Примерный Билет 1МБХ - Волгоградский государственный

Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
ДИСЦИПЛИНА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
2014-2015 УЧ. ГОД
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
В каждый вариант экзаменационного билета МОГУТ БЫТЬ включены ЗАДАЧИ ИЗ
9 РАЗДЕЛОВ:
1. Линейная алгебра.
2. Предел и непрерывность функции
3. Дифференцирование функции одной переменной. Приложения производной:
скорость и ускорение; уравнение касательной к кривой; раскрытие
неопределённостей при вычислении пределов; исследование поведения
функций; приближённые вычисления
4. Интегрирование функции одной переменной: неопределённый и
определённый интегралы.
Геометрические и механические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных
функций, их основные свойства.
5. Дифференцирование функции многих переменных
6. Двойные и тройные интегралы
7. Криволинейные интегралы
8. Ряды: числовые, степенные
9. Дифференциальные уравнения
Экзаменационный билет будет содержать ВСЕГО 6 РАЗДЕЛОВ.
В каждом разделе вам будет предложено несколько заданий различной трудности на
выбор.
Таким образом, ИЗ КАЖДОГО РАЗДЕЛА ВЫ ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНИТЬ ПО ОДНОМУ ЗАДАНИЮ – то
есть всего шесть (6).
-
Выполнение КАЖДОГО ЗАДАНИЯ необходимо сопровождать пояснениями:
указывать метод решения и пояснять решение задачи;
приводить основные формулы и обосновывать их выбор;
анализировать полученные результаты и делать выводы.
Только в этом случае за выполнение задания ставится максимальное количество
баллов!
Раздел 1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
 2 x 2  5 x3  12

Дана система линейных уравнений:  2 x1  x 2  3 x3  7
 x  x  x  4
2
3
 1
1) Найти ее решение методом Крамера
–
10 баллов.
2) Найти ее решение методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных)
–
14 баллов
3) Записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления
–
14 баллов
1
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
Раздел 3. Дифференцирование функции одной переменной: техника дифференцирования и
применение производной к решению задач.
Задача 1. Доказать, что кривые
y  2 x 2  2 x  3 и y  x 3  2 x  5 имеют общую касательную в точке
10 баллов
A(2;9). Написать уравнение этой касательной.
Задача 2. . Определить вид функции, найти рациональный метод дифференцирования, указать правила и
формулы, используемые при дифференцировании заданных функций, и найти производные заданных
функций:
1) y
 ln
( x  4) 3
x
1
2) y
 (1  cos x) x 3) ctg ( xy)  ln( 4 y  1) 2  0 4) u  ln arccos tg
2
3
3
5) y x  ? x  t  3 , y  t  6arctgt 6) x y  ? y  x  ln x
7)
y
1
x
x2  x 1
( x  1) 3  3 5 x  1
15 баллов
Задача 3. Доказать, что (uv)  u v  3u v   3u v   uv  и найти y (x) для фунций:1)
2) y 
1 2
ln x
x
Задача 4.
f ( x)  xe x
12 баллов
Реакция организма на введенный лекарственный препарат описывается функцией
f ( x)  x (a  x) , где x - доза лекарственного препарата, a - положительная постоянная. При каком
2
значении
Задача 5.
x реакция максимальна?
10 баллов
Пуля, попадая в твердое тело, движется в нем по закону s 
скорость, с которой пуля входит в тело,
1
ln( 1  kv0 t ) , где
k
v0 -
k  0 постоянная величина. Найти ускорение движения пули.
10 баллов
Задача 6.
Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости.
Каковы должны быть размеры сосуда (радиус R , и высота H ), если на его изготовление имеется
s  84,82дм 2 ( s  27 ) материала.
15 баллов
Задача 7. (на правила Лопиталя)
Раздел 4. Интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций и
применение интегрального исчисления к решению задач.
1. Интегрирование функций.
1.1Найти неопределенные интегралы и проверить результат дифференцированием:
a)

x  23 x 2  1
dx
4
x
ex
dx
b) 
2  ex
e
1.2 Вычислить интегралы:
a)
c)
2
 2 x  3) cos xdx
12 баллов
2
2
ln x
dx
x
1

