Методичка - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ВЫБОРОЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ
СОВОКУПНОСТИ
Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине
«Математическая статистика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2007
УДК 519.2(07)
В 92
ВЫБОРОЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОВОКУПНОСТИ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика» / Сост. С. В. Мягкова, Л. А. Крапивина; Волгоград. гос.
техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 23 с.
Излагаются рекомендации к четырем практическим занятиям, включающие контрольные вопросы, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов очной формы обучения, изучающих
дисциплину «Математическая статистика».
Ил. 5.
Табл. 11.
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент: А. А. Кулеша
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2007
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для проведения практических занятий по дисциплине «Математическая статистика»
В начале каждого практического занятия студентам под руководством
преподавателя необходимо повторить теоретическую часть и лишь потом,
ответив на контрольные вопросы, приступить к решению задач.
Цель: Научить студентов решать задачи по дисциплине «Математическая статистика».
Время проведения каждого занятия: 2 часа.
Порядок проведения:

повторить теоретический материал;

ответить на контрольные вопросы;

разобрать предложенные задачи ;

выполнить задачи, предложенные для самостоятельного решения.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Тема: Статистическое распределение выборки и его графическое
изображение. Эмпирическая функция распределения.
Контрольные вопросы
1. Чем занимается математическая статистика, ее основные задачи?
2. Что называется генеральной, выборочной совокупностью?
З. Виды выборок, какие они?
4. Что называется объемом совокупности?
5. Что называется статистическим распределением выборки (дискретным)?
6. Как составляется интервальное статистическое распределение выборки?
7. Какие типы графиков применяются для изображения дискретных
и интервальных статистических распределений?
8. Что называется эмпирической функцией распределения? Каковы
ее свойства?
Задача 1
Экономист, интересующийся тарифным разрядом рабочих некоторого подразделения завода, выбрал документы 100 рабочих, и выписал из
3
них последовательность разрядов: 5; 1; 4; 5; 3; 3; 6 и т. д., где I разряд повторяется четыре раза, 2 разряд – шесть раз, З разряд – двенадцать раз, 4
разряд – шестнадцать раз, 5 разряд сорок четыре раза, 6 разряд – восемнадцать раз.
Требуется:
а) cоставить статистический ряд распределения частот дискретной
случайной величины Х-числа разрядов рабочих завода;
б) построить полигон частот и относительных частот;
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Решение
а) Составим статистическое распределение выборки, записав значение
случайной величины Х-числа разрядов рабочих в порядке возрастания.
Относительную частоту соответствующих вариант найдем по формуле:
n
wi  1 ,
n
где ni – частота i-ой варианты.
K
n   ni .
i 1
В данном случае n = 100.
Таблица 1
Х – число разряд. рабочих завода
1
частоты ni
2
3
4
5
6
4
6
12
16
44
18
относительные частоты wi
0,04
0,06
0,12
0,16
0,44
0,18
накопленная частость
0,04
0,1
0,22
0,38
0,82
1,00
Контроль:
k
n   n i  4  6  12  16  44  18  100 ,
i 1
w
6
  wi
i 1
 1, w  0,04  0,06  0,12  0,16  0,44  0,18  1 .
б) Построим полигоны частот и относительных частот по данному
распределению выборки (рис. 1 и рис. 2).
4
ni
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
5
6
Рис. 1.
0,48
0,44
0,4
0,36
0,32
0,28
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
wi
1
2
3
4
xi
Рис. 2.
в) для составления эмпирической функции распределения выборки используем последнюю строку таблицы – значения накопленной частоты:
при
х  1;
0
0,04 при 1  х  2;

0,1 при 2  х  3,

F * ( x )  0,22 при 3  х  4;
0,38 при 4  х  5;

0,82 при 5  х  6;

