Банк задач по геометрии

Банк задач по геометрии
для итогового повторения
за курс средней школы.
Учитель математики
ГБОУ СОШ № 417 г. Москвы
Семенюк Ольга Леонидовна.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.
Свойства равнобедренного треугольника.
2.
Признаки равенства треугольников.
3.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
4.
Признаки параллельности прямых.
5.
Сумма углов треугольника.
6.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
7.
Признаки параллелограмма.
8.
Свойства средних линий треугольника и трапеции.
9. Измерение угла, вписанного в окружность.
10. Свойство касательной к окружности.
11. Существование окружности, вписанной в треугольник.
12. Существование окружности, описанной около треугольника.
13. Признаки подобия треугольников.
14. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
16. Теорема косинусов.
17. Теорема синусов.
18. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.
19. Отношение площадей подобных многоугольников.
20. Длина окружности. Длина дуги окружности.
21. Площадь круга, сектора, сегмента.
22. Признаки параллельности прямой и плоскости.
23. Признак параллельности плоскостей.
24. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
25. Теорема о трех перпендикулярах.
26. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
27. Свойство диагоналей (параллелепипеда).
28. Призма, ее площадь поверхности и объем.
29. Пирамида, площадь поверхности и объем.
30. Цилиндр, площадь поверхности и объем.
31. Конус, площадь поверхности и объем.
32. Площадь сферы. Объем шара и его частей.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее
основаниям и равен их полуразности.
2.
Доказать, что диаметр круга, вписанного в равнобочную трапецию, есть среднее
геометрическое параллельных сторон трапеции.
3.
Доказать, что сумма диаметров двух окружностей, вписанной в прямоугольный
треугольник и описанной около него, равна сумме его катетов.
4.
Пользуясь теоремой синусов, доказать, что биссектриса внутреннего утла
треугольника делит его противолежащую сторону па отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам треугольника.
5. Пользуясь признаком подобия треугольников, доказать, что две медианы треугольника
делятся их точкой пересечения в отношении 2:1.
6.
Доказать, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний всякой точки, взятой
внутри этого треугольника, до сторон его есть величина постоянная, равная высоте
треугольника.
7.
Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг,— равнобедренная.
8.
Доказать, что в параллелограмме расстояния любой точки диагонали от двух
прилежащих сторон обратно пропорциональны этим сторонам.
9. Доказать, что площадь правильного вписанного шестиугольника равна 3/4 площади
правильного описанного шестиугольника.
10. Доказать, что, если два круга касаются извне, то часть внешней общей касательной,
ограниченной точками касания, есть средняя пропорциональная между диаметрами
кругов.
11. Доказать, что две параллельные прямые, пересекаемые рядом прямых, исходящих из
одной точки, рассекаются ими на пропорциональные части.
12. Доказать, что, если последовательно соединить середины сторон какого-нибудь
выпуклого четырехугольника, получится параллелограмм.
13. Доказать, что всякий четырехугольник, диагонали которого делятся пополам, есть
параллелограмм.
14. Доказать, что всякий параллелограмм, у которого диагонали равны, есть
прямоугольник.
15. Доказать, что всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно
перпендикулярны, есть ромб.
ТРЕУГОЛЬНИК.
1. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 5 см. Найти третью сторону треугольника,
если угол, лежащий против этой стороны, в два раза больше угла, лежащего против
стороны длины 4 см.
2. Длины двух сторон треугольника равны 3см и 8см, площадь треугольника равна 6√3см2.
Найти длину медианы третьей стороны треугольника, если угол, лежащий против этой стороны, тупой.
3. Длины высот треугольника равны 1см, 3 см, 0,75√2 см. Найти длины медиан треугольника.
4. Периметр треугольника АВС равен 112 см , а биссектриса угла ВАС делит
противоположную сторону на части, длины которых равны 14,8 см и 22,2 см. Найти длины
сторон треугольника.
5. Внутренние углы треугольника относятся как 1:2:3. Как относятся его внешние углы?
6. В треугольнике проведены три средние линии. Во сколько раз площадь данного
треугольника больше площади треугольник ограниченного средними линиями ?
7. В  АВС сторона АС продолжена за точку С на длину СЕ = СВ и за точку А на длину АD
= АВ, точки Е и D соединены с В. Определить углы ∆ DВЕ, если в ∆ АВС  A= 50о, 
С=60°,  В = 70°.
8. В ∆ АВС A= 80°, B = 70°. Определить внутренние углы ∆ МNР, образуемого
взаимным пересечением биссектрис трех внешних углов ∆ АВС.
9. Найти угол между биссектрисами двух углов треугольника, если третий угол треугольника
равен 128°.
10. В треугольнике АВС угол между медианами АD и ВЕ равен α . Найти длину медианы ВЕ,
если длина медианы АD равна а , и площадь треугольника АВС равна S.
11. Две стороны треугольника равны 27 см и 29 см, а медиана, проведенная к третьей стороне,
равна 26 см. Найти площадь треугольника.
12. Основание треугольника равно 37 см, а длины боковых сторон равны 45 см и 30 см.
определите, на какие части биссектриса делит основание.
13. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 8 см. Сумма длин высот, опущенных на
данные стороны, равна 9 см. Найти длину каждой из этих высот.
14. Длины двух высот треугольника равны 6 см и 3 см. Сумма длин двух сторон, на которые
опущены эти высоты, равна 12 см. Найти длину каждой из этих сторон.
15. Площадь треугольника равна 50 см2, сумма квадратов двух сторон треугольника равна 200
см2. Найдите периметр треугольника.
16. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD и ВЕ. Найдите углы
треугольника DЕС, если известно, что ВАD= 15 о, ∠АВЕ = 20о.
17. Даны два угла с общей вершиной, один вне другого. Стороны одного угла
перпендикулярны к сторонам другого. Найти каждый из них, если один вдвое больше
другого.
18. Найти угол при вершине треугольника, если биссектрисы углов при основании встречаются
под углом
4
3
𝑑?.
19. Углы при основании треугольника α и β(α >β). Определить угол между высотой и
биссектрисой угла при вершине.
20. В ∆ АВС из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая
биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 126°. Какой угол образует с
продолжением стороны АВ вторая биссектриса?
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, а высота, проведенная к
боковой стороне, равна 12 см. Найти периметр треугольника.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, имеет длину
5
см. Найти длину основания треугольника, если длина его боковой стороны равна 6 см.
3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 2α , биссектриса, проведенная к
боковой стороне, равна b . Найти периметр треугольника.
4. Найти периметр равнобедренного треугольника, если длина его основания равна 12 см, а
длина высоты, опущенной на основание, равна длине отрезка, соединяющего середину
основания и середину боковой стороны.
5. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 30° больше внешнего угла
при вершине. Определить углы треугольника.
6. В равнобедренном треугольнике АВС из вершин А и С проведены две прямые до
пересечения с противоположными сторонами в точках D и Е соответственно, причем ∠САD
= 60°, ∠АСЕ = 50°. Найти угол АDЕ, если
АВ = ВС
и
∠ВАС = 80°.
7. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 10 см, а длина каждой из боковых
сторон равна 13 см. Боковые стороны служат диаметрами двух окружностей. Найти длину
общей хорды этих окружностей.
8. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, боковая сторона
треугольника равна 20 см. Найти длины высот треугольника.
9. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 2α, основание треугольника равно
а . Найти периметр и площадь треугольника.
10. Угол при основании равнобедренного треугольника равен α , высота треугольника,
опущенная из его вершины на основание, равна h . Найти периметр и площадь данного
треугольника.
11. Длина основания равнобедренного треугольника равна 6 см, площадь треугольника равна
3√3см2. Найти угол при основании треугольника.
12. Найти площадь равнобедренного треугольника, если длина его основания равна 12 см , а
длина высоты, опущенной на основание, равна длине отрезка, соединяющего середину
основания и середину боковой стороны.
13. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к его основанию,
равна 20 см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 24 см.
14. Сумма всех высот равнобедренного треугольника равна α, угол при вершине треугольника
равен 2α. Найти площадь треугольника.
15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана боковой стороны
равна б см. Найти площадь треугольника.
3
16. Определить площадь равностороннего треугольника, если длина его высоты равна √4 см.
17. Определить длину стороны равностороннего треугольника, если его площадь равна 9 см2.
18. Через вершину угла а при основании равнобедренного треугольника проведена прямая,
пересекающая противоположную боковую сторону треугольника и составляющая с ней
острый угол β. Найти отношение, в котором эта прямая делит площадь треугольника.
19. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32°. Найти угол между
основанием и высотой треугольника, проведенными из вершины угла при основании.
20. В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой угла при вершине и
биссектрисой угла при основании равен 130°. Найти угол при вершине.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
1. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольник делит противолежащий катет на две
части, длины которых равны 4 см и 5 см соответственно. Найти длину гипотенузы
треугольника
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°. Найти острый угол между
медианами катетов треугольника.
3. Острый угол прямоугольного треугольника равен α , длина катета, противолежащего этому
углу, равна а . Найти площадь равностороннего треугольника, каждая сторона которого
равна гипотенузе данного треугольника.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4√5 см. Найти площадь треугольника, если
расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов вдвое больше, чем до другого.
5. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2, один из катетов треугольника равен
15 см. Найти периметр треугольника.
6. Площадь прямоугольного треугольника равна 2√3 см2,один из острых углов треугольника
равен 60° . Найти периметр треугольника.
7. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30° , периметр треугольника
равен 4 (3 + √3) см. Найти площадь треугольника.
8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна
4√3
см, один из катетов треугольника равен 8 см. Найти площадь треугольника.
9. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен
15°, длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна 3 см. Найти площадь
треугольника.
10. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 15°, длина медианы,
проведенной из вершины прямого угла равна 5 см. Найти площадь треугольника
11. Площадь прямоугольного треугольника равна 24,5 см2 тангенс острого угла, образованного
медианами катетов треугольника, равен 0,75. Найти периметр треугольника.
12. От концов гипотенузы отложены на ней длины прилегающих катетов и полученные точки
соединены прямыми с вершиной прямого угла. Определить угол, образуемый этими
прямыми.
13. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса угла, равного 60°. Найти эту
биссектрису, если она короче большего катета на 1 см.
14. В прямоугольном ∆АВС к гипотенузе АВ проведена высота СD, B = 60°, отрезок BD
= 1 cм. Найти гипотенузу.
15. Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого
угла, и биссектрисой прямого угла равен 12°. Найти наименьший угол данного
треугольника.
16. В прямоугольном треугольнике катет равен 6 см, противолежащий острый угол — 60°.
Найти биссектрису большего острого угла треугольника.
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
1. Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, равна 25π см2, длина
одного из катетов треугольника равна 8 см. Найти длину другого катета треугольника.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна
4√3
см, один из катетов треугольника равен 8 см. Найти длину окружности, описанной около
треугольника.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна 98√3 см2, медиана, проведенная к его
гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1. Найти площадь круга, описанного около
треугольника.
4. Высота, опущенная из вершины А прямоугольного равнобедренного треугольника АВС на
гипотенузу ВС , пересекает ВС в точке D. Длина окружности, описанной около
треугольника АВD, равна а . Найти длину окружности, описанной около ∆ АВС.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4√5 см. Найти длину окружности,
вписанной в треугольник, если расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов
вдвое больше, чем до другого.
6. В прямоугольный треугольник, у которого один из катетов имеет длину 8 см , вписан круг
радиуса 3 см . Найти площадь треугольника.
7. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2 , один из катетов треугольника равен
15 см. Найти площадь круга, вписанного в треугольник.
8. Площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равна q , один из острых углов
треугольника равен 60°. Найти длины медиан треугольника.
9. Длина окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равна b, один из острых
углов треугольника равен α. Найти длины биссектрис острых углов треугольника.
10. Средняя линия прямоугольного треугольника, пересекающая оба катета, отсекает
треугольник с острым углом α . Найти площадь данного треугольника, если радиус
окружности, вписанной в отсеченный треугольник, равен r.
11. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен α , длина биссектрисы прямого
угла треугольника равна а. Найти радиус окружности, вписанной в данный треугольник, и
радиус окружности, описанной около данного треугольника.
12. Площадь прямоугольного треугольника равна 18 см2, сумма радиусов вписанной и
описанной окружностей равна 6 см. Найти длину гипотенузы треугольника.
13. В окружность радиуса R, вписан равнобедренный треугольник, основание которого
удалено от центра окружности на расстояние b . Найти длину боковой стороны
треугольника.
14. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого
вдвое больше основания. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
15. В равнобедренном треугольнике АВС каждый из углов ВАС и ВСА равен α. Высота,
опущенная из вершины В на основание АС, пересекает АС в точке D. Радиус окружности,
вписанной в треугольник АВD, равен r. Найти площадь треугольника АВС.
16. В равнобедренный треугольник, длина основания которого равна а , вписана окружность, и
к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти площадь треугольника, если
длина отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника, равна b.
17. В равнобедренном треугольнике боковая сторона в два раза больше основания. Радиус
вписанной в треугольник окружности равен 0,375 см. Найти площадь круга, описанного
около треугольника.
18. Круг радиуса r , вписанный в равнобедренный треугольник, касается его средней линии.
Найти радиус окружности, описанной около данного треугольника.
19. Отношения длин сторон АС и ВС треугольника АВС к радиусу описанной около
треугольника АВС окружности равны 1,2 и 2 соответственно. Найти отношение длин
биссектрис внутренних углов В и С.
20. Сумма двух сторон треугольника равна 24 см, площадь треугольника равна 72 см2. Найти
площадь круга, описанного около треугольника.
21. В треугольник АВС, площадь которого равна S, вписана окружность, касающаяся стороны
ВС в точке М. Найти длины отрезков ВМ и МС, если ВМ : МС = т : п
и
ВАС =60°.
22. Центр вписанной в треугольник окружности соединен отрезками с вершинами
треугольника. При этом получились внутренние треугольники с площадями 4 см2, 13 см2 и
15 см2. Найти площадь данного треугольника и радиус вписанной в него окружности.
23. В угол, равный 60°, вписана окружность, радиус которой равен 30 мм. Между вершиной
угла и центром окружности проведена к этой окружности касательная, перпендикулярная
биссектрисе данного угла. Найти площадь отсеченного треугольника.
24. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним
образом. Найти площадь большего круга, если радиус меньшей окружности равен r.
25. В круге, радиус которого равен 13 см, проведены две параллельные хорды с длинами
см и 24см. Найти расстояние между этими хордами.
26. Три окружности с радиусами 1см, 4 см и 5 см касаются попарно друг друга внешним
образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей внутренней
касательной первых двух окружностей.
10
ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
1. Биссектриса угла между стороной и диагональю ромба встречает другую диагональ ромба
под углом 75°. Определить углы ромба.
2. Диагонали параллелограмма равны 14 и 18 мм. Стороны относятся как 4 : 7. Найти
периметр параллелограмма.
5
3. В четырехугольнике диагонали равны 10 дм и 8 дм и пересекаются под углом 8 d.
Определить периметр и углы четырехугольника, который получим, соединяя середины сторон данного четырехугольника.
4. Сторона ромба образует с продолжениями диагоналей углы, относящиеся как 9 : 7. Найти
углы ромба.
5. Высота ромба, проведенная из его вершины, делит противоположную сторону пополам.
Определить углы ромба.
6. Стороны параллелограмма равны 8 и 3 см. Биссектрисы двух углов параллелограмма,
прилежащие к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найти каждую
из них.
7. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен 42°.
Найти тупой угол параллелограмма.
8. Диагональ квадрата равна 4√2 см. Найти площадь круга, вписанного в квадрат.
9. Площадь прямоугольника равна 40 см2, одна из его сторон равна 4 см. Найти площадь
круга, описанного около прямоугольника.
10. Площадь прямоугольника равна 16√3 см2, угол между диагоналями прямоугольника равен
60°. Найти длину окружности, описанной около прямоугольника.
11. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина
прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 2 : 5 , площадь
прямоугольника равна 40 см2.
Найти площадь квадрата.
12. Площадь круга, описанного около прямоугольника, равна S, диагональ прямоугольника
образует со стороной прямоугольника угол α. Найти площадь прямоугольника.
13. Круг, радиус которого равен R, находится внутри прямоугольника и касается трех его
сторон. Четвертая сторона удалена от центра круга на расстояние а. Найти площадь той
части прямоугольника, которая находится вне данного круга.
14. В прямоугольник со сторонами а и b помещены две окружности с одинаковыми
радиусами. Первая окружность касается двух смежных сторон прямоугольника и второй
окружности. Вторая окружность касается двух оставшихся сторон прямоугольника и первой окружности. Найти величину радиуса окружностей.
15. Радиус круга, описанного около прямоугольника, равен R, одна из сторон прямоугольника
равна а . Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины
сторон прямоугольника.
16. Периметр и площадь ромба равны соответственно 48 см и 72 см2.
Найти углы ромба.
17. Длина каждой из сторон ромба равна 10 см. Площадь круга, вписанного в ромб, равна 12,5
7π см2. Найти углы ромба.
18. Длина стороны ромба равна 12 см, тупой угол ромба равен 150°.
Найти длину
окружности, вписанной в ромб.
19. Найти площадь ромба АВСD, если радиус окружности описанной около треугольника АВD ,
равен 1 см , а длина стороны ромба равна √3см.
20. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника, равным 30°.
Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 36 см и 12 см. Найти площадь
ромба.
21. Найти площадь ромба АВСD , если радиус окружности описанной около треугольника АВС,
равен √3см, а радиус окружности, описанной около треугольника АВD, равен 1 см.
22. Найти длины высот параллелограмма, если длины его сторон равны 35 см и 42 см, а
длина одной из диагоналей 35 см .
23. Периметр параллелограмма 30 см , высоты параллелограмма равны 4 см и 8 см . Найти
радиус круга, площадь которого равна площади данного параллелограмма.
24. Периметр параллелограмма 18 см, острый угол параллелограмма 60°. Найти площадь
параллелограмма, если его диагональ делит тупой угол на части в отношении 3:1.
