Обратные задачи - Санкт-Петербургское отделение

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Обратные задачи
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
В.н.с., д.ф.-м.н.
М.И. Белишев
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
-
Целью преподавания дисциплины является подготовка специалистов, владеющих
современными методами решения обратных задач математической физики. В курсе
особое внимание уделяется подходу к решению обратных задач, основанному на
их связи с задачами граничного управления, и его сравнению с другими методами.
-
Задачами освоения дисциплины являются:
- изучение методов решения обратных задач.
- рассмотрение задачи определения параметров системы (коэффициентов
дифференциальных операторов) по спектральным данным либо по
оператору отклика.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Обратные задачи»
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ОПК-1
Способность самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с
использованием современных методов исследования и информационнокоммуникационных технологий.
ПК-1
Готовность применять асимптотические методы в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Обратные задачи» и её вклад в формирование результатов
обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач;
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины;
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
функционального анализа, дифференциальных уравнений с частными производными и
спектральной теории. Дисциплина «Обратные задачи» освещает методы решения
различных обратных задач и задач граничного управления как в одномерном случае (на
струне), так и для многомерных уравнений.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Трудоемкость по курсам
2 курс.
ач/сем
Лекции (Л)
18
Практические занятия (ПЗ)
18
Самостоятельная работа (СР)
36
Экзамен (Э)
1
Общая трудоемкость освоения дисциплины в академических часах, ач
Виды учебной работы
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Постановки обратных задач.
2 ОЗ на струне.
3 Задача граничного управления (ГУ) для струны.
4 Визуализация волн.
5
Специальная задача ГУ.
6 Решение спектральной ОЗ для неоднородной
струны.
7 Многомерное волновое уравнение с переменной
плотностью.
8 Многомерная задача ГУ.
9 Решение многомерной ОЗ.
10 Многомерная спектральная ОЗ.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч.
Итого, ач
18
18
36
1
72
Л, ач
1
1
2
2
1
1
ПЗ, ач
1
1
2
2
1
1
СР, ач
2
2
4
4
2
2
2
2
4
2
3
3
18
2
3
3
18
72
4
6
6
36
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Постановки обратных задач.
Прямые и обратные задачи (ОЗ).
Динамические и спектральные ОЗ.
Постановка ОЗ для неоднородной струны.
Прямая задача, обобщенные решения,
корректность. Эйконал. Изображения.
ОЗ на струне.
Струна как динамическая система:
пространства и операторы.
Представление операторов управления и
реакции. Связывающий оператор, его
представление через данные ОЗ.
Динамическая модель.
Задача граничного управления (ГУ) для
струны.
Достижимые множества, волновые
проекторы. Полнота достижимых
множеств (управляемость). Двойственная
система, наблюдаемость.
Визуализация волн.
Распространение разрывов, лучевой метод
(геометрическая оптика). Разрывы в
двойственной системе, амплитудная
формула (АФ). Изображение волны.
Визуализирующие функционалы.
Амплитудный интеграл, связь с
треугольной факторизацией.
Специальная задача ГУ.
Уравнения Гельфанда-Левитана-Крейна.
Решение динамической ОЗ.
Характеризация данных.
Решение спектральной ОЗ для
неоднородной струны.
Спектральное представление и модель.
Два способа решения спектральной ОЗ.
Многомерное волновое уравнение с
переменной плотностью.
Прямые и обратные задачи. Сведения из
геометрии: эйконал, полугеодезические
координаты, выкройка многообразия.
Волновое уравнение в пгк. Изображения
функций. Связь п.г.к. и декартовых
координат.
Многомерная задача ГУ.
Достижимые множества и волновые
проекторы. Управляемость, связь с
единственностью продолжения решений
через нехарактеристическую поверхность
(теорема Хольмгрена-Йона-Татару).
Волновые базисы. Наблюдаемость.
Решение многомерной ОЗ.
Визуализация изображений волн и
координатных функций. Восстановление
плотности. Фокусировка волн и
визуализирующие функционалы.
Амплитудный интеграл, связь с
треугольной факторизацией.
Многомерная спектральная ОЗ.
Реконструкция риманова многообразия по
спектральным данным. Координатизация
РМ как средство решения обратных
задач.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
зачета. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии, такие
как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций «Обратные
задачи» базируется на знаниях, приобретенных слушателями на предыдущих этапах
обучения, в частности функционального анализа, уравнений математической физики и
спектральной теории.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Обратные задачи»
является приобретение им знания:
- Формулировок различных видов обратных задач.
