Теорема Пифагора

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия № 8
Конспект
урока
по геометрии по теме
«ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
( технология дифференцированного обучения, технология
проблемного обучения)
8 класс
Учитель математики:
Егорова Антонина Олеговна
2012-2013 учебный год
Тема урока: «Теорема Пифагора»
Дата проведения:
Цели урока:
Образовательные:
1. обобщение и закрепление знаний и умений по темам: «Прямоугольный
треугольник. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике»;
2. установить связь теории и практики через специальный подбор задач;
3. изучить теорему Пифагора и уметь применять её в решении задач.
Развивающие:
1. развитие и совершенствование навыков самостоятельной поисковой
деятельности;
2. способствовать развитию математического кругозора, мышления и
речи, внимания и памяти.
Воспитательные
1. содействовать воспитанию интереса к математике, активности,
мобильности, умения общаться.
Тип урока: комбинированный.
Методы обучения: проблемно-поисковый, словесный, практический.
Содержание деятельности: тестовая проверка уровня знаний, решение
задач, взаимопроверка, моделирование ситуации, в которой у учащихся
возникает потребность в расширении запаса знаний (необходимо
установить метрическую связь между сторонами в прямоугольном
треугольнике). С этой целью изучается теорема Пифагора.
Форма организации урока: индивидуальная, групповая, фронтальная.
Оборудование урока: откидная доска, портрет Пифагора, дидактический
материал (тесты, тексты задач) на каждого ученика.
План урока.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Повторение пройденного материала:
а) выполнение теста и анализ его;
б) решение задач.
IV. Подготовка к активному усвоению нового материала. Постановка
целей урока.
V. Усвоение нового материала.
V. Закрепление нового материала – решение задач.
VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок за урок.
VII. Информирование о домашней работе, инструктаж.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности
учащихся к уроку. Организация внимания.
II. Проверка домашнего задания.
 консультанты по каждому ряду докладывают о наличии у каждого
учащегося домашнего задания;
 выяснение причин невыполнения;
 на откидных досках даётся решение задач. Учащиеся проверяют
правильность выполнения, при необходимости задают вопросы.
III. Повторение:
Учитель: На прошлом уроке мы научились находить косинус угла в
прямоугольном треугольнике. Сейчас проверим ваши знания.
а) на каждую парту выдаётся лист с тестом:
1) Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов:
а) 45°
б) 180°
в) 60°
г) 90°
2) Найдите прямоугольный треугольник :
а)
б)
в)
г)
3) Назовите прилежащий катет угла М в треугольнике КМР
М
К
Р
а) КР
б) КМ
в) РМ
г) нет.
4) По предыдущему чертежу найдите гипотенузу
а) КР
б) КМ
в) РМ
г) другой ответ
5) Косинус угла это:
а) сумма катетов;
б) произведение прилежащего катета на гипотенузу;
в) отношение прилежащего катета к гипотенузе;
г) разность прилежащего катета и гипотенузы.
Ответы: 1г; 2г; 3б; 4в; 5в.
Проводится тестирование, взаимопроверка, анализ результатов тестирования.
В результате работы над тестом повторили умения:
 находить по чертежу прямоугольный треугольник, прилежащие и
противолежащие катеты, гипотенузу;
 вычислять косинус острого угла.
б) Решение задач.
Каждый учащийся получает дидактический материал с условием и чертежом
задачи.
Решение задач выполняется сильными учениками самостоятельно.
По выполнении проверяются решения учителем.
Основная часть учеников вместе рассматривают решение задач и записывают
в тетрадь.
Задача 1.
1 способ: из треугольника АСД (угол Д = 90°)
cos А = АД/АС = 2/4 = 1/2
2 способ: из треугольника АВС (угол С = 90°)
cos А = АС/АВ = 4/8 = 1/2
Задача 2. Треугольник АВС – равнобедренный.
Проводится дополнительные построение: ВД АС.
ВД является высотой, медианой.
АД = 8/2 = 4 см
cos А = АД/АВ = 4/5
Задача 3.
1 способ: треугольник АРД – прямоугольный. Т. к. РК – средняя линяя,
то
АР = АВ : 2 = 26 : 2 = 13см
АС = 2 × РК=2 × 5=10 см; АД = РК = 5 см.
cos А = АД/АР = 5/13
2 способ: треугольник АВС – прямоугольный, т. к. угол С = 90.
cos А = АС/АВ = 10/26 = 5/13
Задача 4.
Применяем свойство внутренних накрест лежащих углов при
параллельных ВС и АД и секущей АВ.
Угол А = углу В
cos А = cos В = ВС/ВО = 3/5
Задача 5 –кульминационная.