при
х  6.
1
Построим график эмпирической функции распределения выборки
(рис. 3).
5
y
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
x
6
Рис. 3.
Задача 2
При измерении электрической емкости 20 пластин пъезоэлементов в
пикофарадах получены следующие данные:
9,9; 11,0; 9,2; 12,0; 8,0; 8,7; 7,0; 11,8; 11,7; 10,3;
11,2; 8,1; 9,5; 11,5; 11,6; 9,7; 10,2; 11,4; 8,6; 10,0.
Требуется:
а) составить интервальный (беря число интервалов m = 10) статистический ряд распределения частот (частостей) наблюденных значений
случайной величины Х-электроемкости пластин;
б) построить гистограмму частот;
в) найти эмпирическую функцию распределения.
Решение
а) Составим табл. статистического распределения, расположив варианты в порядке возрастания.
Таблица 2
X
1
n1
7,0
1
8,0
1
8,1
1
8,6
1
8,7
1
9,2
1
9,5
1
9,7
1
9,9
1
10,0
1
Продолжение табл. 2
X
1
n1
10,2 10,3 11,0 11,2 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 12,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
n = 20.
Вычисляем ширину интервалов по формуле:
X
 X min
X  max
,
m
тогда:
12 ,0  7,0
X 
 0,5 ,
10
следовательно имеем интервалы:
(7,0; 7.5), (7,5; 8,0), (8,0; 8,50), (8,5; 9,00, (9,0; 9,5),
(9,5; I0,00), (10,0; 10,5), (10,5; 11,0), (11,0; 11,5); (11,5; 12,0).
В результате получается следующее интервальное статистическое
распределение частот (частостей) табл. 3.
Таблица 3
интервал
(7,0; 7,5)
(7,5; 8,0)
(8,0; 8,5)
(8,5; 9,0)
(9,0; 9,5)
(9,5; I0,0)
(10,0; 10,5)
(10,5; 11,0)
(11,0; 11,5)
частота n1
1
1
1
2
2
3
2
1
3
частость w1
0,05
0,05
0,05
0,10
0,10
0,15
0,10
0,05
0,15
накопленная частость
0,05
0,10
0,15
0,25
0,35
0,50
0,60
0,65
0,80
4
0,20
1,00
n1 = 20
w1 = 1
(11,5; 12,0)
б) Построим гистограмму частот (рис. 4).
n1
7
8
9
10
Рис. 4.
7
11
12
в) Используя значения последнего столбца табл. 3, запишем эмпирическую функцию распределения выборки:
при
х  7;
0
0,05 при 7,0  х  7,5;

0,10 при 7,5  х  8,0;

0,15 при 8,0  х  8,5,
0,25 при 8,5  х  9,0;

F * ( x )  0,35 при 9,0  х  9,5;
0,50 при 9,0  х  0,0;

0,60 при 10 ,0  х  10 ,5;

0,65 при 10 ,5  х  11,0.
0,80 при 11,0  х  11,5,

х  11,5
1,00 при
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1
Цех за смену изготовил 200 деталей, причем за 1 час – 29 штук, за 2
часа – 32 штуки, 3 часа – 26 штук, 4 часа – 23 штуки, 5 часов – 24 штуки,
6 часов – 27 штук, 7 часов – 20 штук, 8 часов – 19 штук.
Требуется:
а) составить статистический ряд распределения частот дискретной
случайной величины Χ – числа часов;
б) построить полигон частот и относительных частот;
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Задача 2
Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее по
данным вариационным рядам:
а)
xi
mi
1
2
3
10
7
4
б)
9
24
xi
mi
-2
3
0
17
5
28
8
22
14
10
Задача 3
На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабо8
чих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течении месяца.
Результаты этого исследования таковы:
0; 1; 3; 0; 2; 3; 5; 7; 3; 5; 2; 10; 7; 5; 0; 2; 5; 10; 5; 3;
1; 9; 15; 10; 1; 0; 2; 3; 5; 7; 7; 6; 5; 3; 0; 7; 10; 13; 0.
Составить интервальный вариационный ряд. Построить эмпирическую функцию распределения случайной величины числа пропущенных
рабочих дней.
Задача 4
При измерении длины волокон хлопка (в мм ) получены следующие
данные:
34,0; 29,1; 27,2; 22,5; 31,9; 28,2; 26,1; 30,5; 20,4; 30,0;
23,5;28,5; 26,5; 34,0 25,7; 26,5; 19,1; 21.1; 36,1; 19,1.
а) Составить интервальный (беря число интервалов m = 5) статистический ряд распределения частот (частостей) наблюдаемых значений
случайной величины X: – длины волокон хлопка.
б) Построить гистограмму частот.
в) Найти эмпирическую функцию распределения.
Задача 5
Построить гистограмму, кумуляту и огиву частот по данным распределениям выборки объема n = 100.
а)
i
1
2
3
4
5
6
7
J
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
ni
20
25
15
13
12
8
7
б)
i
1
2
3
4
5
J
-2–2
2–6
6–10
10–14
14-16
ni
5
25
40
12
18
в)
i
1
2
3
4
J
60–65
65–70
70–75
75-80
ni
30
20
25
25
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2
Тема: Статистические оценки параметров распределения.
Контрольные вопросы
1. Что называется точечной оценкой неизвестного параметра распределения?
9
2. Какая точечная оценка называется состоятельной? Несмещенной? Смещенной?
3. По каким формулам находятся точечные оценки генеральной
средней и генеральной дисперсии?
4. Какую оценку называют интервальной?
5. Что называется доверительным интервалом, доверительной вероятностью (надежностью)?
6. По каким формулам находятся доверительные интервалы для
оценки математического ожидания (при известной и неизвестной дисперсии), среднего квадратичного отклонения нормального закона распределения?
7. Как находятся доверительные интервалы для относительных частот выборок?
Задача 1
Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на
основании данного распределения выборки:
xi
ni
2
8
7
14
9
10
10
18
Решение
Находим выборочную среднюю:
8  2  14  7  10  9  18 10
xв 
 7,68 .
50
Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу:
Dв  x 2  ( хв )2 ,
xв 
8  4  14  49  10  81  18 100
 66 ,56 ,
50
Dв  66,56  7,68 2  7,58 .
Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):
n
50  7,58
S2 
 Dв 
 7,73 .
n 1
49
Задача 2
Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величи10
ны X, если известны ее среднее квадратичное отклонение σ x = 4, выборочная средняя х в  16 и объем выборки n = 16.
Решение
По надежности γ = 0,95 из соотношения Ф( t ) 

