Закон сохранения механической энергии.

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия механической системы – энергия механического
движения этой системы.
Связь работы и кинетической энергии - приращение кинетической энергии
материальной
точки
(тела)
на
элементарном
перемещении
равно
элементарной работе на том же перемещении.
dT  dA
(10)

Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает
работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной

работы. Работа dA силы F на пути, который тело прошло за время

возрастания скорости от 0 до  , идет на увеличение кинетической энергии
dT тела. Можно записать:

 
 m 2 
 
d 
  dT .
F dr  m
dr  m d  m d  d 
dt
2


(11)
Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью  определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу
данную скорость.
T
m 2
2
(12)
Характерные свойства кинетической энергии:
 всегда положительна;
 неодинакова в разных инерциальных системах отсчета;
 является функцией состояния системы.
Работа сил при перемещении из точки 1 в точку 2


2
  2
m 22 m12
A12   F dr   m d  m   d 

 T2  T1
2
2
1
1
1
2
(13)
Теорема о кинетической энергии – приращение кинетической энергии
материальной точки на некотором перемещении равно алгебраической сумме
работ всех сил, действующих на материальную точку на том же
перемещении.
T2  T1  A12
(14)
Консервативная и диссипативная силы
Потенциальное поле – поле, в котором работа, совершаемая силами при
перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по
какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от
начального и конечного положений.
Консервативные силы – силы, работа которых при перемещении тела из
одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это
перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного
положений тела. Пример консервативной силы – сила тяжести.
Диссипативная сила – сила, работа которой зависит от траектории
перемещения тела из одной точки в другую. Пример – силы трения и
сопротивления.
Работа консервативных сил по замкнутому пути
A0
(15)
Рисунок 4. Тело перемещается по замкнутому пути 1a2b1 .
A  A1b 2  A2a1  0 (работы A1b 2 и A2a1 не зависят от траектории перемещения;
они равны и отличаются только знаками).
Потенциальная энергия и консервативные силы
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая
их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Связь работы консервативных сил и потенциальной энергии. Работа
консервативных сил не зависит от траектории и по любому замкнутому пути
равна нулю. Изменение потенциальной энергии, равное по величине работе,
тоже не будет зависеть от траектории и по любому замкнутому пути будет
равным нулю. Следовательно, запас потенциальной энергии, как возможной
работы консервативных сил, определяется только начальной и конечной
конфигурациями системы.
Работа
консервативных
сил
при
элементарном
(бесконечно
малом)
изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной
энергии, взятому со знаком «минус», так как работа совершается за счет
убыли потенциальной энергии.
dA  dП
(16)
Характерные особенности потенциальной энергии
 
П    F dr  C
(17)
 
dA  F dr  dП ;
Потенциальная
 
П    F dr  C
энергия
(С
постоянная
-
определяется
с
точностью
интегрирования).
до
некоторой
произвольной постоянной. Это, однако, не от отражается на физических
законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух
положениях
тела,
или
производная
П
по
координатам.
Поэтому
потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают
равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других
положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.
Связь между консервативной силой и потенциальной энергией

F   grad  П
(18)
Для консервативных сил Fx  

F   grad  П
( grad П 
П
П
П
, Fy   , Fz   , или в векторном виде
x
z
y
.
  
П  П  П 
i
j
k - градиент скаляра П ( i , j , k - единичные векторы
x
y
z
координатных осей))
Примеры вычисления потенциальной энергии. Полная энергия
Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля.
Потенциальная энергия тела массой m на высоте h
П  mgh
(19)
Это выражение вытекает из того, что потенциальная энергия равна работе
силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли. Высота h
отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0  0 , g - ускорение
свободного падения.
Поскольку начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная
энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда
положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела,
лежащего
на
поверхности
Земли,
то
потенциальная
энергия
тела,
находящегося на дне шахты глубиной h , П  m g h .
Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины)
k x2
П
2
(20)
Это выражение получается из того, что работа силы при деформации
пружины идет на увеличение потенциальной энергии пружины.
Элементарная работа dA , совершаемая силой Fx при бесконечно малой
деформации dx , dA  Fx dx  k x dx ( Fx   Fx упр   k x   k x ). Полная работа
x
A   k x dx 
0
k x2
.
2
( k - коэффициент упругости (для пружины – жесткость); Fx упр  k x проекция силы упругости на ось
x;
противоположную
По
деформации
x.
Fx упр
направлена в сторону,
третьему
закону
Ньютона
деформирующая сила равна по модулю силе упругости и направлена
противоположно ей)
Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и
взаимодействия, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
E T  П
(21)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Закон сохранения механической энергии
Исходные данные. Рассматривается система материальных точек массами
 

