состоит в обеспечении
одновременного квантования сигнала и по времени и по уровню. Воспользуемся методами
расчета, которые основаны на рассмотрении линеаризованных импульсных систем с
учетом влияния оказываемого квантованием по уровню. Идеальный импульсный элемент
преобразует непрерывный сигнал в мгновенные импульсы в виде  - функций, а
экстрополятор формирует импульсы заданной формы из  - импульсов. В простейшем
случае
импульсное звено можно выполнить в виде ключа, который замыкается с
периодом Т.
Если время замыкания ключа мало по сравнению с Т и постоянными
времени непрерывной части системы, а сигнал на входе ключа е = const в замкнутом
состоянии, то последовательность модулированных импульсов на входе ключа можно
заменить последовательностью  - функций:
 T (t ) 

 (t  nT ).
n  
Значение каждой  - функции пропорционально величине сигнала на входе ключа в
момент его замыкания. На выходе импульсного элемента получают сигнал

e* (t )   e(nT ) (t  nT ).
n 0
Сигналы в импульсных системах обычно представляются дискретными (решетчатыми)
функциями. При исследовании динамических свойств САУ в первую очередь необходимо
определить
ее передаточные функции. Рассмотрим сначала передаточные функции
импульсных систем. Передаточная функция
разомкнутой импульсной системы – это
отношение изображений (в соответствии с дискретным преобразованием Лапласа)
выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях, т.е.
W * ( s)  Y * ( s) / X * (s).
Аналогично
определяется
эта
передаточная
функция
в
соответствии
с
z
–
преобразованием:
W ( z )  Y ( z ) / X ( z ).
Для определения передаточной функции W(z) по известной передаточной функции
приведенной непрерывной части САУ W(s) необходимо сначала с помощью обратного
преобразования Лапласа найти весовую функцию непрерывной части системы
 (t )  L1[W (s)].
Затем по этой функции определить соответствующую ей дискретную весовую функцию
[nT ] , по которой, используя
z – преобразование, найти искомую передаточную
функцию:
W ( z)  Z [nT ].
Передаточная функция вычислительной машины – это отношение изображений
выходного сигнала к входному, которые взяты в безразмерной (цифровой) форме:
D( z ) 
U * ( z ) am z m  am 1 z m 1  ...  a0
,