25. Площадь параллелограмма равна 9√3 см2, острый угол параллелограмма равен 60°. Найти
периметр параллелограмма, если его диагональ делит тупой угол на части в отношении 3:1.
26. Точка F делит сторону ВС параллелограмма АВСD на две равные части, точка Е делит
сторону АD параллелограмма в отношении 1:3. Найти отношение, в котором прямая ЕF
делит площадь параллелограмма АВСD .
27. Точка Р делит сторону АВ параллелограмма АВСD на две равные части, точка Е лежит на
стороне ВС параллелограмма, причем ВЕ : ЕС = 2:1. Найти отношение, в котором прямая
ЕF делит площадь параллелограмма АВСD .
28. Меньшая сторона параллелограмма равна а, большая его диагональ образует со
сторонами параллелограмма углы α и β. Найти площадь параллелограмма и его периметр,
если к его стороне а прилежит угол β.
29. Внутри параллелограмма АВСD, площадь которого равна S, взята точка М так, что площадь
∆ МАВ равна Q. Найти радиус круга, площадь которого равна площади ∆ МDВ.
30. Площадь параллелограмма равна S, периметр параллелограмма равен Р, острый угол
между диагоналями параллелограмма равен α. Найти длины высот параллелограмма.
ТРАПЕЦИЯ
1. Средняя линия равнобедренной трапеции делится диагональю на части длиной 4 см и 10
см. Бoковая сторона равна 12 см. Найти углы трапеции.
2. Углы при основании трапеции равны между собой и делятся диагоналями пополам.
Основание равно 15 см, средняя линия 10,5 см. Найти периметр трапеции.
3. Диагональ АС трапеции, равная боковой стороне СD, перпендикулярна к ней и делит угол
пополам. Найти углы трапеции.
4. В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам, большее основание
менее периметра на m метров, а средняя линия равна п метрам. Определить меньшее основание.
5. В равнобедренной трапеции диагонали служат биссектрисами ее острых углов. Тупой угол
трапеции равен 140°. Найти угол между ее диагоналями.
6. Длины оснований трапеции равны а и b (а > b). Найти длину отрезка прямой,
соединяющего середины ее диагоналей.
7. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее на два равнобедренных треугольника. Найти
острый угол трапеции.
8. Длина высоты прямоугольной трапеции равна а, острый угол трапеции равен α. Найти
площадь трапеции, если меньшее основание трапеции равно ее высоте.
9. Острый угол при основании прямоугольной трапеции равен а , высота трапеции равна h,
длина меньшего основания трапеции равна а . Найти периметр трапеции .
10. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 5 см, большая диагональ трапеции,
имеющая длину 8 см, является биссектрисой ее острого угла. Найти периметр трапеции.
11. Периметр прямоугольной трапеции равен (18 + 4√3)см, средняя линия трапеции равна
(3
+ 2√3) см, один из углов трапеции равен 30°. Найти площадь трапеции.
12. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ, равная 15 см, перпендикулярна большей
боковой стороне. Найти высоту трапеции, если ее средняя линия равна 17 см.
13. Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол трапеции пополам, меньшее
основание трапеции равно 8см, а ее большее основание равно 24 см. Найти площадь
трапеции.
14. Площадь равнобедренной трапеции равна 66 см2, периметр трапеции равен 42см, средняя
линия трапеции равна 11см. Найти длины оснований трапеции.
15. В равнобедренной трапеции меньшее основание 10 см, диагональ 6√5 см, высота 6 см.
Найти периметр трапеции.
16. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны и каждая из них делится
точкой пересечения в отношении 1:4.
Найти площадь трапеции, если ее большее
основание равно 16 см.
17. В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла опущена высота, делящая основание в
отношении т : п (п > т) в каком отношении эта высота делит площадь данной трапеции?
18. В равнобедренной трапеции с острым углом α из вершины тупого угла опущена высота. В
отсеченный треугольник вписана окружность, радиус которой равен r. Найти площадь
данной трапеции, если длина ее нижнего основания в три раза больше длины верхнего
основания.
19. Основание ВС трапеции АВСD вдвое короче основания АD . Найти отношение площади
трапеции к площади треугольника АВD.
20. Средняя линия трапеции АВСD втрое длиннее ее основания ВС . Найти отношение
площади треугольника АВD к площади треугольника ВСD.
21. Длина основания АD трапеции АВСD равна 9 см, а длина основания ВС равна 4 см.
Диагональ АС делит трапецию на два подобных треугольника. Найти длину диагонали АС.
22. Точка F делит меньшее основание ВС трапеции АВСD пополам, точка Е расположена на
боковой стороне СО трапеции, причем СЕ : ЕD = 5:1. Найти отношение, в котором прямая
ЕF делит площадь трапеции АВСD, если
АD = 3 • ВС.
23. Точка F делит большее основание трапеции пополам, точка Е делит меньшее основание
трапеции в отношении 4 : 3. Найти отношение, в котором прямая ЕF делит площадь
трапеции, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого ее основания.
24. Основания АD и ВС трапеции АВСD равны 15 см и 10 см соответственно, диагонали
трапеции пересекаются в точке K. Найти высоту трапеции, если площадь треугольника
СКD равна 27 см2.
25. Прямая, параллельная основанию трапеции, делит ее на две части, площади которых
относятся как 7: 2 (считая от большего основания). Найти длину отрезка этой прямой,
заключенного внутри трапеции, если длины оснований трапеции равны 5 см и 3см.
26. В трапеции АВСD расстояние между основаниями ВС и АD равно 3 см, расстояние от
вершины D до прямой, на которой лежит сторона АВ, равно 4 см, расстояние от вершины А
до прямой, на которой лежит диагональ ВD, равно 2,4 см, длина меньшего основания
трапеции 2 см. Найти периметр данной трапеции.
ВЫПУКЛЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНИКИ
1. Точка Е делит сторону АО параллелограмма АВСD на две равные части. Найти отношение
площади четырехугольника ВСDЕ к площади треугольника АВЕ.
2. В выпуклом четырехугольнике АВСD расстояние от вершины В до прямой, на которой
лежит сторона АD , равно 3 см , расстояние от вершины D до прямой, на которой лежит
сторона АВ , равно 5 см, а расстояние от вершины А до прямой, на которой лежит диагональ
ВD, равно 3,75см. Найти площадь четырехугольника АВСD, если
ВСD = С ВD
= 30°.
3. Периметр выпуклого четырехугольника равен 20 см, площадь четырехугольника в четыре
раза меньше суммы квадратов его сторон. Найти длины диагоналей четырехугольника.
4. Площадь выпуклого четырехугольника 32 см2, сумма квадратов диагоналей
четырехугольника 128 см2. Найти длины диагоналей четырехугольника.
5. Площадь выпуклого четырехугольника 9 см2, сумма квадратов сторон четырехугольника 36
см2. Найти периметр четырехугольника.
6. В параллелограмме АВСD точка М является серединой стороны АВ , а точка N - серединой
стороны ВС. Найти отношение площади треугольника ВМ N к площади пятиугольника
АМNСD.
7. В круг вписан правильный шестиугольник АВСDЕР. Найти площадь круга, если радиус
окружности, вписанной в треугольник АDЕ, равен r.
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
1. Дуга АВ содержит 40°24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде
АВ, и точка С соединена с В. Определить  АВС.
2. Вершины четырехугольника расположены на окружности так, что одна из его сторон равна
диаметру, а противолежащая ей сторона равна радиусу. Найти угол между продолжениями
двух других сторон.
3. Точка М — середина высоты ВD в равнобедренном ∆АВС; точка М служит центром дуги,
описанной радиусом МD между сторонами ВА и ВС. Определить градусную величину этой
дуги, если известно, что ВАС=62°17'.
4. Около окружности, радиус которой равен 4 м, описан прямоугольный треугольник,
гипотенуза которого равна 26 м. Найти периметр треугольника.
5. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, образующие угол в
45°. Меньшая дуга окружности, заключенная между сторонами угла, равна 30°. Сколько
градусов в большей дуге?
6. Секущая АВС отсекает дугу ВС, содержащую 112°. Касательная АD точкой касания D
делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить DАВ.
7. Два равных круга внутренне касаются третьего и касаются между собой. Соединив три
центра отрезками прямой, получим треугольник с периметром в 18 см. Определить радиус
большого круга.
8. В прямоугольном равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности равен
8
см, а периметр равен 64 см. Определить гипотенузу.
9. Окружность разделена в отношении 7:11:6, точки деления соединены между собой.
Определить углы полученного треугольника.
10. Из точки А диаметра AВ = 6 см проведена касательная и из точки В — секущая ВМ,
делящаяся окружностью в точке С пополам. Обе эти прямые пересекаются в точке М.
Найти угол АВМ и касательную АМ.
11. В данный круг, радиус которого равен 30 см, вписано 6 равных кругов, из которых каждый
касается данного круга и двух соседних кругов. Найти их диаметры.
12. Определить величину описанного угла, если расстояние от его вершины до окружности
равно радиусу.
13. Около круга радиуса 1 дм проведены с наружной стороны 6 равных кругов, из которых
каждый касается данного «руга и двух соседних. Найти их радиусы.
14. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон
служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части.
Найти эти части.
15. Стороны треугольника равны 8, 16, 20 см. Из вершин этого ∆, как из центров, описаны три
окружности так, что каждая внешне касается двух других. Определить их радиусы.
16. В окружность вписан четырехугольник АВСО, углы которого при вершинах А, В и С
относятся как 5 : 9 : 7. Определить угол D.
17. Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом в 1150°. Средняя ее линия
равна 10 м. Определить радиус окружности.
18. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36 м. Определить среднюю
линию этой трапеции.
19. Определить величины углов вписанной в круг трапеции, диагональ которой стягивает дугу
в 150°.
20. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25°. Под каким углом виден
каждый его катет из центра описанной окружности?
ПОДОБИЕ
1. Стороны одного треугольника равны 0,8м; 1,6м и 2 м, периметр подобного ему
треугольника равен 5,5 м. Определить стороны второго треугольника.
2. Периметр одного треугольника составляет 11/13 периметра подобного ему треугольника.
Разность двух сходственных сторон равна 1 м. Определить эти стороны.
3. ABCD – данная трапеция, причем сторона BC||AD, О – точка пересечения диагоналей,
АО=8 см, ОС=1 дм, BD=27 см. Определить ОВ и OD.
4. В параллелограмме ABCD сторона AB= 420 м. На стороне ВС взята точка Е так, что
ВЕ:ЕС= 5:7, проведена прямая DE, пересекающая продолжение АВ в точке О. Требуется
определить ВО.
5. ABCD – данный параллелограмм, О – точка на продолжении стороны АВ, Е – точка
пересечения DO и AC. Определить ВО, если АЕ : ЕС = m : n и АВ=a.
6. В треугольник АВС вписан ромб ADEO так, что угол А у них общий, а вершина Е
находится на стороне ВС. Определить сторону ромба, если АВ = с, АВ = b.
7. В треугольнике АВС сторона АВ=15 см, АС=10 см, АD – биссектриса угла А; из точки D
проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АС в точке Е. Определить АЕ, ЕС,DE.
8. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояние относятся, считая
сверху, как 2:3:4, пересечены двумя сходящимися над ними прямыми. Из полученных
четырех параллельных отрезков крайние равны 60 и 96 дм. Определить средние отрезки.
9. Стороны треугольника относятся как 2:5:6. Меньшая сторона подобного ему треугольника
равна 6. Найти остальные стороны второго треугольника.
10. Дан треугольник АВС и внутри него отрезок DE, параллельный АС (D на AB; Е на ВС).
Определить AD, если АВ=16 см, АС=2 дм, DE=15 см.
11. В треугольнике АВС проведена прямая BD так, что угол АВD равен углу ВСА. Определить
отрезки AD и DC, если АВ=2 м, АС=4 м.
12. В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота 16 см, вписан прямоугольник с
отношением сторон 5:9, причем большая сторона лежит на основании треугольника.
Определить стороны прямоугольника.
13. В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный
равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного
треугольника, вершина прямого угла лежит на этом основании. Определить гипотенузу.
14. Общая касательная к двум внешне касающимся окружностям составляет с линией их
центров угол в 300 .Найти отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей.
15. Две окружности с радиусами R=3 см, r=1 см касаются внешним образом. Найти расстояние
от точки касания до общей касательной.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
1. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удаленной от центра на 9 см, проведена секущая
так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой
секущей.
2. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину,
если касательная и а 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше
внешнего отрезка.
3. Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а
внешний — 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка.
Определить длину второй секущей.
4. Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 и 40 см;
секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.
5. Через внешнюю точку к окружности проведены секущая, проходящая через центр
окружности, и касательная, отрезок которой равен половине секущей. Найти отношение
отрезка касательной к радиусу.
6. Из внешней точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину
касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше
внутреннего отрезка.
7. АВ — диаметр окружности, ВС и СD А —касательная
и секущая, где D— точка пересечения секущей с окружностью. Найти диаметр, если
AD
= 9,6 см, DC=5,4 см.
8. Из одной точки окружности проведены две секущие. Их внутренние отрезки равны 9 см и
40 см, а внешние соответственно относятся как 4:3. Определить длину внешних отрезков.
9. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а, а ее
внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить длину
касательной.
10. Из одной точки к окружности проведены две секущие. Сумма длин их внешних отрезков
равна 35 дм, внутренние отрезки равны 25 и 45 дм. Найти длины секущих.
11. Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при основании
равнобедренного треугольника, а другой принадлежит этому основанию. Найти радиус
полуокружности, если она касается одной боковой стороны и делит другую на отрезки
длиной 5 и 4 см, считая от основания.
12. В треугольнике сумма двух сторон равна 14 см, а третья сторона делится биссектрисой
противолежащего угла на отрезки 3 и 4 см. Определить стороны треугольника.
13. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная больше
внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить
длину секущей.
14. Две хорды, равные 8 и 6 см, пересекаются. Найти отрезки первой хорды, если вторая
делится в отношении 1 : 2.
15. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая.
Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а расстояние от точки А до одной из
точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если
секущая удалена от ее центра на 5 см.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21см. Определить радиус описанного
круга.
2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см, а высота равна 4 см. Найти
радиус описанной окружности.
3. Определить катеты прямоугольного треугольника, если они относятся между собой как
20:21, а разность между радиусами описанной и вписанной окружностей равна 17 см.
4. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус
окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.
5. В окружность радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник так, что один из его катетов
вдвое ближе к центру, чем другой. Найти длину этих катетов.
6. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны 2 см и
5 см. Найти катеты треугольника.
7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 16 см. Найти радиус вписанной окружности.
8. Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на
гипотенузу равны 9 и 16 см.
9. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна Q, а отношение диагоналей равно
т : п.
10. Длина хорды равна 12 см. Через один из концов этой хорды проведена касательная,
расстояние которой от другого конца равно 8 см. Найти радиус круга.
11. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и
основания равна диаметру круга. Определить высоту.
12. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, если боковая
сторона равна 12 дм, а высота 9 дм.
13. В треугольнике основание равно 60 см, высота и медиана, проведенные к основанию,
соответственно 12 и 13 см. Определить боковые стороны.
14. Гипотенуза AВ = 34 см, катет ВС=16 см. Определить длину перпендикуляра,
восстановленного к гипотенузе из середины до пересечения с катетом АС.
15. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана,
выходящие из вершины прямого угла, относятся как 40:41.
16. Точка А удалена от прямой ВС на расстояние 5 см. Данным радиусом 10 см описана
окружность так, что она проходит через точку А и касается линии ВС. Определить
расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.
17. Определить катеты прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит
гипотенузу на части в 15 и 20 см.
18. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 1 см. Найти меньшее основание
трапеции, если ее большее основание равно 4 см.
19. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 12 и 5 см. Найти расстояние между
центрами вписанной и описанной окружностей.
20. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом основании.
Найти боковые стороны трапеции, если длина ее высоты равна 12 см, а длины биссектрис
равны 15 и 13 см.
21. В равнобокой трапеции длины оснований равны 6 и 8 см, а высота 7 см. Найти радиус
описанного круга.
22. Найти диаметр окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник,
катет которого равен а.
23. Периметр ромба равен 1 м, одна диагональ длиннее другой на 1 дм. Найти его диагонали.
24. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник,
гипотенуза которого с.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1. Основание равнобедренного треугольника равно α, угол при вершине равен а. Найти длину
биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а. Радиус вписанного круга
равен r. Через вершину угла при основании и центр вписанного круга проведена прямая.
Найти отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника.
3. Основание треугольника равно 13 см, угол при вершине равен 60°, сумма боковых сторон
равна 22 см. Определить боковые стороны и высоту.
4. В ∆АВС основание АС равно 12 см, один из углов при нем равен 120°. Сторона против
этого угла равна 28 см. Определить третью сторону и высоту, проведенную из вершины В.
5. Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся
как 3 : 8. Определить эти стороны.
6. В тупоугольном треугольнике большая сторона равна 16 см, а высоты, проведенные из
обоих ее концов, отстоят от вершины тупого угла на 2 см и 3 см. Определить две меньшие
стороны треугольника.
7. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол α при основании. Найти длину
медианы, проведенной к боковой стороне.
8. Найти наименьшую медиану треугольника, стороны которого равны 11 см, 7 см и 12 см.
9. Определить радиус окружности, если вписанный в нее угол со сторонами а и b опирается
на дугу γ.
10. В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из его сторон разделена точкой касания на
части, равные 8 см и 6 см. Найти длину двух других сторон треугольника.
11. Определить высоту и диагонали трапеции, если основания а = 25, c = 11, боковые стороны
b = 13, d =15.
12. Основания трапеции равны 21 и 20 см, диагонали 9 и 40 см. Найти угол между
диагоналями.
13. В треугольник вписан параллелограмм так, что одна его сторона лежит на основании
треугольника, диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника.
Определить стороны параллелограмма, если в треугольнике основание равно 45, а боковые
стороны 39 и 48.
14. Стороны параллелограмма равны 23 и 11 см, а диагонали относятся как 2 : 3. Определить
диагонали.