находим значение
2
функции Лапласа: Ф(t) = 0,475.
По таблице значений функции Лапласа находим t = 1,96. Используя
неравенства для интервальной оценки математического ожидания , получаем по формуле:
 1,96  4


 1,96 ,
n
16
16  1,96  X  16  1,96 или 14 ,04  X  17  17 ,96 .
Задача 3
Определить, сколько нужно сделать замеров времени работы каменщиков на укладку 1 м3 кирпича с ошибкой не более α = 4 мин при
надежности γ = 0,9, если стандарт равен 10мин (σ = 10).
Решение
Для нахождения минимального числа замеров с заданной вероятностью используют формулу:
n
t 2 2
,
2
где t находят из таблицы значений функции Лапласа при условии,

что Ф( t )  .
2
Найдем t:
Ф(t) = 0,45  t = 1,643,
n
(1,643 10 ) 2
, n > 16,87  n = 17 замеров.
16
Задача 4
На складе швейной фабрики находится большая партия пальто. Для
определения процента продукции третьего сорта осуществляется случайная выборка из 100 пальто, в которой оказалось 15 пальто третьего сорта.
11
Каковы при этом доверительные границы ошибки, если за доверительную вероятность принять 0,95.
Решение
Найдем относительную частоту:
m 15


 0,15  15 % .
n 100
Доверительные границы ошибки находим по формуле:
ω ± α,
где  
t    (1  )
,
n
t – значение аргумента функции Лапласа, при условии, что Ф( t ) 