X * ( z)
bk z k  bk 1 z k 1  ...  b0
где U * ( z ) и X * ( z ) есть z - изображения решетчатых функций u*[nT ] и x*[nT ] . Переходя
от изображений к оригиналам, из последнего выражения можно получить разностное
уравнение вычислительной машины:
bk u*[nT  kT ]  ...  b1u*[nT  T ]  b0u*[nT ] 
am x*[nT  mT ]  ...  a1 x*[nT  T ]  a0 x*[nT ]
которое соответствует линейному алгоритму ее работы. Из уравнения следует, что
настоящее значение выходного сигнала определяется предыдущими его значениями и
настоящими и
цифровых
предыдущими значениями входного сигнала. При синтезе и анализе
САУ
применяются
характеристики. Анализ качества
частотные
передаточные
функции
и
частотные
цифровых САУ выполняется аналогично анализу
качества дискретных САУ.
2.13. Отдельные вопросы теории управления
Управляемость и наблюдаемость
Дифференциальные уравнения многомерной системы управления
могут быть
представлены в форме Коши векторно - матричной записью вида:
dx
 Ax  Bu  Ef ,
dt
y  Cx,
(6.1)
u  Dx.
В этих выражениях используются следующие матрицы – столбцы: х - для фазовых
координат системы, y - для управляемых величин, u - для управляющих величин, f – для
возмущающих и задающих воздействий.
A, B, C, D, E – матрицы коэффициентов. xi , ( i = 1,2,…,n) представляют собой некоторые
абстрактные величины, задание которых полностью определяет текущее состояние
системы. Эти величины называются фазовыми координатами системы. Состояние
системы может быть полностью отождествлено с положением изображающей точки в n –
мерном пространстве, которое носит название пространства состояний. Рассмотрим n –
мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует
некоторое
положение
изображающей
точки,
определяемое
значениями
фазовых
координат xi . Пусть в пространстве состояний Х заданы два множества Г1  Х , Г 2  Х .
Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление u(t),
определенное на конечном интервале времени, которое переводит изображающую точку в
пространстве Х из подобласти
Г1 в подоблась Г2 .
Система будет полностью
управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле. Отметим, что на
временном интервале траектория состояний системы однозначна для заданного входного
сигнала. Когда часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные
уравнения (6.1) , то это говорит о том, что система будет не полностью управляемой. А
если часть фазовых координат не участвует в формировании выхода y, то система
считается не полностью наблюдаемой. Например, система управления, представленая
уравнениями вида:
dx1
 A11x1  A12 x2  Bu ,
dt
dx2
 A22 x2 ,
dt
y  Cx,
u  Dx.
является не полностью управляемой, а система управления, представленная уравнениями
вида:
dx1
 A11x1  B1u ,
dt
dx2
 A21x1  A22 x2  B2u ,
dt
y  C1 x1 ,
u  D1 x1.
является не полностью наблюдаемой.
Инвариантные системы управления
Вариации параметров системы управления, вызванные внешними возмущающими
воздействиями
управления,
или
возмущающими
способствуют
факторами,
появлению
действующими
дополнительного
внутри
движения,
системы
которое
при
неконтролируемых изменениях параметров обычно является нежелательным. В связи с
этим возникает проблема синтеза таких систем управления, которые были бы способны
компенсировать нежелательные параметрические возмущающие воздействия.
В качестве математической модели
системы управления будем рассматривать
передаточную функцию W(x, h,s), где х - вектор настраиваемых параметров управляющей
части, h – вектор неконтролируемых параметров. Синтез инвариантных систем
управления
обычно
осуществляется
с
использованием
показателей
качества
и
ограничений, налагаемых на параметры. За показатели качества, характеризующие
дополнительное движение, вызванное возмущающими воздействиями, могут приниматься
максимальное отклонение дополнительного движения
max y (t ) ,
0t 
t
или интегральное квадратичное отклонение вида:

 y(t )
2
dt .
0
Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования
малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное
движение
или
на функцию
чувствительности.
В
качестве
ограничений
могут
использоваться соотношения:
y (t )  0,
y (t )   ,
 (t )  0,
 (t )  
Здесь приняты следующие обозначения:  (t ) - функция чувствительности,  - точность.
Отметим, что системы абсолютно инвариантные
как и системы с нулевой
чувсвительностью к изменению неконтролируемых параметров физически не реализуемы.
Системы параметрически инвариантные до  и системы с  - чувствительностью
принципиально
могут
быть
физически
реализованы.
Рассмотрим
класс
систем
управления, описываемых в комплексной плоскости системой уравнений, представленной
формулой:
Y(x,h,s) = W(x,h,s) G(s),
(6.2)
где Y и G соответственно изображения сигналов на выходе и входе системы управления,
W – передаточная функция системы управления, коэффициенты которой выражены явно
через компоненты векторов х и h. За характеристику дополнительного движения,
вызванного вариацией вектора h, выберем суммарное отклонение сигналов на выходе
объекта управления вследствие отклонения параметров вектора h от номинальных
(расчетных) значений h 0 и запишем его в виде [9]:
(6.3)
q
I y( x, s)   ye ( x, s)
e 1
где
q
–
размерность
вектора
h.
Дополнительное
движение
неконтролируемого параметра h e , возникающее на выходе
при
вариации
системы управления
определим выражением:
ye ( x, s) 
dy ( x, h, s)
dW ( x, h, s)
|h  h0  G ( s)
|h  h0
dhe
dhe
Тогда ограничение на модуль дополнительного движения может быть представлено
условием:
I y( x, s)   .
(6.4)
Систему управления назовем параметрически инвариантной до , если при вариации h
дополнительное движение, возникшее в системе управления, не нарушит ограничение
(6.4).
Расчет и анализ чувствительности
Основной задачей теории чуствительности является анализ дополнительного
движения вызванного вариацией параметров. Такой анализ, в частности, включает
количественные оценки, характеризующие влияние одних параметров на другие или на
качество технической системы в целом. Обычно анализ дополнительного движения
строится на основе нахождения функций чувствительности, получаемых в результате
решения дифференциальных уравнений называемых уравнениями чувствительности.
Вместе с тем применяются различные косвенные оценки, в том числе частотные или
корневые. Будем рассматривать моделирование динамики системы управления в
комплексной плоскости. Вектором параметров, по отношению к
которому требуется
оценить чувствительность системы управления, выберем вектор p. Компонентами вектора
могут быть
коэффициенты передаточных функций
элементов управляющей части
системы или объекта управления. В качестве исследуемой характеристики, изменяющейся
при вариации p, выберем управляемую переменную y на выходе объекта управления.
Тогда чувствительность y к p может быть представлена вектором
 p 0j