15. Длины сторон треугольника равны 11 см, 13 см и 12 см. Найти длину медианы,
проведенной к большей стороне.
16. В ∆АВС АВ = 2 см, медиана ВD= 1см, ВDА = 30o .Найти сторону АС.
17. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4
см проведена медиана к
боковой стороне. Найти основание треугольника, если медиана основания равна 3 см.
18. Основания трапеции равны 6 и 4 см, боковые стороны 2 и 1 см. Найти углы при
большем основании трапеции.
19. Две стороны треугольника равны 14 и 22 дм. Медиана, проведенная к третьей стороне,
равна 12 дм. Найти третью сторону.
20. Периметр треугольника равен 42 мм, а основание его равно 20 мм. Медиана, проведенная к
этому основанию, равна 5 мм. Найти боковые стороны треугольника.
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
1.
Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на его основание,
равна 10 см, а высота, опущенная на баковую сторону, равна 12 см.
2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности,
вписанной в этот круг, равен 3 см. Найти площадь этого треугольника.
3. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, у которого периметр равен 50 дм, а
основание меньше боковой стороны на 1 дм.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. В треугольнике дана точка на
расстоянии 1 см от каждого катета. Найти расстояние от данной точки до гипотенузы.
5. Определить меньшую высоту треугольника, стороны которого равны 5; 5,8; 7,2 см.
6. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота,
опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середины основания и боковой
стороны.
7. Определить площадь треугольника, если его высота равна 36 см, а боковые стороны 85 см и
60 см, в случае, если углы при основании острые.
8. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16см и 44 см, а
непараллельные— 17см и 25 см.
9. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найти площадь ромба.
10. Площадь четырехугольника равна 5. Найти площадь параллелограмма, стороны которого
равны и параллельны диагоналям четырехугольника.
11. В равнобедренной трапеции средняя линия равна d, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции.
12. Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с площадью 20 см2. Найти
основания трапеции.
13. Около круга радиуса 4 см описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон которой
равна 6 см. Найти площадь трапеции.
14. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны
на 2 см и 4 см. Найти площадь трапеции.
15. Определить площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 8 дм, а
периметр равен 18 дм.
16. В треугольнике по данным двум сторонам и площади определить третью сторону:
= 17, b = 28, S = 210 (С — острый).
17. Определить наибольшую высоту треугольника, стороны которого равны
3 см; 22,4 см; 22,6 см.
18. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 3 см. Верхнее основание
трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.
а
19. В окружность радиуса 2 см вписана трапеция, у которой нижнее основание больше каждой
из остальных сторон вдвое. Найти площадь трапеции.
20. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на
отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
21. Боковые стороны трапеции продолжены до их взаимного пересечения. Найти площадь
трапеции, если длины ее оснований относятся как 5:3, и площадь всего образовавшегося
треугольника равна 50.
22. Вычислить площадь равнобочной трапеции, описанной около окружности радиуса r, зная
ее боковую сторону, равную с.
23. Периметр ромба равен 2 м, длины диагоналей относятся как 3 : 4. Найти площадь ромба.
24. Стороны треугольника равны 25, 24 и 7 см. Определить радиусы вписанного и описанного
кругов.
25. Основание треугольника равно а. Определить длину отрезка прямой, параллельной
основанию и делящей площадь треугольника пополам.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА
1. Сумма площадей двух кругов, касающихся внешним образом, равна 90π см2. Вычислить
диаметры кругов, если расстояние между их центрами равно 12 см.
2. Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна 24 см2, а один из катетов
на 2 см больше другого. Найти площадь круга.
3. К двум, извне касающимся в точке А окружностям, радиусы которых 3 и 1, проведена
общая внешняя касательная ВС. Найти площадь фигуры AВС, ограниченной окружностями
и касательной.
4. Имеются две концентрические окружности, отношение их радиусов т : п. Вычислить
площадь кольца, заключенного между окружностями этих кругов, если площадь большего
круга S.
5. Площадь круга равна 25π. Определить площадь вписанного в него прямоугольника,
стороны которого относятся как 3:4.
6. Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга содержит 120°.
7. Два круга радиуса r расположены так, что центр одного лежит на окружности другого
круга. Найти площадь общей части этих кругов.
8. Две окружности радиусами R и r касаются внешним образом. К этим окружностям
проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный
треугольник, вписан круг. Найти его площадь.
9. К кругу радиуса r проведены из одной точки две касательные, составляющие между собой
угол 2α°. Определить площадь между этими касательными и дугой круга.
10. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в круг, равна 6 см. Вычислить площадь
отсекаемого ею сегмента.
11. Круг, квадрат и равносторонний треугольник равновелики. Найти отношение их
периметров.
12. Площадь ромба равна 32 см2, а площадь вписанного в него круга равна 4π см2. Найти углы
ромба.
13. В равнобедренную трапецию вписан круг. Меньшее основание трапеции равно 2 см. Угол
при большем основании равен 60°. Определить площадь круга.
14. Катеты треугольника равны 3 и 4. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы
проведен круг, касательный к гипотенузе. Найти площадь этого круга.
15. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота,
опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см.
ПРИЗМА
1. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, их общее
ребро равно 12 см и отстоит от двух других боковых ребер на 12 и 35 см. Найти площадь
боковой поверхности этой призмы.
2. Высота правильной треугольной призмы равна 4√2см, а боковая грань наклонена к
плоскости основания под углом в 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с основанием
параллелепипеда угол в 30°, а с одной из боковых граней угол в 45°. Найти объем параллелепипеда.
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет со смежными боковыми
гранями углы в 45° и 30°. Найти объем параллелепипеда.
5. В прямом параллелепипеде стороны основания равны √2 см и 3 см и образуют угол в 45°,
меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом в 60°. Найти его
объем.
6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, а боковая поверхность
равновелика сумме оснований. Найти объем призмы.
7. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона
основания равна а. Найти объем пирамиды.
8. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро
равно а и составляет с основанием угол в 45°. Найти боковую
поверхность пирамиды.
9. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Найти угол
наклона бокового ребра к плоскости основания.
10. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро составляет с основанием угол в 60°.
Найти угол между боковым ребром и ребром основания, выходящими из одной вершины.
11. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом в 30°. Найти плоский угол при вершине пирамиды.
12. В прямой треугольной призме стороны основания 4,5 см и 7 см, а боковое ребро равно
большей высоте основания. Найти объем призмы.
13. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами в 3 см и
5
см и углом между ними 60°, площадь большего диагонального сечения равна 63 см2. Найти
объем параллелепипеда.
14. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь
сечения, проведенного через них, равна S. Найти объем призмы.
15. Найти объем треугольной пирамиды, в основании которой треугольник со сторонами
√2
см и 6 см, и углом между ними в 135°. Высота пирамиды равна радиусу окружности,
вписанной в основание.
16. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона
основания — а. Найти объем пирамиды.
17. В правильной треугольной призме со стороной основания, равной а, проведена плоскость
через одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания
под углом α к основанию призмы. Найти объем призмы.
18. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 6 м, диагональ призмы
образует с основанием угол в 30°. Найти угол между плоскостью сечения, проведенного
через одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего, и
плоскостью нижнего основания.
19. Отрезок ВS длиной в 1 см образует прямые углы со сторонами АВ и ВС равностороннего
треугольника АВС. Из вершины В треугольника проведена его высота ВD. Найти площадь
полной поверхности куба, диагональ которого равна длине отрезка DS,
если АС = 2 см.
20. Через вершину А квадрата АВС D со стороной 4 м проведен отрезок АS, образующий со
стороной АD прямой угол. Найти объем куба, длина ребра которого равна расстоянию от
точки D до середины отрезка ВS , если АS = 4 м ,  АSВ = 60° .
21. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.
Найти площадь полной поверхности призмы, если длина ее высоты равна периметру
основания.
22. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом α и
периметром Р. Найти площадь боковой поверхности призмы, если высота призмы равна
длине гипотенузы ее основания.
23. B равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α , площадь треугольника равна S.
Найти площадь боковой поверхности прямой призмы, основанием которой является
данный треугольник, если высота призмы равна длине боковой стороны треугольника.
24. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 2 см и 4 см и с углом 60°
между ними. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна 6 см.
25. В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой
гранью равен α . Найти площадь боковой поверхности призмы, если длина стороны ее
основания равна а.
26. Основанием прямой призмы служит квадрат со стороной 6 см, диагональ боковой грани
призмы равна 10 см. Найти площадь полной поверхности призмы.
27. Основанием прямой призмы является треугольник АВС , причем АВС= α , АВ = а .
Длины медиан треугольника АВС , проведенных из вершин А и С, равны между собой.
Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна длине наибольшей
высоты треугольника АВС.
28. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь
которого равна 18 см2. Найти объем призмы, если высота призмы равна длине гипотенузы
ее основания.
29. Основанием призмы служит правильный треугольник, вписанный в круг радиуса R. Найти
объем призмы, если известно, что все ее боковые грани - квадраты.
30. Основанием прямой призмы является квадрат, площадь которого равна 25 см2. Найти
площадь боковой поверхности и объем призмы, если сумма длин всех ребер призмы 68 см.