m1 , m2 ,, mn , движущихся со скоростями 1 , 2 ,, n .
Второй закон Ньютона для каждой из материальных точек

d1   
m1
 F1  F1  f1 ,
dt

d 2   
m2
 F2  F2  f 2 ,
dt


 
d n 
mn
 Fn  Fn  f n
dt
(22)
 

( F1, F2,, Fn
-
равнодействующие
внутренних
 
консервативных
сил,

действующих на каждую из этих точек; F1 , F2 ,, Fn - равнодействующие
внешних
сил,
которые
считаются
консервативными;
 

f1 , f 2 ,, f n
-
равнодействующие внешних неконсервативных сил, действующие на каждую
из материальных точек)
Учет перемещений точек под действием сил
 


 

m1 1 d1   F1  F1 dr1  f1 dr1 ,
 


 

m 2  2 d 2   F2  F2 dr2  f 2 dr2 ,
.....................................................
 


 

m n  n d n   Fn  Fn drn  f n drn






(23)
Точки движутся под действием сил, поэтому за время dt совершают



перемещения dr1 , dr2 ,, drn . Каждое уравнение второго закона Ньютона


умножено скалярно на соответствующее перемещение, и учтено, сто dri  i dt
.
После сложения уравнений


n
n 
  
 




m

d


F

F
d
r

 i i i  i i i  f i dri
n
i 1
i 1
i 1
(24)
Правая часть равенства определяет работу внешних неконсервативных сил,
действующих на систему.
Элементарное приращение кинетической энергии
n
 mi  i2 
 

 dT


m

d


d


i
i
i
2 
i 1
i 1 
n
(25)
Первый член равенства (24) равен элементарному приращению кинетической
энергии dT системы.
Элементарное приращение потенциальной энергии системы
 F  F  dr  dП
n
i 1



