Вопросы к коллоквиуму №1 по математическому анализу

Вопросы к экзамену
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Определители .
2. Свойства определителей.
3. Методы вычисления определителей п-го порядка
4. Матрицы. Виды матриц.
5. Действия над матрицами.
6. Элементарные преобразования матриц.
7. Обратная матрица.
8. Базисный минор. Ранг матрицы.
9. Системы линейных уравнений.
10.Теорема Кронекера-Капелли.
11.Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая
иллюстрация решения.
13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.
14. Понятие вектора.
15. Линейные операции над векторами.
16. Координаты вектора.
17. Расстояние между двумя точками на плоскости.
18. Деление отрезка в данном отношении.
19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости.
20. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки.
21. Общее уравнение прямой на плоскости, его частные случаи.
22. Пучок прямых. Уравнение прямой в отрезках на плоскости.
23. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
24. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве. Расстояние
от
точки до прямой на плоскости.
25. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
26. Уравнение линии второго порядка.
27. Окружность и её каноническое уравнение.
28. Эллипс и её каноническое уравнение.
29. Гипербола и её каноническое уравнение.
30. Парабола и её каноническое уравнение.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Понятие функции. Определение предела функции. Левосторонний и
правосторонний пределы.
2. Теоремы о пределах.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
0
4. Раскрытие неопределенности
при вычислении пределов.
0
5. Раскрытие неопределенности

при вычислении пределов.

Два замечательных предела.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Производная функция. Дифференцируемость функции. Таблица
производных.
10. Производная сложной и обратной функции.
11. Производные высших порядков.
12. Дифференцирование неявных функций.
13. Геометрический смысл производной.
14. Понятие дифференциала функции.
15. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.
16. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
17. Возрастание и убывание функции.
18. Экстремумы функции. 1-ый достаточный признак существования
экстремума.
19. Второй достаточный признак существования экстремума.
20. Выпуклость и вогнутость графика функции.
21. Асимптоты графика функции.
22. Общая схема исследования функции.
23. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
6.
7.
8.
9.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
24. Понятие функции нескольких переменных. Область определения и
область значений функции нескольких переменных.
25.Предел и непрерывность функции двух переменных
26. Частные приращения и частные производные 1 порядка функции двух
переменных.
27. Частные производные высших порядков функции двух переменных.
28. Полный
дифференциал
функции
нескольких
независимых
переменных; его применение в приближенных вычислениях.
29. Экстремум функции двух переменных.
30. Условный экстремум функции двух переменных. Метод Лагранжа.
31.Метод наименьших квадратов
Интегральное исчисление
32.Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
33.Свойства неопределенного интеграла.
34.Таблица интегралов. Геометрический смысл неопределенного
интеграла.
35.Метод подстановки при вычислении неопределенного интеграла.
36.Интегрирование по частям.
37.Простейшие (элементарные) дроби и их интегрирование. Алгоритм
представления неправильной рациональной дроби в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование
рациональных функции (метод неопределенных коэффициентов, метод
частных значений).
38.Интегрирование тригонометрических функций.
39.Интегрирование иррациональных функций.
40.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
41. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
42. Свойства определенного интеграла.
43. Формула Ньютона-Лейбница.
44. Вычисление определенного интеграла методом подстановки.
45. Вычисление определенного интеграла по частям.
46. Определенный интеграл на симметричном множестве.
47. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного
интеграла.
48. Приложение определенного интеграла к вычислению объемов тел
вращения.
49. Несобственные интегралы I рода (с бесконечными пределами
интегрирования).
50. Несобственные интегралы II рода (от разрывных функций).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Теория вероятностей
Элементы комбинаторики
Предмет теории вероятностей
Опыт и событие в теории вероятностей. Пространство исходов опыта.
Классификация случайных событий
Операции над событиями.
Частота и вероятность события.
Методы вычисления вероятностей : а) классическая вероятность;
б) статистическая вероятность; в) геометрическая вероятность.
8. Алгебра событий
9. Теоремы сложения.
10.Условные вероятности.
11.Теорема умножения вероятностей.
12.Совместное применение теорем сложения и умножения
13.Формула полной вероятности.
14.Формула Байеса.
15.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.
16.Локальная теорема Лапласа.
17.Формула Пуассона (закон редких явлений).
18.Наивероятнейшее число наступления события.
19.Интегральная теорема Лапласа (Муавра-Лапласа).
20.Понятия случайной величины.
21.Типы случайных величин.
22.Закон распределения случайной величины.
23.Ряд распределения, многоугольник распределения.
24.Функция распределения и ее свойства.
25.Плотность вероятности и ее свойства.
26.Математическое ожидание случайной величины.
27.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
28.Начальный и центральный моменты.
29.Характеристики кривой распределения случайной величины (мода,
медиана, эксцесс).
30.Биномиальное, полиномиальное распределение.
31.Распределение Пуассона.
32.Равномерное распределение.
33.Показательное распределение.
34.Нормальное распределение, условия его возникновения(формулировка
центральной предельной теоремы).
35.Вероятностные характеристики нормального распределения случайной
величины.
36.Вычисление вероятности попадания на отрезок.
37.Закон больших чисел.
38.Неравенство Чебышева.