31. Основанием прямой призмы является квадрат, высота призмы равна 3 см. Найти объем
призмы, если длина диагонали призмы на 1 см больше длины диагонали основания призмы.
32. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна 25 см2, площадь боковой
поверхности призмы равна 60 см2. Найти объем призмы.
33. Объем правильной четырехугольной призмы 144 см3, высота призмы 4 см. Найти площадь
боковой поверхности призмы.
34. В основании призмы лежит прямоугольник с длиной диагонали, равной а , и периметром,
равным 2р . Найти объем призмы, если высота призмы равна половине периметра ее
основания.
35. Основанием призмы является ромб, периметр которого равен 20 см, а длина одной из
диагоналей 6 см. Найти объем призмы, если ее высота равна 10 см.
36. Основанием призмы является ромб с острым углом α стороной а . Найти объем призмы,
если высота призмы равна длине большей диагонали ромба, лежащего в ее основании.
37. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α. Угол между меньшей
диагональю ромба и меньшей диагональю призмы равен β. Найти объем призмы, если
длина меньшей диагонали ромба равна d.
ПИРАМИДА
1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и
8 см. Найти объем пирамиды, если ее высота равна периметру основания.
2. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и b.
Найти объем пирамиды, если высота пирамиды равна длине биссектрисы прямого угла
треугольника, лежащего в ее основании.
3. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь
которого равна S. Найти объем пирамиды, если высота пирамиды равна периметру ее
основания.
4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найти объем
пирамиды, если ее высота равна радиусу окружности, описанной около основания.
5. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб со стороной 4 см и острым углом 60°.
Найти объем пирамиды, если ее высота вдвое больше высоты ромба, лежащего в ее
основании.
6. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 15 см и 10 см. Найти объем
пирамиды, если ее высота равна длине наибольшей высоты параллелограмма, а площадь
параллелограмма равна 120 см2.
7. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 10 см и острым углом
30°. Найти объем пирамиды, если ее высота равна периметру основания.
8. Длины оснований равнобедренной трапеции равны а и b , острый угол при основании
трапеции равен α . Найти объем пирамиды, основанием которой служит данная трапеция,
если высота пирамиды равна длине боковой стороны трапеции.
9. Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 3a , высота пирамиды
равна H. Найти объем пирамиды.
10. В правильной треугольной пирамиде периметр основания равен 2 р. Найти объем
пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен α.
11. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна l, высота пирамиды равна
Н. Найти площадь круга, описанного около основания пирамиды.
12. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 9√3 см2, сумма длин всех
ребер пирамиды равна 33 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
13. Объем правильной треугольной
пирамиды
равен 36√3 см3, площадь боковой
поверхности пирамиды равна 45√3 см . Найти длину высоты пирамиды.
14. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна S, угол между
высотой и апофемой пирамиды равен 𝜶 . Найти длину высоты пирамиды.
15. В правильной треугольной пирамиде угол между высотой и боковым ребром равен α .
Найти объем пирамиды, если площадь ее сечения плоскостью, проходящей через боковое
ребро и высоту, равна S.
16. В правильной треугольной пирамиде сторона основания а , боковое ребро равно 2 а . Через
середину бокового ребра проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найти площадь
сечения пирамиды указанной плоскостью.
17. Объем правильной треугольной пирамиды равен V. Найти объемы многогранников, на
которые данная пирамида делится плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей
две стороны основания пополам.
18. В правильной треугольной пирамиде SАВС (с вершиной S ) на боковом ребре SА взята
точка D такая, что SD : DA = 3:2. Найти площадь основания данной пирамиды, если
ВSС = α и площадь треугольника ВСD равна q.
19. Плоский угол при вершине D правильной треугольной пирамиды DАВС равен 2а . На
ребре АD пирамиды взята точка Е так, что АЕ : ЕВ = 2:1. Найти площадь треугольника
ВСЕ , если площадь боковой поверхности пирамиды равна S.
20. В треугольной пирамиде SАВС (с вершиной S) на ребре SА взята точка D так, что
SD : DА =1 : 2. На ребре АС взята точка Е так, что АЕ : ЕС = 3:4. Найти объем пирамиды
SАВС, если объем пирамиды DАBЕ равен V.
21. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом 30°, каждое
боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом 60°. Найти
площадь основания пирамиды, если ее объем равен 32 см3.
22. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом 60°, каждое
боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом 30°. Найти объем
пирамиды, если ее высота равна H.
23. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом β. Все боковые
ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания под углом α . Найти объем
пирамиды, если радиус окружности,, описанной около основания пирамиды, равен R.
24. Основанием пирамиды SАВС является тупоугольный треугольник АВС, у которого
АВ = 7 см, ВС = 9 см, а высота, проведенная из вершины В , равна √45 см. Найти
площадь полной поверхности пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к
основанию под углом 60°.
25. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 4 см, 3 см и 3 см. Найти
площадь боковой поверхности пирамиды, если каждое ее боковое ребро равно 4,5 см.
26. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна S, боковое ребро пирамиды
наклонено к ее основанию под углом α . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник. Высота пирамиды равна Н .
Каждое из боковых ребер пирамиды наклонено к ее основанию под углом α , а одна из
боковых граней наклонена к основанию под углом β (0° < β < 90°). Найти объем
пирамиды.
28. Объем правильной треугольной пирамиды равен V, боковая грань пирамиды наклонена к
ее основанию под углом α. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
29. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см и острым
углом 60°, каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости ее основания под углом
30°. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
30. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см,
каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости ее основания под углом 45°. Найти
площадь полной поверхности пирамиды.
31. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 16 см. Найти
длину наибольшего бокового ребра пирамиды, если каждая ее боковая грань наклонена к
основанию под углом α .
32. Объем треугольной пирамиды SАВС , основанием которой является правильный
треугольник АВС, равен 8√3 см3, боковое ребро SА пирамиды перпендикулярно ее
основанию. Найти высоту пирамиды, если ее боковая грань SВС образует с основанием
пирамиды угол 60°.
33. Основанием треугольной пирамиды является правильный треугольник, одно из боковых
ребер пирамиды перпендикулярно ее основанию. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды, если высота пирамиды равна 1 см, а площадь основания пирамиды равна √3см2.
34. Основанием треугольной пирамиды является правильный треугольник со стороной 4 см,
одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно ее основанию. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды, если длина высоты пирамиды втрое больше радиуса
окружности, описанной около ее основания.
35. Основанием треугольной пирамиды SАВС является правильный треугольник АВС , боковое
ребро SА пирамиды перпендикулярно ее основанию, боковая грань SВС образует с
основанием угол 30°. Найти объем пирамиды, если ее высота равна H .
36. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник. Две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а третья - наклонена к основанию под углом α.
Найти площадь основания пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна S.
37. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна H , периметр основания пирамиды
равен 8 а . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
38. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, боковое ребро
пирамиды равно 4√5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
39. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если
площадь ее основания равна 100 см2 и высота пирамиды равна длине диагонали ее
основания.
40. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4а2 , длина бокового
ребра пирамиды равна l. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
41. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Через
диагональ основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному
боковому ребру. Площадь полученного сечения равна S. Найти площадь основания
пирамиды.
42. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α . Через
ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол
β. В каком отношении эта плоскость делит площади каждой из двух боковых граней,
которые она рассекает на два треугольника?
43. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение, перпендикулярное ее высоте
и делящее высоту в отношении т : п (считая от вершины пирамиды). Площадь сечения
равна S. Найти объем данной пирамиды, если ее высота в два раза длиннее стороны
основания пирамиды.
44. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V. Найти объемы многогранников,
на которые данная пирамида делится плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей
две стороны основания пополам.
45. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами а и b . Каждое боковое
ребро пирамиды образует с ее основанием угол α. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
46. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция, причем высота трапеции равна
4 см, а основания трапеции равны 2 см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с
ее основанием угол α . Найти объем пирамиды.
47. Основанием пирамиды является ромб с острым углом α, объем пирамиды равен V.
Найти высоту пирамиды, если каждая боковая грань образует с основанием пирамиды
угол β.
48. Объем пирамиды SАВСD, основанием которой является параллелограмм АВСD, равен V.
На ребре АD взята точка Е так, что АЕ : ЕD = 3 : 2.
На ребре ВС взята точка F так, что
ВF : FС = 2 : 5. Найти объемы пирамид, на которые данная пирамида разбивается
плоскостью, проходящей через точки S, Е, F.
49. Основанием пирамиды является квадрат со стороной а , одно из боковых ребер пирамиды
перпендикулярно ее основанию. Найти высоту пирамиды, если площадь ее боковой
поверхности равна S.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ СФЕРЫ
1. Объем цилиндра равен 96πсм3, радиус основания цилиндра равен 4 см. Найти площадь
боковой поверхности цилиндра.
2. Площадь основания цилиндра равна 9πсм2, площадь боковой поверхности цилиндра равна
42 π см2. Найти объем цилиндра.
3. Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю, равной 4 см. Найти объем
цилиндра.
