Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской Федерации КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ «МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Направление подготовки: «МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ» Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 2014-2015 ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ В каждый вариант экзаменационного билета будут включены задачи из разделов: РАЗДЕЛ 1. Случайные события РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины. РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины РАЗДЕЛ 4. Первичная статистическая обработка выборочных данных. Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений РАЗДЕЛ 5. Статистическая проверка статистических гипотез РАЗДЕЛ 6. Элементы корреляционно – регрессионного анализа РАЗДЕЛ 7. Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) Экзаменационный билет будет содержать всего 7 ЗАДАНИЙ. В каждом ЗАДАНИИ вам будет предложено несколько ЗАДАЧ различной трудности на выбор. Таким образом, ИЗ КАЖДОГО ЗАДАНИЯ ВЫ ДОЛЖНЫ РЕШИТЬ ПО ОДНОЙ ЗАДАЧЕ – то есть всего семь (7) ЗАДАЧ. Требования к оформлению работы: 1. Указать номер ЗАДАНИЯ И ЕГО РАЗДЕЛ, и номер решаемой задачи. 2. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие. 3. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки и схемы. ОЦЕНКА – «ОТЛИЧНО» СТАВИТСЯ В ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ НАБЕРЕТЕ ОТ 91 ДО 100 БАЛЛОВ – «ХОРОШО» – ОТ 76 ДО 90 БАЛЛОВ – «УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – ОТ 61 ДО 75 БАЛЛОВ – «НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – МЕНЬШЕ 60 БАЛЛОВ ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЕ-ЛИБО ЗАДАНИЕ, ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 10 БАЛЛОВ! - РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ необходимо сопровождать пояснениями: указывать метод решения и пояснять решение задачи; приводить основные формулы и обосновывать их выбор; анализировать полученные результаты и делать выводы. Только в этом случае за РЕШЁННУЮ ЗАДАЧУ ставится максимальное количество баллов! РАЗДЕЛ 1. Случайные события 1 1. В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин? 10 баллов 2. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза. 12 баллов 3. Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров. Вероятность поломки каждого термометра в пути равна 0,0002. Какова вероятность того, что 1) на аптечный склад прибудет 3 поврежденных термометра? 2) менее трех? 3) более трех? 4) хотя бы один? 12 баллов 4. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? 14 баллов РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины. 1. Случайная величина задана следующим законом распределения: X 10 12 15 16 18 P 0,4 0,1 0,2 ? 0,1 Найти: 1) неизвестную вероятность; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение; 3) функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить график функции распределения; 4) вероятность того, что X ( x1 ; x4 ) . Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 14 баллов 2. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) . Требуется убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства F ( X ) . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию f (x ) ; в) математическое ожидание случайной величины X ; c) дисперсию случайной величины X и среднеквадратическое отклонение; d) построить графики интегральной F ( X ) и дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания величины X в интервал ( ; ) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках F ( X ) и f (x ) . 0, x 2 1 F ( X ) x 1,2 x 4 2 1, x 4 0; 3 14 баллов 3. В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 27, среднеквадратическое отклонение равно 0,55. Чему равно , если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше , равна 0,81. 12 баллов 4. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 164 см и среднеквадратическим отклонением 5,5 см. Найти плотность вероятности и вычислить вероятность того, что рост наудачу выбранной женщины будет не меньше 170 см. 12 баллов РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины 1. Задана функция распределения системы случайных величин 2 1 e x e y e x y , если x 0 и y 0; F ( x, y) 0, если y 0 или x 0. Найдите плотность вероятности f ( x, y ) и вероятность попадания случайной точки (x, y) в прямоугольник (0 x 1, 0 y 1). Вычисление вероятности проделайте двумя способами: с помощью F ( x, y ) и с помощью f ( x, y ) . 14 баллов 2. Закон распределения системы (x, y) задан таблицей Y X -2 0 2 0 1 0,4 0,2 0 0,2 0,1 0,1 Найдите: 1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности; 2) закон распределения Х при условии, что У y 2 ; 3) закон распределения Y при условии, что X x 2 ; 4) вероятность события ( Х x1; У y2 ) ; 5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У . Оцените степень зависимости через коэффициент ковариации. 15 баллов 3. Система 2–x независимых случайных величин (x, y) распределена по нормальному закону с параметрами 1=2, 2=4. Напишите плотности вероятности случайных величин x и y в отдельности и плотность вероятности системы (x, y). Найдите функцию распределения системы (x, y) и вероятность события (1 x 5, -6 y 2). 15 баллов РАЗДЕЛ 4. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Частота пульса по данным медицинского осмотра 17 девочек-первоклассниц (1/мин): 76 76 70 66 68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70. 1) Выполнить первичную статистическую обработку выборочных данных: построить безынтервальный вариационный ряд и полигон распределения. 