.
2
Найдем:
0,95
 0,475  t  1,96 ,
2
1,96  0,15  0,85

 0,070  7,0% .
10
Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что процент пальто
третьего сорта во всей партии находится в границах 15 ± 7,0 % , т. е. доверительный интервал будет (8; 22)%.
Ф( t ) 
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Задача 1
Из генеральной совокупности извлечена выборка:
xi
ni
1
8
3
16
7
6
12
10
Найти выборочную среднюю и дисперсию.
Задача 2
Из генеральной совокупности извлечена выборка:
xi -8 -2 1
5
ni 13 11 14 12
Найти выборочную среднюю и дисперсию и среднее квадратичное
отклонение.
12
Задача 3
Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на
основании данного распределения выборки:
xi
ni
1
6
5
4
6
7
8
3
Задача 4
Найти доверительный интервал с надежностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины
X со средним квадратичным отклонением σx = 5, выборочной средней
x в  20 и объемом выборки n =25.
Задача 5
На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещенную оценку выборочной дисперсии s2 = 16, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью:
а) 0,8; б) 0,9; в) 0,95.
Задача 6
По данным выборки объема n = 25 найдено несмещенное значение
выборочного среднего квадратичного отклонения s = 3 нормально распределенной случайной величины X. Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины.
Задача 7
По данным выборки объема n = 20 найдено несмещенное значение
выборочного среднего квадратичного отклонения s = 2 нормально распределенной случайной величины X. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины.
Задача 8
На фабрику поступило очень большая партия запасных частей. Для
определения процента бракованных частей осуществляется случайная
13
выборка из 100 запчастей, в которой оказалось 17 бракованных запчастей. Каковы при этом доверительные границы для доли, если за доверительную вероятность принять 0,95.
Задача 9
В ткацкий цех поступил ящик со 150 початками уточной пряжи. Каковы
будут доверительные границы для доли с доверительной вероятностью
0,95, если в ящике оказалось 23 початка уточной пряжи 2-го сорта.
Задача 10
На мотальной машине 400 веретен с бобинами. Для определения
среднего веса пряжи было взвешено 40 полных бобин. В результате получен средний вес и коэффициент вариации. Каковы при этом доверительные границы ошибки при доверительной вероятности 0,954, если
x  16,   10% .
Задача 11
Определить сколько нужно сделать замеров длины рулонов ткани с
ошибкой не более 4 м. (α = 4), при надежности γ = 0,9, если стандарт равен 50 метров (σ = 50).
Задача 12
Определить сколько нужно произвести испытаний прочности на разрыв полосок сатина по утку с ошибкой не более α = 5, при надежности
0,9, если стандарт равен 42 (σ = 42).
Задача 13
Найти объем выборки, при котором с надежностью 0,95 найдены для
нормального распределенного признака следующие характеристики:
а) α = 0,2; υ = 6,2%;
б) α = 0,2; ω = 18%;
в) α = 0,2; ω = 12% N = 400.
14
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
Тема: Методы расчета свободных характеристик выборки.
Контрольные вопросы
1. Какие варианты называются равноотстоящими, условными?
2. Основные выборочные характеристики, какие они?
3. Что называется средней выборочной, дисперсией выборки,
средним квадратичным отклонением, асимметрией, эксцессом? Их смысловая роль?
4. Что называется обычным, центральными, начальными и условными эмпирическими моментами?
5. Назовите формулы вычисления средней выборочной, дисперсии, асимметрии, эксцесса через условные моменты.
6. B чем заключается метод произведения, метод сумм вычисления
сводных характеристик.
Задача 1
Найти числовые характеристики выборки (выборочное среднее, выборочную дисперсию, асимметрию, эксцесс, выборочный коэффициент,
вариации), если выборка задана табл. 4:
Таблица 4
xi
ni
10,2
2
10,4
3
10,6
8
10,8
13
11,0
25
11,3
20
11,4
12
11,6
10
118
6
12,0
1
а) методом произведений;
б) методом сумм.
Решение
а) Составим расчетную табл. 5, для этого:
1) запишем варианты в 1-ый столбец;
2) запишем частоты во 2-ой столбец;
3) запишем условные варианты в 3-иий столбец:
x c
u1  1
,
h
в качестве с берут моду, а h – шаг, значит в данном случае с = 11, h = 0,2.
4) в следующем столбце и далее записывают соответственно произведение частоты на условную варианту, на квадрат условной варианты,
на куб условной варианты, и на четвертую степень условной варианты.
15
Вычисляем условные моменты:
M1* 
 n 1  u1
M*2 
 0,57 ,
n
M*3 
3
 n1  u1
n
2
 n1  u1
n
 6,09 ,
 3,83 ,
M*4 
4
 n1  u1
n
 40,79 .
Таблица 5
xi
ni
ui
ni ui
ni ui2
ni ui3
ni ui4
10,2
2
-4
-8
32
-128
512
10,4
3
-3
-9
27
-81
243
10,6
8
-2
-16
32
-64
128
10,8
13
-1
-13
13
-13
13
11,0
25
0
0
0
0
0
11,2
20
1
20
20
20
20
11,4
12
2
24
48
96
192
11,6
10
3
30
90
270
810
11,8
6
4
24
96
384
1536
12,0
1
5
5
25
сумма
n = Σni = 100
Σniui2 = 57 Σniui2 = 383
125
625
Σniui3 = 609
Σniui4 = 4079
б) Для контроля вычислений найдем условные моменты методом
сумм, для этого составам расчетную табл. 6.
Таблица 6
X1
10,2
10,4
10,6
10,8
11,0
11,2
11,4
ni
2
3
8
13
25
20
12
В1, = 46
2
5
13
26
0
49
29
B2 = 29
2
7
20
0
0
0
54
Вз = 11
2
9
0
0
0
0
0
В4 = 2
2
0
0
0
0
0
0
11,6
11,8
12,0
10
6
1
17
7
1
25
8
1
34
9
1
0
10
1
n = 100
а1 = 103
а2 = 88
а3 = 44
а4 = 11
1) запишем варианты в 1-ый столбец;
2) запишем частоты во 2-ой столбец;
3) в 3-ем столбце против моды (ее выбираем в качестве ложного нуля) ставим 0,и записываем накопленные частоты с первой верхней строки
16
до 0 (их сумма будет в1), а затем накопленные частоты с первой нижней
строки до 0 (их сумма будет а1);
4) в 4-ом столбце против ложного нуля ставим 0 и добавляем еще по
0 сверху и снизу, а затем находим накопленные элементы 3-его столбца с
первой верхней строки до 0 (их сумма будет в2) и с первой нижней строки до 0 (их сумм будет а2,);
5) аналогично находим а3, а4, в3, в4.
Найдем d1 = a1 - в1 = 57, d2 = а2 - в2, -в2 = 59, d3 = a3 - в3 = 33
s1 = a1 + в1 = 149, s2 = a2 + в2 = 117, s3 = a3 + в3 = 55, s4 = a4 + в4 = 13.
Вычислим условные моменты:
d
M1*   0,57 ,
n
s1  2s 2 149  2  117
*
M2 