 (x
b)
x
2
cos xdx
12 баллов
0
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат, кривой
абсцисса точки касания равна 2. Сделать рисунок.
y  2x 2 и касательной к этой кривой,
15 баллов
3. Тело движется по закону s  t . Сопротивление среды пропорционально скорости движения.
Вычислить работу силы сопротивления на участке от S = 0 до S = a. ( dA  F ( s ) ds ) .
12 баллов
2
4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
2
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

1)
dx
e x ln 2 x
5
2)
dx
 (x  4)
12 баллов
2
4
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ox кривой L
x  y  0, x  1, y  0
2
6. Найти длину дуги линии
10 баллов
x  a cos 5 t , y  a sin 5 t
10 баллов
7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
дуги кривой
Ox
y  4  x , отсеченной прямой x  2
2
10 баллов
Раздел 5. Дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных
производных и применение частных производных к решению задач
1. Дана функция z  ln( e x  e y ).
z z
Показать, что

1
x y
2
2z 2z  2z 
  0.

что 2
x y 2  xy 
и
2. Найти приближенное значение
3
12 баллов
1,02 2  0,05 2 .
15 баллов
3. Исследовать на экстремум функцию z  3xy  x 2  4 y 2  4 x  6 y  1.
Раздел
1. Вычислить
7. Криволинейные интегралы: вычисление и решение задач
y
2
AB
2. Вычислить
12 баллов
 
dl , где AB - часть окружности x  a cos t , y  a sin t , t  0;  .
 2
 x dl , где AB - кривая, заданная уравнением
2
10 баллов
y  ln x, x  1; e.
10 баллов
AB
3. Вычислить
 (2 x  y)dl , где L  контур треугольника ABO с вершинами A(1;0), B(0;2), O(0;0) .
L
14 баллов
4. Вычислить с помощью формулы Грина
 ( x  y)dx  ( x  y)dy , где L  окружность x
2
 y2  R2 .
L
12 баллов
5.
Даны
криволинейный
интеграл
 (3x  2 y)dx  (2 x  y)dy
и
точки
на
плоскости
xOy : O(0;0), A(4;0), B(0;8), C (4;8). Вычислить данный интеграл от точки O до точки С по трем
1 2
различным путям: 1) по ломаной OAC ; 2) по ломаной OBC ; 3) по дуге параболы y  x . Полученные
2
результаты сравнить и объяснить их совпадение.
14 баллов
РАЗДЕЛ 9. Дифференциальные уравнения.
1. Найти решение общее дифференциального уравнения:
3
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
xy   y  ln(
y
)
x
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
10 баллов
2. Тело температурой 250С погружено в термостат при температуре 50С. Скорость охлаждения тела
пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Определить за какое время тело охладится до
100С, если за 20 мин оно охлаждается до 200.
15 баллов
3. Скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству. Чему будет равно количество
фермента через 5 часов, если его первоначальное количество равно 1г, а через час становится равным 1,2г?
8 баллов
моль
4. В реакции второго порядка с начальной концентрацией 0,75
расход реагента равен 40% через 40
дм 3
минут. Вычислить: 1) константу скорости; 2) время, необходимое для завершения реакции на 80%.
5. Материальная точка массой
m  2г
12 баллов
погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна
скорости погружения с коэффициентом пропорциональности
k  0,002
после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.
кг
. Найти скорость точки через 1с
с
10 баллов
КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО РАЗДЕЛА ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю ЗАДАЧУ, ИЗ ТРЕЬЕГО – 3-Ю И
Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО ТРЕБОВАНИЯМ.
РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ:
РАЗДЕЛ
Тест*
Р1
Р3
Р4
Р5
Р7
Р9
Суммарное
количество
Задача
_
3
2
1
3
1
1
баллов
Максимальное
количество баллов
12
14
15
12
12
10
10
85
Тест* - в этой колонке выставляются результаты предэкзаменационного тестирования. Максимальное
количество баллов по результатам тестирования – 12.
И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ
СТАВИТЬСЯ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями:
-
указывали метод решения и поясняли решение задачи;
приводили основные формулы и обосновывали их выбор;
анализировали полученные результаты и делали выводы.
4