Проводим ВК (ВК АД; К € АД)
АК = АД - КД = 8- 5 =3 см
Нам неизвестно АВ.
Учащиеся не могут довести решение до конца, т. к. теоретический запас их
мал. Возникает потребность установить связь между сторонами в
прямоугольном треугольнике.
IV. Усвоение нового материала:
Учитель: Для того чтобы найти АВ, надо установить каким равенством
связаны длины сторон в прямоугольном треугольнике. Это поможет нам
сделать теорема Пифагора. Наша задача сегодня познакомиться с
теоремой Пифагора и уметь применять её в решении задач.
Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до н. э. Его
портрет вы видите на стенде.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
(доказательство теоремы объясняется по рисунку и записям, сделанным
заранее на откидной доске)
Дано:
∆ АВС – прямоугольный,
С = 90°
Доказать: АВ2 = АС2 + СВ2
Доказательство:
С
А
Д
В
1) Доп. построение
СД
АВ; Д € АВ.
2) По определению косинуса
из треугольника АСД,
Д = 90°, cos А = АД/АС
из треугольника АВС,
С = 90°, cos А = АС/АВ
cos А = АД/АС = АС/АВ 
АС2 = АД × АВ
3) Из треугольника СДВ,
из треугольника АВС,
cos В = ДВ/СВ = СВ/АВ
(1)
Д = 90°, cos В = ДВ/СВ
С = 90°, cos В = СВ/АВ

СВ2 = ДВ× АВ (2)
4) Сложим (1) и (2):
СВ2 + АС2 = АД × АВ +АВ × ДВ;
CВ2 + АС2 = АВ × ( АД+ ДВ);
CВ2 + АС2 = АВ × АВ
СВ2 + АС2 = АВ2
Что и требовалось доказать.
V. Закрепление нового материала:
1) Закончим решение задачи 5. Нам неизвестна гипотенуза АВ, но
известны оба катета АВ2 = АК2 + ВК2 = 32 + 42 =9 + 16 =25, т.
к.
ВК = СД = 4 см; АК = 3 см
АВ= 5см
Ответ: 5см.
2) Вернемся к задаче 4. Найдите СО.
СО2 + CВ2 = ВО2
СО2 = ВО2 - CВ2 = 100 – 36 = 64
СО = 8 см
Ответ: 8см
3) Найти периметр ДРКС
Р = ( РД + РК ) × 2
В треугольнике АРД: АР = 13 см ; АД = 5 см.
АД2 + РД2 = АР2 ;
РД2 = АР2 – АД2 = 169 - 25 = 144
РД =12 см
Р = (12+ 5) × 2 =34см
Ответ: 34см.
VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок за урок.
Вопросы учащимся:
1. Если в прямоугольном треугольнике известен один из катетов и
гипотенуза, как найти другой катет?
2. Посмотрите на стенд: с2 = а2 + в2, а2 = с2 – в2,
в2 = с2 – а2
Может ли гипотенуза быть меньше, чем любой катет?
3. Вспомните определение косинуса. Сравните с 1.
Выставление оценок за урок.
VII. Информирование о домашней работе, инструктаж.
пункт 63, стр. 114, № 6,7.
Тест по теме «Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике»
1) Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов:
а) 45°
б) 180°
в) 60°
г) 90°
2) Найдите прямоугольный треугольник :
а)
б)
в)
г)
3) Назовите прилежащий катет угла М в треугольнике КМР
М
К
Р
а) КР
б) КМ
в) РМ
4) По предыдущему чертежу найдите гипотенузу
а) КР
б) КМ
в) РМ
г) другой ответ
5) Косинус угла это:
а) сумма катетов;
б) произведение прилежащего катета на гипотенузу;
в) отношение прилежащего катета к гипотенузе;
г) разность прилежащего катета и гипотенузы.
Задачи.
1. Дано: Треугольник ABC, угол С в
нем равен 90º. CD перпендикулярно
AB, AC = 4 см, AD = 2 см, DB = 6
см. Найти Cos угла A.
2. Дано: Треугольник ABC, AB = BC =
5 см, AC = 8 см. Найти Cos угла A
3. Дано: Треугольник ABC, угол С =
90º, PK – средняя линия, PDCK –
прямоугольник, AB = 26 см, PK = 5
см. Найти Cos угла A.
г) нет.
4. Дано: Отрезки AB и CD
пересекаются в точке O, BC
перпендикулярно CD, AD
перпендикулярно CD, BO = 10 см,
BC = 6 см, AO = 5 см. Найти Cos
угла A.
5. Дано: ABCD – трапеция. BC
параллельно AD, CD
перпендикулярно AD, CD = 4 см,
BC = 5 см, AD = 8 см. Найти Cos
угла A.