 3,83 ,
n
100
d  6d 2  6d 3 57  6  59  6  33
M*3  1

 6,09 ,
n
100
s  14 s 2  36 s 3  24 s 4 149  14 117  36  55  24 13
M *4  1

 40 ,79 .
n
100
Находим числовые характеристики выборки:
x в  М1*  h  c  0,57  0,2  11,0  11,1 ,
д в  (М1*  (М1* ) 2 )  h 2  (3,83  0,57 2 )  0,04  0,14 ,
 в  д в  0,14  0,374 ,
аs 

ek 

m4
4

m3
3

(M*3  3  M*2  M1*  2(M1* ) 3 )h 3
3
(6,09  3  3,83  0,57  2  0,57 3 )  0.008
0,374 3

 0,01,
(M*4  4  M*3  M1*  6  M*2  (M1* ) 2  3  (M1* ) 4 )  h 4
3
(40,79  4  6,09  0,54  6  3,83  0,57 2  3  0,57 4 )  0.0016
0,374 3
vв 
 3  2,76  3  0,24,
в
0,374
100 % 
100 %  3,4% .
xв
11,1
17
3 
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Применяя метод сумм и произведений решить следующие задачи.
Задача 1
По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу
Среднедушевой
доход семьи
до 25 25-50 50-75
в месяц, у. е.
Количество
обследованных
46
236
250
семей
75-100 100-125 125-150
102
176
78
150 и
выше
12
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Задача 2
Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную плату
работников одного из цехов промышленного предприятия (табл. 7).
Таблица 7
Заработная плата, у. е.
Число работников
50-75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225
12
23
35
37
19
15
9
Рассчитайте среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.
Задача 3
Ниже приведена табл. 8 стоимости потребительской корзины в различных городах страны за 2000 год.
Таблица 8
Стоимость потребительской корзины, тыс. руб.
Число городов
1,96
2
2,08
3
2,16
4
2,22
4
2,27
5
2,40
7
Постройте полигон распределения частот. Найдите среднюю стоимость потребительской корзины в выборке, дисперсию. Среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
18
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Тема: Метод наименьших квадратов (МНК)
Контрольные вопросы
1. Какая зависимость называется функциональной, статистической
и корреляционной.
2. Какая зависимость называется регрессией.
3. Этапы построения уравнения регрессии.
4. Что называется корреляционным полем.
5. В чем заключается суть метода наименьших квадратов (МНК).
6. Чему равны коэффициенты линейного уравнения регрессии.
7. Выборочный коэффициент корреляции его свойства.
Задача 1
Для анализа зависимости Y от переменной X отобрана выборка объема n = 5, необходимо определить вид зависимости, по МНК оценить параметры уравнения регрессии Y на X, оценить тесноту связи.
X
Y
1
3
2
3
3
7
4
9
5
8
Решение
1. Для определения вида зависимости построим корреляционное поле (рис. 5).
y
9
7
3
1
0
1
3
5
Рис. 5.
19
x
По расположению точек полагаем, что зависимость линейная y = bo + b1  x.
2. Для нахождения уравнения регрессии по МНК составим табл. 9.
Таблица 9
xi
1
2
3
4
5
15
3
Σ
среднее
b1 
y = 1,6  x +
данную прямую
уравнению
х
.
у
xi2
1
4
9
16
25
55
11
yi
3
3
7
9
8
30
6
xy  x  y