4. Радиус основания конуса равен 8 см, сумма длин высоты и образующей конуса равна 16 см.
Найти объем конуса.
5. В конус с радиусом основания К вписан цилиндр, объем которого равен V . Найти высоту
конуса, если высота цилиндра вдвое меньше радиуса основания конуса.
6. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Образующая
конуса составляет с плоскостью основания угол α. Найти площадь боковой поверхности
цилиндра, если площадь боковой поверхности конуса равна S .
7. Длины сторон параллелограмма равны а и b, острый угол параллелограмма равен 30°.
Найти площадь поверхности тела, образованного вращением параллелограмма вокруг
стороны длины а.
8. Стороны ВС и АD четырехугольника АВСD параллельны, причем ВС = а, АD = b ,
 ВАD = 90° , АDС = 120° . Найти объем тела, образованного вращением
четырехугольника АВСD вокруг стороны ВС .
9. Два прямоугольных треугольника имеют общий катет длины а . В каждом из треугольников
угол, противолежащий этому катету, равен 60° . Найти объем тела, образованного
совместным вращением данных треугольников вокруг их общего катета.
10. Ромб с площадью S и тупым углом α вращается вокруг оси, проведенной через вершину
острого угла перпендикулярно стороне. Найти объем фигуры вращения.
11. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны, высота
усеченного конуса равна h, образующая составляет с плоскостью основания угол α. Найти
площадь боковой поверхности усеченного конуса.
12. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая
параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Найти площадь поверхности
полученной фигуры вращения.
13. Треугольник со сторонами 8 и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси,
проходящей через вершину данного угла, перпендикулярно к меньшей из данных сторон.
Найти площадь поверхности полученной фигуры вращения.
14. Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к
гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла. Найти площадь
поверхности полученной фигуры вращения.
15. Через две образующие конуса проведена плоскость, отсекающая в основании дугу в 120°.
Найти объем конуса, если радиус основания конуса равен r, а плоскость сечения
составляет с плоскостью основания угол α.
16. В конусе образующая равна т и наклонена к основанию под углом α. Через вершину
конуса проведено сечение, составляющее угол α с высотой конуса. Найти площадь этого
сечения.
17. В конусе с высотой, равной Н, образующая наклонена к основанию под углом α. Через
вершину конуса проведено сечение с углом между образующими, равным 2α. Найти
площадь сечения.
18. В конус вписан шар, а в шар вписан куб. Отношение полной поверхности конуса к полной
поверхности куба равно 1,125 π. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
19. Около шара радиуса R описана прямая треугольная призма, в основании которой лежит
равнобедренный треугольник (с углом α при основании). Найти площадь полной
поверхности призмы.
20. Около шара описана прямая призма, основанием которой служит ромб с острым углом α.
Найти угол между большей диагональю призмы и плоскостью ее основания.
21. Радиус окружности, описанной около боковой грани правильной треугольной пирамиды,
равен R, плоский угол при вершине пирамиды равен α . Найти объем шара, вписанного в
пирамиду.
22. В правильную треугольную пирамиду SАВС (с основанием АВС) вписана сфера, диаметр
которой равен b . Центр указанной сферы делит высоту пирамиды в отношении 3 : 1
(считая от вершины S). Найти площадь поверхности сферы, описанной около пирамиды.
23. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Найти площадь полной
поверхности пирамиды, если радиус шара равен r, а угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен α .
24. В правильную четырехугольную пирамиду SАВСD (с основанием АВСD) вписана сфера,
радиус которой равен r. Центр указанной сферы делит высоту пирамиды в отношении 5 : 4
(считая от вершины S). Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.
25. Сторона основания АВСD правильной четырехугольной пирамиды SАВСD равна а. Найти
объем пирамиды, если центр шара, вписанного в пирамиду, делит высоту пирамиды в
отношении 9 : 7 (считая от вершины S).
26. Около правильной треугольной пирамиды, высота которой равна H , описан шар. Найти
объем шара, если все ребра пирамиды имеют одинаковые длины.
27. Объем правильной треугольной пирамиды равен V, боковое ребро пирамиды образует с
ее основанием угол 30°. Найти объем шара, описанного около пирамиды.
28.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SАВС (с вершиной S) равно l.
Найти площадь поверхности шара, описанного около пирамиды, если его центр делит
высоту пирамиды в отношении 7 : 5 (считая от вершины S).
29. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SАВС (с основанием АВС) равно l, центр
сферы, описанной около пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 5 : 3 (считая от
вершины S). Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду.
30. Найти площадь поверхности сферы, описанной около правильной четырехугольной
пирамиды, если длина каждого ребра пирамиды равна а .
31. Сумма диагоналей основания АВСD правильной четырехугольной пирамиды SАВСD равна
а , центр сферы, описанной около пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 9 : 7
(считая от вершины S). Найти объем шара, вписанного в пирамиду.
32. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, равен R, боковое
ребро пирамиды образует с ее основанием угол 60°. Найти объем пирамиды.
33. Площадь боковой поверхности конуса относится к площади его основания, как т : п,
высота конуса равна h. Найти объем конуса.
34. Хорда длиной 2т, лежащая в основании конуса, удалена от центра на расстояние d;
плоскость, проходящая через хорду и вершину конуса, составляет с плоскостью основания
угол φ. Найти объем конуса.
35. Прямоугольный треугольнике площадью S и острым углом α вращается вокруг оси,
проведенной через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найти объем фигуры
вращения.
36. Диагональ осевого сечения усеченного конуса, равная d, перпендикулярна к боковой
стороне сечения и составляет угол α с плоскостью основания усеченного конуса. Найти
площадь его боковой поверхности.
37. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам. Найти
отношение объемов частей шара.
38. Площадь сферической поверхности шарового сегмента в два раза больше площади его
основания. Найти объем шарового сегмента, если радиус шара равен r.
39. Дуга осевого сечения шарового сегмента равна 90°. Найти отношение объема сегмента к
объему соответствующего шарового сектора.
40. В основании пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. В пирамиду
вписан конус, образующая которого наклонена к основанию под углом α. Найти боковую
поверхность пирамиды.
41. В пирамиду, в основании которой ромб со стороной 2а и острым углом α, вписан конус,
образующая которого наклонена к основанию под углом β. Найти объем пирамиды.
42. В конус вписана прямая призма, у которой высота равна а√3. Образующая конуса
наклонена к основанию под углом α, а в основании призмы прямоугольный треугольник с
гипотенузой, равной 2а. Найти боковую поверхность конуса.
43. В конус вписана правильная четырехугольная призма с ребром основания, равным 2а, и
высотой, равной а√2. Образующая конуса наклонена к основанию под углом α. Найти
объем конуса
44. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом,
равным 2α. Найти объем конуса.
45. В усеченный конус вписан шар. Образующая конуса наклонена к основанию под углом,
равным 2 α. Найти объем усеченного конуса, если образующая равна l.
46. Правильная треугольная пирамида вписана в сферу радиуса r. Найти объем пирамиды, если
угол между ее высотой и боковым ребром равен α.
47. Найти объем шара, вписанного в правильную пирамиду, в которой высота равна h, а
двугранный угол при стороне основания равен 60°.
48. Вокруг шара радиуса r описана правильная треугольная призма. Найти объем призмы.
49. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 4 см, высота 7 см. Найти объем описанного
около него шара.
50. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а двугранный угол при
стороне основания α. Найти объем вписанного в него шара.
51. Угол между плоскостями основания и боковой грани правильной треугольной пирамиды
равен α, объем шара, вписанного в пирамиду, равен V. Найти объем пирамиды.
52. В цилиндр вписана прямая призма, основанием которой служит равнобедренный
треугольник с тупым углом, равным 2 α. Боковая сторона основания призмы равна а, а
диагональ большей боковой грани равна l. Найти объем цилиндра.
53. В сферу вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к основанию под
углом α. Найти объем цилиндра, если радиус сферы равен r.
54. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, у которого одна из сторон основания
равна а. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°, а с боковой
гранью, проходящей через данную сторону основания, угол 45°. Найти объем цилиндра.
55. Около шара описан конус, у которого высота вдвое больше диаметра шара. Найти
отношение объема конуса к объему шара.
56. В шар вписан равносторонний цилиндр. Найти отношение площади сферы к площади
полной поверхности цилиндра.
57. В конус вписан шар, диаметр которого вдвое меньше высоты конуса. Найти отношение
полной поверхности конуса к поверхности шара.
58. Около равностороннего цилиндра описан шар. Найти отношение объема шара к объему
цилиндра.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 см, один из катетов треугольника равен
8 см. Найти площадь треугольника.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2, один из катетов треугольника равен
15 см. Найти гипотенузу треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности
на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти длины катетов треугольника и площадь вписанного
круга.
4. Из вершины С прямоугольного треугольника АВС проведена биссектриса, пересекающая
гипотенузу АВ в точке H. Найти длину катета ВС, если точка H удалена от этого катета на
расстояние а, а площадь треугольника АВС равна S.
5. Окружность, вписанная в треугольник АВС, делит медиану ВМ на три равные части. Найти
радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВМ = 6√2 см.
