Урок геометрии в 10 классе. Учитель Хозяшева Л.И. Учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян. Тема: Расстояние от точки до прямой. Теорема о трех перпендикулярах. Цели: Ввести понятие расстояния от точки до плоскости; Доказать теорему о трех перпендикулярах. Показать применение этой теоремы при решении задач. Развивать навыки исследовательской деятельности (выдвигать гипотезы, анализировать и обобщать полученные результаты). Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать коллективно и индивидуально). Тип урока: изложение нового материала (с использованием интерактивной доски, проектора). Методы обучения: иллюстративно-словесный (комментируется ход доказательства теоремы, решаются задачи на применение теоремы). Форма работы: фронтальная, индивидуальная. Ход урока. Организационный момент. (1мин.). Актуализация опорных знаний. (7мин). Учитель Учащиеся 0 Угол между прямыми равен 90 . как Прямые называются называются такие прямые? перпендикулярными. Прямая перпендикулярна плоскости, Какую прямую мы называем если она перпендикулярна любой перпендикулярной прямой, лежащей в этой плоскости. плоскости?(определение перпендикулярности прямой и плоскости). Продолжите предложение: «Прямая, ...если она перпендикулярна к двум перпендикулярна плоскости, если пересекающимся прямым, лежащим в она...» (признак перпендикулярности этой плоскости. прямой и плоскости) Что можно сказать о двух прямых, Они параллельны. перпендикулярных к одной плоскости? Две прямые, перпендикулярные ...параллельны. третьей прямой... Как определяется расстояние от точки Возможны ответы: как кратчайшее до прямой на плоскости? Слайд 2. расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой Вспомним как называются отрезки АМ — наклонная, АН — AM - ? AH - ? Точка - M? Точка - H? перпендикуляр, М — основание наклонной, Н — основание перпендикуляра. А как же определять расстояние от Возможны варианты: по прямой, точки до плоскости? проведенной через эту точку; по отрезку, опущенному из этой точки к плоскости; по перпендикуляру. Изучение нового материала. (15мин.) Вводится понятие перпендикуляра к плоскости, наклонной, проекции наклонной на плоскость. Слайд 2. Учитель Даны точка А, плоскость α. Проводим прямую а ┴ α, а ∩ α =Н.АН— перпендикуляр, Н— основание перпендикуляра. Отметим в плоскости α произвольную точку М ,отличную от Н. АМ— наклонная, НМ— проекция наклонной на плоскость α. Докажите, что АН<АМ. Учащиеся Выполняют чертежи и краткие записи в тетрадях. ∟МНА= 900, ∆ АНМ— прямоугольный, АН— катет, АМ — гипотенуза, поэтому АН<АМ. Вывод: Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Слайд 3. Вводится понятие расстояния от точки А до плоскости. Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на высоте 6м, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли. Слайд 4. Далее рассматриваются понятия: расстояние между параллельными плоскостями, расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми. Слайды 5-7. Учитель рассказывает по слайдам. Учитель 1. Если α ||β, то все точки плоскости α равноудалены от другой плоскости. Пусть А ϵ α, М ϵ α, проведем АА0┴ β, ММ0┴ β, тогда АА0 || ММ0, а значит АА0 =ММ0. Слайд 5. Учащиеся Проводят рассуждения вместе с учителем. Вывод: Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. 2. Если а||α, то все точки прямой Вывод: Расстоянием от прямой до равноудалены от этой плоскости. плоскости называется расстояние от Слайд 6. произвольной точки прямой до плоскости. 3. Даны скрещивающиеся прямые аи в, Вывод: Расстояние между одной из пусть М ϵ в. Проведем через М скрещивающихся прямых и прямую а0|| а. Через пересекающиеся плоскостью, проходящей через другую прямые а и в проходит плоскость β, β || прямую параллельно первой, а. Из произвольной точки А прямой а называется расстоянием между проводим АА1 ┴ β. скрещивающимися прямыми. Докажем теорему о трех перпендикулярах. Слайд 8. Учитель учащиеся Объясняет по слайду теорему о трех Выполняют чертежи и записи в перпендикулярах. тетрадях, участвуют в обсуждении доказательства теоремы. О каких же трех перпендикулярах идет Три перпендикуляра: а, НМ, АМ. речь в теореме? А если прямая а перпендикулярна Доказывают теорему, обратную наклонной, будет ли она теореме о трех перпендикулярах. перпендикулярна её проекции? Слайд 9. Первичное закрепление полученных знаний. (15мин.) № 139. Из некоторой точки проведены две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны их проекции; б) если равны проекции наклонных, то равны наклонные. Слайд 10, решаем задачу устно. № 147. Слайд 11 № 148. Слайд 12. № 149. Слайд 13. Учащиеся работают в тетрадях, выполняют чертежи и оформляют решение задач. Подведение итогов. Домашнее здание. (2мин.) Слайд №14 Пункты 19, 20, № 144, № 153 (эти задачи решены в учебнике, № 144 — второе замечание, №153 — обратная теорема), решить задачи № 143, 145.