- Формулировок различных видов задач граничного управления.
- Методов решения обратных задач и задач граничного управления для струны.
- Методов решения многомерных обратных задач и задач граничного управления.
- Различных подходов к решению одномерных и многомерных спектральных
обратных задач.
- Умение применять освоенные методы для решения обратных задач, не входящих в
область рассмотрения теоретического курса.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Обратные задачи» является
посещение лекций и успешная сдача зачета для приобретения дополнительных знаний,
полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.03
Математическая физика и выполнения квалификационной работы и последующей защиты
кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. M.I.Belishev. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BCmethod). Inverse Problems, 13 (1997), No 5, R1--R45.
2. М.И.Белишев, А.С.Благовещенский. Динамические обратные задачи теории
волн. Санкт-Петербург, Изд-во СПбГУ, 1999, 268 с.
3. Ж.-Л.Лионс. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями
с частными производными. Мир, Москва, 1972, 414 с.
Дополнительная литература
1. Д.Громол, В.Клингенберг, В.Мейер. Риманова геометрия в целом. Мир,
Москва, 1971, 343 с.
2. Ж.-Л.Лионс, Е.Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения.
Мир, Москва, 1971, 417 с.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная
необходимой техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Обратные задачи
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания дисциплины является подготовка специалистов, владеющих
современными методами решения обратных задач математической физики. В курсе
особое внимание уделяется подходу к решению обратных задач, основанному на
их связи с задачами граничного управления, и его сравнению с другими методами.
- Задачами освоения дисциплины являются:
- изучение методов решения обратных задач.
- рассмотрение задачи определения параметров системы (коэффициентов
дифференциальных операторов) по спектральным данным либо по
оператору отклика.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Обратные задачи»
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ОПК-1
Способность самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с
использованием современных методов исследования и информационнокоммуникационных технологий.
ПК-1
Готовность применять асимптотические методы в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Обратные задачи» и её вклад в формирование результатов
обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач;
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины;
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Обратные задачи»
является приобретение им знания:
- Формулировок различных видов обратных задач.
- Формулировок различных видов задач граничного управления.
- Методов решения обратных задач и задач граничного управления для струны.
- Методов решения многомерных обратных задач и задач граничного управления.
- Различных подходов к решению одномерных и многомерных спектральных
обратных задач.
- Умение применять освоенные методы для решения обратных задач, не входящих в
область рассмотрения теоретического курса.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Аттестация производится в форме экзамена.
Тесты:
1. Примером обратной задачи является:
a. Задача Коши.
b. Задача Дирихле.
c. Интегральное уравнение Фредгольма.
d. a и b вместе.
2. Следующее не является видом спектра оператора:
a. Дискретный.
b. Эмиссионный.
c. Сингулярный.
d. Непрерывный.
3. Спектр конечномерного оператора всегда
a. Пуст.
b. Плотен.
c. Дискретен.
d. Бесконечен.
4. Точки резольвентного множества оператора называются
a. Простыми.
b. Примитивными.
c. Регулярными.
d. Устойчивыми.
5. Собственные числа являются элементами
a. Дискретного спектра оператора.
b. Эмиссионного спектра оператора.
c. Сингулярного спектра оператора.
d. Непрерывного спектра оператора.
6. Собственные числа самосопряженного оператора
a. Мнимы.
b. Рациональны.
c. Вещественны.
d. Отрицательны.
7. Данная задача не может рассматриваться, как задача на собственные значения:
a. Уравнение Лапласа.
b. Уравнение Пуассона.
c. Задача Штурма-Лиувилля.
d. b и c.
8. Метод численного решения задачи Штурма-Лиувилля, при котором для
фиксированного граничного условия на одном конце подбирается параметр, для
которого решение задачи Коши хорошо приближает граничное условие на другом,
называется:
a. Метод конечных разностей.
b. Метод Галёркина.
c. Метод стрельбы.
d. Метод дополненного вектора.
9. Обратная задача восстановления оператора по двум спектрам, соответствующим
различным краевым условиям, называется:
a. Задача Вейля.
b. Задача Фредгольма.
c. Задача Борга.
d. Двойная задача.
10. Мероморфная функция, равную отношению двух характеристических функций
разных краевых задач называется:
a. Функция Грина.
b. Функция Борга.
c. Функция Дирака.
d. Функция Вейля.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Обратные задачи» является
посещение лекций, практических занятий, самостоятельная работа и успешная сдача
экзамена для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи
кандидатского экзамена по специальности 01.01.03 Математическая физика и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.