i
i
i
(26)
Второй член равенства (24) равен элементарной работе внутренних и
внешних консервативных сил, взятой со знаком «минус», т.е. равен
элементарному приращению потенциальной энергии dП системы.
Изменение полной механической энергии системы – равно работе внешних
неконсервативных сил, действующих на систему.
d T  П   dA
(27)
Правая часть равенства (24) задает dA .
В случае отсутствия внешних неконсервативных сил
d T  П   0
(28)
Из записанного равенства следует, что T  П  E  const .
Закон сохранения механической энергии. В системе тел, между которыми
действуют только консервативные силы, полная механическая энергия
сохраняется, т.е. не изменяется со временем.
T  П  E  const
(29)
Закон сохранения энергии – следствие однородности времени. Однородность
времени
проявляется
в
том,
что
физические
законы
инвариантны
относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном
падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят
лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела
и не зависят от того, когда тело начало падать.
Консервативные системы и закон сохранения энергии
Консервативные системы – механические системы, на тела которых
действуют только консервативные силы (внутренние и внешние).
Еще одна формулировка закона сохранения энергии. В консервативных
системах полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется с
течением времени.
Превращение энергии на примере свободного падения тела (сопротивление
не учитывается)
В консервативных системах полная механическая энергия сохраняется, т.е.
E  const . Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в
потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная
энергия остается неизменной (что и продемонстрировано на рисунке 5).
Рисунок 5. Превращение энергии на примере свободного
падения тела.
Закон сохранения и превращения энергии
Диссипативная система – система, в которой механическая энергия
постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические)
формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния)
энергии.
Об энергии в случае неконсервативных систем. Все системы в природе,
строго говоря, являются диссипативными. В системе, в которой действуют
также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая
энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон
сохранения
механической
энергии
несправедлив.
Однако
при
«исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное
количество энергии другого вида.
Закон сохранения и превращения энергии – энергия никогда не исчезает и не
появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и
превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Этот закон – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем
макроскопических тел, так и для систем микротел.
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Потенциальные кривые и их анализ на некоторых примерах
Исходные
данные.
(потенциальная
Рассматривается
энергия
–
одномерное
функция
лишь
движение
одной
тела
переменной).
Рассматриваются только консервативные системы (в них механическая
энергия превращается только в механическую).
Потенциальная кривая – график зависимости потенциальной энергии от
некоторого аргумента.
Анализ потенциальной кривой для тела в однородном поле тяжести
Потенциальная кривая П h  П  m g h - прямая линия, проходящая через
начало координат, угол наклона которой к оси h тем больше, чем больше
масса m тела ( tg  m g ). График заданной полной энергии тела E - прямая
EE , параллельная оси h .
 Потенциальная энергия П тела на высоте h определяется отрезком
вертикали, заключенным между точкой h на оси абсцисс и потенциальной
кривой.
 Кинетическая энергия T тела на высоте h задается ординатой между
потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE .
Рисунок 6. Потенциальная кривая для тела в однородном
поле тяжести.
 Если h  hmax , то T  0 и
П  E  m g hmax , т.е.потенциальная энергия
становится максимальной и равной полной энергии.
 Скорость тела на высоте h :
 T  E  П , т.е.
m 2
 m g hmax  m g h , следовательно   2 g hmax  h  .
2
Анализ потенциальной кривой для упругодеформированного тела
Зависимость потенциальной энергии упругой деформации
П
k x2
2
от
деформации x - потенциальная кривая – имеет вид параболы. График
заданной полной энергии тела E - прямая EE , параллельная оси x .
 Потенциальная энергия П при деформации x определяется отрезком
вертикали, заключенным между точкой x на оси абсцисс и потенциальной
кривой.
Рисунок 7. Потенциальная кривая для
упругодеформированного тела.
 Кинетическая энергия T при деформации x задается ординатой между
потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE .
 С возрастанием деформации x потенциальная энергия тела возрастает, а
кинетическая – уменьшается.
 Абсцисса
xmax
определяет
максимально
возможную
деформацию
растяжения тела, а  xmax - максимально возможную деформацию сжатия тела.
 Если
x   xmax , то
T 0
и
ПE
2
k xmax
, т.е.потенциальная
2
энергия
становится максимальной и равной полной энергии.
 При полной энергии тела, равной E , тело не может сместиться правее xmax
и левее  xmax , так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и,
следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной
энергии. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с
координатами  xmax  x  xmax .
Анализ потенциальной кривой (общий случай)
Исходные
данные.
Рассматривается
одномерное
движение
тела
(потенциальная энергия – функция лишь одной переменной (например,
координаты x )). Рассматриваются только консервативные системы (в них
механическая энергия превращается только в механическую).
Анализ потенциальной кривой произвольной формы
В общем случае потенциальная кривая может иметь достаточно сложный
вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами
(см. рисунок 8).
Рисунок 8. Потенциальная кривая произвольной формы.
График заданной полной энергии частицы - прямая EE , параллельная оси x .
 Частица может находиться только там, где П x  E , т.е. в областях I и III.
 Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей
препятствует потенциальный барьер CDG , ширина которого равна интервалу
значений x , при которых E  П , а его высота определяется разностью Пmax  E
. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей
необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или
превышающую ее.
 В области I частица с полной энергией E оказывается «запертой» в
потенциальной яме
ABC
и совершает колебания между точками с
координатами x A и xC .
При смещении частицы из положения x0 (и влево, и вправо) она испытывает
действие возвращающей силы, поэтому положение x0 является положением
устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x0
(для П max ). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого
равновесия, так как при смещении частицы из положения x0 появляется сила,
стремящаяся удалить ее из этого положения.