Образовательный минимум 9 класс 3 четверть. 3. Определение подобных треугольников.

Образовательный минимум 9 класс 3 четверть.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Формулы для правильного многоугольника.
Формулы правильного (равностороннего) треугольника.
Определение подобных треугольников.
Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
Первый признак подобия треугольников.
Свойство биссектрисы треугольника.
Определение средней линии треугольника.
Свойство средней линии треугольника.
Свойство медиан треугольника.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Как найти высоту,
проведенную из прямого угла прямоугольного треугольника?
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Как найти катет?
Формулы площади треугольника и параллелограмма, если известны две стороны и угол
между ними.
Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
Теорема об окружности, описанной вокруг треугольника.
Свойство точек, лежащих на биссектрисе угла.
Свойство точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Определение арифметической прогрессии.
Формулы арифметической прогрессии: рекуррентная, характеристическое свойство, n-го
члена.
Определение геометрической прогрессии.
Формулы геометрической прогрессии: рекуррентная, характеристическое свойство, n-го
члена.
Формулы суммы n членов арифметической и геометрической прогрессии.
Образовательный минимум 9 класс 3 четверть.
1. Формулы для правильного многоугольника.
𝑆 = 𝑝𝑟, где 𝑝 − полупериметр, 𝑟 − радиус вписанной окружности;
180°
𝑟 = 𝑅𝑐𝑜𝑠
, 𝑅 − радиус описанной окружности, 𝑛 − количество сторон;
𝑛
180°
𝑎𝑛 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛
, 𝑅 − радиус описанной окружности, 𝑛 − количество сторон.
𝑛
2. Формулы правильного (равностороннего) треугольника.
𝑎√3
, 𝑚 − медиана, 𝑙 − биссектриса, ℎ − высота, 𝑎 − сторона;
2
𝑎√3
𝑟=
, 𝑟 − радиус вписанной окружности, 𝑎 − сторона;
6
𝑎√3
𝑅=
, 𝑅 − радиус описанной окружности, 𝑎 − сторона;
3
𝑎2 √3
𝑆=
, 𝑆 − площадь, 𝑎 − сторона равностороннего треугольника.
4
Определение подобных треугольников.
Треугольники называются подобными, если их углы равны, а сходственные стороны
пропорциональны.
Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Первый признак подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам.
Определение средней линии треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
Свойство средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой
стороны.
Свойство медиан треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношении два к одному, начиная от вершины.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Как найти высоту,
проведенную из прямого угла прямоугольного треугольника?
Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна среднему
пропорциональному из отрезков гипотенузы.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Как найти катет?
Катет прямоугольного треугольника равен среднему пропорциональному из гипотенузы и
отрезка гипотенузы, прилежащего к катету.
Формулы площади треугольника и параллелограмма, если известны две стороны и угол
между ними.
1
𝑆∆ = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑎 и 𝑏 − стороны треугольника, 𝛼 − угол между этими сторонами;
2
𝑚=𝑙=ℎ=
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
𝑆парал. = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑎 и 𝑏 − стороны параллелограмма, 𝛼 − угол между этими сторонами.
Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится
в точке пересечения биссектрис треугольника.
Теорема об окружности, описанной вокруг треугольника.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность, центр которой
находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Свойство точек, лежащих на биссектрисе угла.
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
Свойство точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку.
Каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от
концов этого отрезка.
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅, 𝑎, 𝑏, 𝑐 − стороны, 𝛼, 𝛽, 𝛾 − углы, 𝑅 − радиус описанной окр.
𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛾
Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 − стороны треугольника, 𝛼 − угол между 𝑏 и 𝑐.
Определение арифметической прогрессии.
Числовая последовательность, каждый последующий член которой отличается от
предыдущего на одно и то же число (разность d), называется арифметической
прогрессией.
Формулы арифметической прогрессии: рекуррентная, характеристическое свойство, n-го
члена.
Рекуррентная: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑.
Характеристическое свойство: 𝑎𝑛 =
𝑎𝑛−1 +𝑎𝑛+1
.
2
Формула n-го члена: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1).
21. Определение геометрической прогрессии.
Числовая последовательность, каждый последующий член которой отличается от
предыдущего в одно и то же количество раз (знаменатель q), называется геометрической
прогрессией.
22. Формулы геометрической прогрессии: рекуррентная, характеристическое свойство, n-го
члена.
Рекуррентная: 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 𝑞.
Характеристическое свойство: 𝑏𝑛 = √𝑏𝑛−1 𝑏𝑛+1 .
Формула n-го члена:𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞 𝑛−1 .
23. Формулы суммы n членов арифметической и геометрической прогрессии.
𝑎1 + 𝑎𝑛
2𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1)
𝑆𝑛 =
∙𝑛 =
∙ 𝑛 (арифметическая прогрессия).
2
2
𝑏1 (𝑞𝑛 − 1)
(геометрическая прогрессия).
𝑆𝑛 =
𝑞−1