6. Периметр треугольника АВС равен 14 см. Найти радиус окружности, вписанной в ∆ АВС,
если известно, что эта окружность делит медиану ВМ на три равные части.
7. Медиана АD и биссектриса СЕ треугольника АВС взаимно перпендикулярны, причем
АD = 6 см, СЕ = 8 см. Найти длину высоты треугольника АВС, проведенной из вершины С.
8. В треугольнике АВС проведены медиана АD и биссектриса СЕ, причем АD ⊥ СЕ,
АО = СЕ = 4 см. Найти длину наибольшей медианы треугольника АВС.
9. Найти площадь круга, описанного около прямоугольника, если длины сторон
прямоугольника равны а и b.
10. Длина каждой из сторон ромба равна 10 см, длина одной из диагоналей ромба равна
10√3 см. Найти углы ромба.
11. Периметр ромба равен 48 см, высота ромба равна 6 см. Найти углы ромба.
12. В ромб с острым углом α вписана окружность. Найти отношение площади ромба к площади
четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами
ромба.
13. В параллелограмме АВСD угол между меньшей диагональю ВD и большей стороной ВС
равен углу, образованному стороной АВ и перпендикуляром, опущенным из вершины В на
диагональ АС. Найти площадь этого параллелограмма, если острый угол между его
диагоналями равен 2α, а сторона АВ имеет длину, равную a.
14. Диагонали АС = 18 см и ВD = 12 см параллелограмма АВСD пересекаются в точке О,
радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен √21 см. Найти площадь
параллелограмма.
15. Диагонали АС = 8√3 см и ВD = 10 см параллелограмма АВСD пересекаются в точке О,
радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен √13 см. Найти площадь
параллелограмма.
16. В параллелограмме АВСD с острым углом А заданы длины сторон:
АВ = 4√2 см,
ВС = 6 см. Найти длины диагоналей параллелограмма, если радиус окружности, описанной
около треугольника АВD, равен √10 см.
17. В параллелограмме АВСD с острым углом А заданы длины сторон:
АВ = 4 см,
BС = 3√3см. Найти длины диагоналей параллелограмма, если радиус окружности,
описанной около треугольника АВD, равен √7 см.
18. В трапеции АВСD меньшее основание ВС равно 5 см. Через точку пересечения диагоналей
проведена прямая, параллельная основаниям. Длина отрезка этой прямой, отсекаемого
боковыми сторонами трапеции, равна 8 см. Найти площадь трапеции, если площадь
треугольника АСD равна 100 см.
19. В трапеции АВСD большее основание АD равно 12 см. Через точку пересечения
диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Длина отрезка этой прямой,
отсекаемого боковыми сторонами трапеции, равна 6 см. Найти площадь трапеции, если
площадь треугольника АВС равна 10 см2.
20. В трапеции, большее основание которой равно 15 см, через точку пересечения диагоналей
проведена прямая, параллельная основаниям. Длина отрезка этой прямой, отсекаемого
боковыми сторонами трапеции, равна 12 см. Найти высоту трапеции, если ее площадь
равна 50 см2.
21. Площадь трапеции АВС D равна 75 см2, высота трапеции равна 12 см. Через точку
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Длина отрезка этой
прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции, равна 4 см. Найти длины оснований
трапеции.
22. В основании пирамиды SАВСD лежит прямоугольник АВСD со сторонами а и b. Ребро SС
перпендикулярно к плоскости основания, а ребро SА образует с ней угол α. Найти объем
пирамиды.
23. В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны к плоскости основания, а каждая из двух других боковых граней образует
с плоскостью основания угол α. В эту пирамиду вписан куб так, что нижнее основание куба
лежит на основании пирамиды, а стороны верхнего основания куба лежат на боковых
гранях пирамиды. Найти объем куба, если объем пирамиды равен V.
24. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а, площадь боковой
поверхности пирамиды в п раз больше площади ее основания. Найти объем пирамиды и
радиус шара, вписанного в пирамиду.
25. Площадь основания цилиндра равна 9 π см2, площадь боковой поверхности цилиндра равна
42 π см2. Найти площадь полной поверхности и объем цилиндра.
26. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Найти объем конуса, если объем средней отсеченной части равен
V.
27. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен 2 α, объем
конуса, описанного около пирамиды, равен V. Найти высоту пирамиды.
28. Радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, равен r, угол между
боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен α. Найти высоту пирамиды.
29. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен а, радиус шара,
касающегося основания и боковых ребер пирамиды, равен К. Найти объем пирамиды.
30. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен α,
расстояние от центра шара, вписанного в эту пирамиду, до бокового ребра пирамиды равно
b. Найти площадь основания пирамиды.
31. В основании пирамиды SАВСd лежит прямоугольник АВСD, причем АВ = а, АО= b.
Боковые грани SАВ и SАD перпендикулярны плоскости основания, а грань SОD
составляет с ней угол в 45°. Найти площадь поверхности сферы, описанной около
пирамиды.
32. В конус вписан шар, радиус которого равен R. Плоскость, содержащая окружность касания
шаровой и конической поверхностей, делит объем шара в отношении 5 : 27. Найти объем
конуса.
33. Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, равна 36π см2. Найти
периметр треугольника, если один из его катетов втрое меньше гипотенузы.
34. Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равна 10 π см. Найти
площадь треугольника, если один из его катетов вдвое больше другого.
35. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 4 см, но
меньше длины гипотенузы на 4 см. Найти периметр треугольника.
36. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет, противолежащий
этому углу, равен 5 см. Найти периметр треугольника и площадь описанного около него
круга.
37. Площадь прямоугольного треугольника равна 4,5√3 см2, один из углов треугольника равен
60°. Найти периметр данного треугольника.
38. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание треугольника равно
16 см. Найти площадь треугольника.
39. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, длина его боковой стороны равна
13 см. Найти площадь треугольника.
40. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, втрое больше длины
основания. Средняя линия треугольника, параллельная ее основанию, равна 5 см. Найти
площадь треугольника.
41. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная ее основанию, равна 6 см, а
средняя линия, параллельная боковой стороне, равна 5 см. Найти площадь треугольника.
42. Произведение длин боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равно
100 см2, площадь треугольника равна 25 см2. Найти углы треугольника.
43. Произведение длин боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равно
36√3 см2, площадь треугольника равна 18 см2. Найти периметр треугольника.
44. Произведение длин боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равно
36√3 см2, угол при вершине треугольника равен 120°. Найти площадь и периметр
треугольника.
45. Произведение длин катета и гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника
равно 64√2 см2. Найти периметр и площадь треугольника.
46. На основании АС равнобедренного треугольника АВС и на его боковой стороне АВ взяты
точки М и N так, что АМ = МС, АN : NВ = 2:5. Найти периметр данного треугольника, если
 АВС = 120° и площадь треугольника АМN равна 7√3см2.
47. Сумма длин диагоналей ромба равна 28 см, а их разность равна 4 см. Найти периметр
ромба.
48. Площадь ромба равна 24 см2, а сумма длин его диагоналей равна 14 см. Найти длину
стороны ромба.
49. В ромб вписан круг. Каждая сторона ромба точкой касания делится на отрезки, длины
которых равны 3 см и 4 см. Найти периметр ромба и площадь указанного круга.
50. В ромбе АВСD на стороне АВ взята точка М так, что АМ : МВ = 1:2. Найти площадь круга,
вписанного в ромб, если острый угол ромба равен 60° и площадь треугольника АМ D равна
48√3 см2.
51. Периметр параллелограмма равен 16 см. Найти длины сторон параллелограмма, если
известно, что они относятся как 3:1.
52. В параллелограмме АВСDугол ВС D равен 60°, длина стороны СD равна 6 см. Биссектриса
угла ВСD пересекает сторону АD в точке Е. Найти площадь треугольника СDЕ и его
периметр.
53. В параллелограмме АВСD на сторонах АВ и АD взяты точки М и N так, что АМ : МВ = 2 : 1,
АN : ND = 3 : 2. Найти площадь данного параллелограмма, если площадь пятиугольника
ВМNDС равна q.
54. Длины оснований трапеции равны 5 см и 9 см, высота трапеции вдвое меньше ее средней
линии. Найти площадь трапеции.
55. Длины оснований трапеции равны 3 см и 9 см. Найти высоту трапеции, если ее площадь
равна 66 см2.
56. Длина средней линии трапеции втрое больше длины ее высоты, площадь трапеции равна
75 см2. Найти длину высоты трапеции.
57. Высота трапеции равна 7 см, длина одного из оснований трапеции равна 5 см. Найти длину
другого основания, если площадь трапеции равна 49 см2.
58. Периметр трапеции, описанной около окружности с радиусом 5 см, равен 48 см. Найти
площадь трапеции.
59. Площадь трапеции, описанной около окружности с радиусом 4 см, равна 90 см2. Найти
периметр трапеции.
60. Средняя линия равнобедренной трапеции равна т, диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны. Найти радиус круга, площадь которого равна площади данной трапеции.
61. Длина одного из оснований равнобедренной трапеции равна 15 см, площадь трапеции равна
625 см2. Найти длину другого основания трапеции, если ее диагонали взаимно
перпендикулярны.