Примерный список вопросов к экзамену по курсу «Теории вероятности и... статистики» для студентов группы 621

Примерный список вопросов к экзамену по курсу «Теории вероятности и математический
статистики» для студентов группы 621
1. Пространство элементарных событий, соответствующих данному опыту. События, связанные со
случайным экспериментом. Отношения между событиями и операции над ними, свойства
операций над событиями.
2. Классическое и геометрическое определение вероятности события. Свойства вероятностей и
относительных частот. Аксиоматическое построение теории вероятности.
3. Свойства вероятности (следствия из аксиом).
4. Вероятность произведения событий.
5. Формулы полной вероятности. Формулы Бейеса.
6. Последовательность независимых испытаний с двумя возможными исходами (схема Бернулли).
Поведение вероятностей Pn(m) при изменении m от 0 до n (n - постоянно).
7. Предельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона, теоремы Муавра-Лапласа (локальная и
интегральная) (без доказательства).
8. Понятие случайной величины. Законы распределения случайной величины. Функция
распределения случайной величины и ее свойства. Дискретная случайная величина и ее функция
распределения.
9. Непрерывная случайная величина. Показать, что для нее:
P(α≤X<β)=P(α≤X≤β)=P(α<X≤β)=P(α<X<β)=F(β)-F(α) .
Понятие о смешанных случайных величинах.
10. Понятие плотности распространения вероятностей. Свойства плотности вероятности.
11. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и его свойства;
дисперсия и среднеквадратическое отклонение, свойства дисперсии; моменты случайных величин
(начальные и центральные).
12. Основные распределения теории вероятности. Математическое ожидание, дисперсия и
среднеквадратическое отклонение биномиально распределенной случайной величины.
13. Распределение Пуассона, математическое ожидание, дисперсия случайной величины,
распределенной по закону Пуассона.
14. Равномерно распределенная случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия.
15. Показательное распределение: плотность распределения и функция распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей показательное
распределение.
16. Нормальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной
случайной величины. Вероятность P(α<X≤β) и правило 3σ.
17. Понятие случайного вектора (многомерной случайной величины). Дискретные и непрерывные
случайные векторы. Функция распределения n- мерного случайного вектора. Таблица
распределения вероятностей 2- мерного дискретного случайного вектора. Функция распределения
2- мерного дискретного случайного вектора и ее свойства.
18. Плотность распределения 2- мерного дискретного случайного вектора и ее свойства. Плотности
распределения отдельных величин, входящих в систему. Теорема умножения законов
распределения. Уравнения регрессии X по Y и Y по X, линии регрессии.
19. Зависимые и независимые случайные величины. Необходимое и достаточное условие
независимости случайных величин X и Y ((X,Y)- непрерывный случайный вектор). Следствие из этой
теоремы.
20. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент,
коэффициент корреляции rxy, показать, что | rxy |≥1. Коррелированность и зависимость случайных
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
величин. Показать, что две коррелированные случайные величины также и зависимы. Показать, что
обратное условие не всегда имеет место.
Нормальный закон распределения на плотности. Показать, что если (X,Y)- двухмерный нормальный
случайный вектор, то из некоррелированности случайных величин X и Y следует их независимость.
Закон распределения функции одной случайной величины (дискретный и непрерывный случай).
Закон распределения функции двух случайных величин. Композиция законов распределения.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Определение сходимости по вероятности. Теорема Бернулли.
Центральная предельна теорема Муавра-Лапласа является частным случаем ЦПТ.
Понятие выборки из генеральной совокупности (ГС). Статистический дискретный ряд
распределения ГСВ и его графическое изображение. Интервальный статистический ряд
распределения ГСВ X и его графическое изображение.
Эмпирическая функция распределения (пояснить на примере).
Статистические оценки параметров распределения и числовых характеристик случайной величины
X. Метод моментов нахождения указанных оценок.
Статистические оценки параметров распределения и числовых характеристик случайной величины
X. Метод наибольшего правдоподобия нахождения указанных оценок.
Несмещенность оценки. Показать, что выборочное среднее является несмещенной оценкой для
математического ожидания случайной величины X, а выборочная дисперсия δ2 является
смещенной оценкой для DX, величина этого смещения.
31. Статистические оценки параметров распределения и числовых характеристик случаной величины X.
Несмещенность оценки. Исправленная выборочная дисперсия 2, ее несмещенность.
Состоятельные и эффективные оценки.
32. Найти доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X~N(m,σ2) при
известной дисперсии σ2, зная, что случайная величина
33. Известно, что если X~N(m,σ2), то случайная величина
имеет распределение Стьюдента с (n-
1) степенью свободы. Найти доверительный интервал для математического ожидания m случайной
величины X при неизвестной дисперсии σ2.
34. Известно, что если X~N(m,σ2), то выборочная функция
имеет распределение χ2 с (n-1)
степенью свободы. Найти доверительный интервал для σ2 случайной величины X.
35. Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода, мощность критерия. Проверка
гипотезы о равенстве математических ожиданий нормальных случайных величин X и Y при условии,
что DX= DY= σ2, причем σ2 неизвестна .(Подсказка: известно, что величина
, при условии, что MX=MY, имеем распределение Стьюдента с
), где
степенью
свободы, где n1и n2- объемы выборок для X и Y).
36. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий случайных величин X и Y , т.е. гипотезы
при альтернативной гипотезе
(когда такая альтернативная гипотеза
возникает?). Подсказка: величина
имеет распределение Фишера с (
степенью свободы, если проверяемая гипотеза H0 верна.
37. Проверка статистической гипотезы о законе распределения. Критерий
в случае справедливости гипотезы случайной величины
)
. Подсказка: известно, что
, где ni- число значений
выборки, попавших в i–й интервал, при
распределение
стремится к случайной величины, имеющей
c k-r-1 степенью свободы, где r- число неизвестных параметров, оцениваемых по
выборке.
38. О связях функциональных, статистических и корреляционных. Несгруппированные и
сгруппированные данные наблюдений (корреляционная таблица). Отыскание параметров
выборочного уравнения прямой линии регрессии в общем случае.
39. Понятие случайной функции X(t) . Реализации случайной функции. Различныt сочетания
дискретности и непрерывности величин X и t.
40. Одномерная и двумерная функции распределения случайной функции X(t) . Одномерная и
двумерная плотности распределения случайной функции X(t) . Полное определение случайной
функции X(t) . Вероятностный смысл выражения
(проиллюстрировать рисунком).
41. Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.
Проиллюстрировать рисунком как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная
функция характеризуют случайную функцию.
42. Стационарные случайные функции.