НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» ОТЧЕТ о выполнении лабораторной работы №2 "исследование спектров периодических сигналов" по курсу «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ» выполнили студенты группы А7-02 Иевлев С.К., Логинов А.В. Принял преподаватель Москва, 2011г. Цель работы: овладение инженерными методами спектрального анализа динамических процессов. Периодические сигналы c периодом Tп можно разложить в ряд Фурье: b0 2 a n sin nt bn cos nt где Tï 2 n 1 1 2 1 2 1 b0 y ( )d , a n y ( ) sin n d , bn y (t ) 0 0 2 0 y ( ) cosn d 1. Формирование периодических сигналов Частота узкополосного фильтра 0 100.5 рад/с, откуда период входных сигналов равен Tï 2 62.5 мс. 100.5 Для повышения добротности фильтра нужно уменьшать параметры коэффициенты a и b фильтра, а настройка на частоты, кратные 0 достигается пропорциональным увеличением коэффициентов K1, K2, a и b. 2. Выделение гармоники при низкой добротности фильтра На примере меандра. Теоретическое значение зависимости коэффициента разложения в ряд Фурье от номера гармоники соответствующей синусоидальной составляющей: a n 4 n для нечетных n и амплитуды входного сигнала A0 1 . Таким образом, теоретические значения коэффициентов для третьей и пятой гармоник a3 0.425 , a5 0.255 . Практические значения можно попробовать определить по осциллограмме выходного сигнала: Рисунок 1. Выделение третьей гармоники меандра при Q=10. 1 Рисунок 2. Выделение пятой гармоники меандра при Q=10. Легко можно увидеть, что выходной сигнал не является чистым синусом, т.е. к гармонике выделенной частоты добавились гармоники смежных частот, ослабление которых фильтром недостаточно. Для гармоники n=3 амплитуда выходного сигнала колеблется от значения 4.9 до 3.6, отклонение от расчетного значения составляет 15%. Гармонике n=5 соответствует отклонение 29%, то есть фильтр с такой добротностью не может быть использован для выделения высоких частот, амплитуды которых убывают медленно. 2 3. Исследование спектра меандра Теоретический расчет: An 4 для нечетных номеров гармоник. n Таблица1. Амплитуды гармонических составляющих сигнала: n гармоники Aтеор Аэксп, Q=100 1 1.27 1.26 2 0 0.01 3 0.42 0.42 4 0 0.01 5 0.25 0.24 6 0 0.01 7 0.18 0.17 Рисунок 3. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с Q=100 и Q=10. 3 4. Исследование спектра пилообразного сигнала Теоретический расчет: An 2 для всех номеров гармоник кроме 0. n Таблица 3. Амплитуды гармонических составляющих сигнала: n гармоники Aтеор Аэксп, Q=100 1 0.64 0.67 2 0.31 0.32 3 0.21 0.21 4 0.16 0.15 5 0.13 0.13 6 0.11 0.10 7 0.09 0.08 Рисунок 4. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с Q=100 и Q=10. 4 5. Исследование спектра сигнала треугольной формы Теоретический расчет: An 8 для нечетных номеров гармоник. n2 2 Таблица 3. Амплитуды гармонических составляющих сигнала: n гармоники Aтеор Аэксп, Q=100 1 0.81 0.79 2 0 0.01 3 0.09 0.09 4 0 0.01 5 0.03 0.03 6 0 0.01 7 0.01 0.02 Рисунок 5. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с Q=100 и Q=10. 5 В заданиях 3-5 для практического определения зависимости амплитуд гармонических составляющих от номера гармоники использовался фильтр с добротностью Q=100. Осциллограммы показывают, что использование фильтра с Q=10 невозможно, т.к. на выходной сигнал большое влияние оказывают соседние гармоники. Для высокой добротности амплитуды близко совпадают с теоретическими значениями. Рисунок 6. Амплитудная характеристика сигналов в заданиях 3-5. 6 6. Восстановление прямоугольного сигнала Сигнал был восстановлен по первым семи гармоникам, в качестве коэффициентов были взяты данные для практических значений из таблицы 1. Рисунок 7. Восстановленный прямоугольный сигнал. Рисунок 8. Модель схемы восстановления. 7 7. Восстановление пилообразного сигнала Так как a n 2 An , для восстановления сигнала коэффициенты усиления n при соответствующих отрицательными. генераторах синуса были установлены Рисунок 8. Восстановленный пилообразный сигнал. Аналогичного результата можно было добиться, выставив фазу генераторов синуса равной . 8 8. Восстановление треугольного сигнала Так как треугольный сигнал является четным, для его восстановления смещение фазы генераторов синуса нужно было поставить / 2 . Рисунок 9. Восстановленный треугольный сигнал. По осциллограммам для сигналов, восстановленных для первых семи гармоник видно, что в точках резкого изменения производной исходного сигнала, восстановленный сигнал может сильно не совпадать с исходным. Для негладких сигналов амплитуда гармоник убывает с их номером, но не становится равной 0. Таким образом, для большей точности восстановления этих сигналов, требуется брать большее количество слагаемых гармонического разложения. 9 9. Разработка схемы компенсации искажений Для компенсации искажений можно попробовать повысить добротность схемы с фильтром, настроенным на определенную частоту, не меняя параметров фильтра. Рисунок 10. Модель фильтра. Для более читабельного вида модели можно представить ее в виде прямой передачи, охваченной обратной связью. Рисунок 11. Схема фильтра в Simulink. Коэффициенты a и b подобраны для добротности Q=10. Чтобы увеличить добротность до Q=100 нужно в 10 раз уменьшить эти параметры. Значение b можно уменьшить, поставив перед ним коэффициент передачи равный 0.1. Можно заметить, что коэффициент a передает сигнал с выхода фильтра на вход с соответствующим усилением, инвертируя его. Если подавать сигнал, умноженный на 0.9 с выхода на вход без инвертирования, результат будет тем же, как в случае уменьшения коэффициента а в 10 раз. Рисунок 13. Схема компенсации искажений. 10