yi2
9
9
49
81
64
212
42,4
xi yi
3
6
21
36
40
106
21,2
21,2  3  6
 1,6 ,
11  9
x2  x2
b0  y  b1  x  6 1,3  3  1,2 .
1,2 – уравнение парной линейной регрессии, изобразим
на корреляционном поле, для этого рассчитаем Yi по
0
5
1,2 9,2
3.Для анализа силы линейной зависимости вычислим коэффициент
корреляции:
xy  x  y
 xy 
21,2  3  6

11  9  42,4  36
 0,9 .
x x  y y
Значит между переменными X и Y сильная линейная зависимость,
что подтверждается расположением точек на корреляционном поле.
2
2
2
2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1
Данные опыта приведены в таблице. Способом наименьших квадратов найти уравнение регрессии, полагая, что x и y связаны зависимостью:
-y = k  x + b.
а)
x
1
2
3
4
б) x
1
2
3
4
5
y
6
5
5
6
y 4,3 5,3 3,8 1,8 2,3
в)
x
y
2
2
4
5
6
7
г)
8
10
20
x
y
1
2
2
1
3
3
4
3
5
6
д)
x
y
1
4,5
2
5,5
3
4,0
4
2,0
5
2,5
y = a  x2 + b  x + c.
а)
x
y
-2
4,8
-1
0,4
0
-3,3
1
-0,8
2
3,2
б)
x
y
0
5
2
-1
4
0,5
6
1,5
8
4,5
10
8,5
y = aebx.
x
y
0
1
1
2
2
2,5
3
3
5
3,5
Задача 2
В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации
автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные
табл. 10:
Таблица 10
t, лет
S, тыс. руб.
1
120
2
140
3
230
4
370
5
445
6
570
7
655
8
770
Найти:
а) линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока
эксплуатации;
б) предполагаемую величину затрат на ремонт за десятый год эксплуатации.
Ответ:
а) S = 98,452t – 29,286.
б) S (10) = 955.
Задача 3
Исследовалась зависимость годового расхода топлива на один трактор ДТ-54 (У – в тоннах) от годовой выработки трактора (X – в сотнях
га). Собранные статистические данные представлены в виде табл. 11.
Найти выборочный коэффициент корреляции и составить уравнение регрессии y на x.
Таблица 11
X
6
7
8
9
11
Y1
1
1
4
6
11
21
Y
Y2
Y3
6
10
9
3
2
2
2
2
ЛИТЕРАТУРА
1. Ермаков В.И., Бобрик Г.И. Сборник по высшей математике для экономистов:
учебное пособие – М: инфра- М, – 2004.
2. Бородач С.А. Эконометрика: Учебное пособие – Мн: Новое знание, 2001.
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение…………………………………………………………………3
1. Практическое занятие № 1………………………………….……....3
2. Практическое занятие № 2………………………………………….9
3. Практическое занятие № 3………………………………………..15
4. Практическое занятие № 4………………………………………..19
5. Литература………………………..………………………………..22
22
Составители: Мягкова Светлана Васильевна
Крапивина Лариса Алексеевна
ВЫБОРОЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОВОКУПНОСТИ
Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине
«Математическая статистика»
Под редакцией авторов
Темплан 2007 г., поз. № 75.
Подписано в печать 24. 04. 2007 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,44. Усл. авт. л. 1,25.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
23