 ( s)  ( 0 )G ( s)dW ( p, s) / dp j 
 y
 v
y
p
(6.5)
для системы управления, описываемой системой уравнений вида
Y( p, s) = W( p, s) G(s).
(6.6)
В формуле (6.5) v – размерность вектора p, p 0j - начальное (номинальное) значение
параметра p j , y 0 - установившееся значение выходного сигнала при p  p 0 . Частные
производные, входящие в формулу (6.5), вычисляются в точке p 0  ( p10 , p 20 ,..., p v0 ) .
Рассмотрим вопрос количественной оценки чувствительности установившегося
режима к вариации параметров вектора p. Для этого положим s = 0 и G(s) = 1/s. В силу
принятых допущений выражение (6.5) значительно упростится без потери существенной
информации относительно установившегося режима:
 p 0j 1

  ( 0 )( )dW ( p, s ) / dp j  .
 y s
 v , s  0
(6.7)
y
p
Расчет чувствительности  yp включает этапы:

задание структуры и состава системы управления, вектора p  p 0 ;

построение W(p,s);

формирование
1
y ( p )  W ( p, s ) |
;
s0
s

определение y 0  y ( p0 ) .

вычисление чувствительности по формуле (6.7).
Если анализ диктует необходимость рассмотрения функций чувствительности для
установления влияния вектора p на динамику системы управления, то s в формуле (6.7) не
должно обнуляться и от полученных функций yp (s) следует перейти к временным
функциям
 yp (t ) на
основе
известного
разложения
Хевисайда
рациональной
алгебраической функции.
Робастные системы управления
Проектирование робастных систем управления – одна из сложных проблем
современной теории управления. Свойство систем управления обеспечивать устойчивость
при вариации параметров объекта управления в определенных пределах называется
робастной устойчивостью. Отметим, что устойчивость является одним из самых важных
свойств систем управления, но не единственным. Такие важные характеристики
управления
как
точность,
время
регулирования,
перерегулирование
должны
обеспечиваться также на приемлемом уровне. Свойство системы управления выполнять
заданные требования на качество при вариации параметров объекта управления можно
определить как свойство робастности в более широком смысле, чем робастная
устойчивость. Ограничения на качество управления могут назначаться как во временной,
так и в комплексной области. Для исследования робастной устойчивости систем
управления на практике используется подход, базирующийся на результатах теоремы
Харитонова, дающий заключение о робастной устойчивости на основе алгебраического
анализа корней четырех полиномов.
Рассмотрим вопрос проектирования робастно устойчивых систем управления с
заданным качеством управления. Представим передаточную функцию в виде
m
W ( x, p , s ) 
 a ( x, p ) s
e
 b ( x, p ) s
e
e 0
n
e 0
где
х
–
вектор
настраиваемых
e
,
e
параметров
управляющей
квазистационарных параметров объекта управления. Пусть
части,
p
-
вектор


p  P, P  p  R L : pe  pe  pe ,
Границы
[ pe , pe ]
e  1,2,...L
включают номинальные значения параметров pном. , а также их
возможные вариации под действием внешних и внутренних факторов. Для того чтобы
найти зависимость х = х (p), которая бы позволяла настраивать х по известным
реализациям
p,
обеспечивая
требуемое
качество
управления,
воспользуемся
моделированием процессов в комплексной плоскости, что позволит сформировать
целевую функцию
F ( x, p)  min
x
на основе приближения проектируемой системы управления к эталоной. Введем в
рассмотрение семейство полиномов:
A(s, )  A(s, a), a  ;
B(s, Q)  B(s, b), b  Q
где А и B – являются полиномами числителя и знаменателя передаточной функции с
коэффициентами вида: ai  ai ( x, p) , bi  bi ( x, p) .
Если компоненты векторов х и p находятся внутри своих границ x  X , p  P , то и
коэффициенты ai , b j , (i =1,…,m; j = 1,…n) тоже могут варьироваться только внутри своих
собственных границ, зависящих от х и p, поскольку a и b являются однозначными
функциями переменных х и p, то есть

Q   b  R n 1 : be  be  be ,


   a  R m 1 : ae  ae  ae ,


e  0,1,...n 


e  0,1,...m 

Будем считать [6], что система управления является робастно устойчивой и имеет
заданное качество управления, если семейства ее полиномов
A( s,  )
и B(s,Q)
удовлетворяют требованиям (3.8) – (3.9). Их сказанного следует, что семейство B(s,Q)
робастно устойчиво тогда и только тогда, когда для любой реализации вектора
b  (b1 , b2 ,...bn )  Q корни полинома B(s,b) располагаются в левой полуплоскости s.
Отметим, что значения компонент вектора b определяются путем подстановки в их
выражения значений p и xopt.
Теорема.
Для того чтобы многомерная система управления являлась робастно
устойчивой и удовлетворяла заданным динамическим характеристикам (3.9) достаточно,
чтобы F(x,p) = 0 при
x  xopt , p  P .
Доказательство. Следуя от противного, предположим, что качество управления
оптимизированной по параметрам системы управления неудовлетворительно при F(x,p) =
0, где x  xopt , p  P . Это означает, что расположение полюсов и нулей, соответствующее
решению x opt  x( p ) , не удовлетворяет требованию (3.9). Следовательно, существует, по
крайней мере, один полюс или нуль отличный от идеального. В рамках правила
формирования целевой функции F(x,p) это означает, что она имеет хотя бы одно
слагаемое отличное от нуля, что противоречит условию теоремы.
Рассмотрим процедуру определения запаса робастности. Считаем известными
номинальные значения компонент вектора p и возможные границы его вариации
p  P  [ p  , p  ] , а также считаем известным аналитическое выражение B(x,p,s). Задача
состоит в том, чтобы вычислить запас робастности системы управления при x  xopt .
Другими словами, из более широкой области границ P, внутри которых качество системы


управления неизвестно, нужно выделить подобласть, то есть такие границы [ p , p ] , при
которых семейство полиномов



B   B( xopt , p, s) : p  P  [ p , p ],


PP 

будет робастно утойчивым. Величину


r  min min(| ( pk )ном  p k |, | p k  ( pk )ном |) ,
k
(6.8)
k  1,...L ,
будем считать мерой запаса робастности. Рассмотрим сказанное на простом примере.
Пусть
номинальные
( p1 )ном  1;
( p2 )ном  3,
значения
p1  [0,3],
вектора
варьируемых
параметров
равны
p2  [1,6] . Наименее допустимое отклонение
параметров от номинальных значений до границ интервалов составляет 1.0, то же самое
значение дает формула (6.8). То есть, если параметры будут отклоняться на величину
равную 1.0 или менее ее, то система управления сохранит свое качество.
Обратимся к интерпретации теоремы Харитонова. Доказано, что если корни четырех
полиномов:
K1 ( s )  b0  b1 s  b2 s 2  b3 s 3  b4 s 4  ...
K 2 ( s )  b0  b1 s  b2 s 2  b3 s 3  b4 s 4  ...
K 3 ( s )  b0  b1 s  b2 s 2  b3 s 3  b4 s 4  ...
K 4 ( s )  b0  b1 s  b2 s 2  b3 s 3  b4 s 4  ...
полученных из полинома характеристического уравнения, имеют отрицательные
действительные части, то система управления будет сохранять устойчивость при вариации
вектора p внутри границ назначенных интервалов.