2) Сделать точечную оценку генеральных параметров: средней, дисперсии, среднеквадратического отклонения, моды, медианы. 3) Сделать интервальную оценку генеральной средней (с вероятностью 0,95). 14 баллов 2. При измерении минутного объема сердца у больных получены следующие значения (в литрах): 4,6; 3,8; 4,2; 5,1; 4,4; 3,9; 7,8; 5,3; 4,5; 4,7; 5,2; 4,1. Определите, не являются ли некоторые из полученных значений артефактами вследствие грубых ошибок или особых условий наблюдений. Проверку сделайте двумя способами: используя правило "трех сигм" и критерий грубых ошибок. Для данного объема выборки и значения доверительной вероятности 0,95 t st 2,387 . 12 баллов 3. В результате десяти одинаковых проб были получены следующие значения содержания марганца: 0,69%; 0,70; 0,67; 0,66; 0,67; 0,68; 0,67; 0,69; 0,68; 0,68%.Найдите абсолютную и относительную погрешности измерений содержания марганца и оцените его истинное значение с вероятностью 0,95. 12 баллов 3 4. Коэффициент вязкости спирта определяется по формуле A t , t0 где A 0,001Па с, t и t 0 – время истечения равных объемов спирта и воды соответственно. В результате пяти измерений были получены следующие численные значения: для t : {6,2; 6,4; 6,4; 6,2; 6,3} с; для t 0 : { 4,1; 4,1; 4,0; 4,0; 3,8 }с. Найдите абсолютную и относительную погрешности измерений вязкости спирта и оцените его истинное значение с вероятностью 0,95. 14 баллов РАЗДЕЛ 5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 1. Измерения пульса 10 больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных контрольной группы дали следующие результаты средних и исправленных дисперсий для 1 группы: x 70 уд мин , s 2 ( x) 9 ; для 2 группы: y 68 уд мин , s 2 ( y) 4 . При уровне значимости 0,05 определить, значимо ли отличаются средние значения пульса у больных этих двух групп. 12 баллов 2. При анализе раствора вещества двумя методами были получены следующие результаты: Считая распределения x 98,1, s2x 0,04, nx 6; y 97,5, s2y 0,06, n y 8 . изучаемых величин нормальными, при уровне значимости 0,05 определить: 1)значимость различий оценок дисперсий; 2) значимость различий средних значений. 12 баллов 3. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами. Получены следующие результаты: xi yi 15 15 20 22 16 14 22 25 24 29 14 16 18 20 20 24 Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность, если принять уровень значимости 0,05? Замечание: судить о точности методов: 1) по величинам дисперсий; 2) путем сравнения средних двух выборок. 14 баллов 4. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две выборки, объемы которых n x 7 и n y 5 . В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты: xi 1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 yi 1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью при уровне значимости 0,1? Судить о точности методов: а) по величинам дисперсий; б) путем сравнения средних двух выборок. 15 баллов РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО – РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА 1. Изучали зависимость между ростом (X, см) объемом грудной клетки мужчин Y см 3 Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 7: 164 179 172 182 188 168 : 162 : 88 94 98 100 102 108 tнабл 6,7 По результатам наблюдений определили: rху 0,94 112 x 0,96 69 Провести корреляционно-регрессионный анализ: 1) Построить корреляционное поле точек. Какая зависимость обнаружена между признаками в выборочной совокупности? 4 2) Можно ли распространить выводы о характере связи, обнаруженной в выборочной совокупности между признаками, на всю генеральную совокупность? Что для этого необходимо сделать? 0,05 3) Построить линию регрессии. 11 баллов 2. Даны результаты 9 независимых измерений над системой случайных величин (X,Y). Требуется: 1) построить корреляционное поле; 2) предполагая, что данная зависимость между X и Y близка к линейной, найти выборочный коэффициент корреляции rxy ; 3) проверить достоверность найденного значения корреляции при уровне значимости 0,05 ; 4) найти уравнения регрессии Y на X; выборочного коэффициента 5) Вычислите прогнозное значение результативного значения Y при увеличении X на 10 % от максимального уровня. 6) построить линии регрессии на графике экспериментальных данных. X 15 20 24 30 33 37 36 40 Y 70 74 76 75 78 78 83 85 Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 42 87 14 баллов РАЗДЕЛ 7. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ANOVA) 1. Изучали влияние рентгеновского излучения на выход сельскохозяйственного сырья (кг). Результаты наблюдения представлены в таблице. № испытания Уровни фактора 1 2 3 А1 А2 А3 А4 34 37 38 44 46 48 52 51 54 65 70 72 2 2 Расчеты на компьютере показали, что Sфакт 442,8; Sост 46,9. Определить достоверность влияния рентгеновского излучения на выход сельскохозяйственного сырья на уровне значимости 0,05. Сделать вывод 10 БАЛЛОВ 2. Произведены испытания на каждом из трех уровней фактора F . Методом дисперсионного анализа на уровне значимости 0,05 оценить влияние фактора F на изменение величины А. Оценить силу влияния фактора F . Номер испытания F1 F2 F3 27 24 22 1 23 20 21 2 29 26 36 3 29 30 37 4 22 32 5 20 6 23 7 14 баллов 5 КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю ЗАДАЧУ, ИЗ ВТОРОГО – 3-Ю И Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО ТРЕБОВАНИЯМ. РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ: ЗАДАНИЕ 1 2 3 4 5 6 7 Суммарное количество Задача 3 3 2 1 3 1 1 баллов Максимальное количество 12 12 15 14 14 11 10 88 баллов за задачу И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ СТАВИТЬСЯ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями: - указывали метод решения и поясняли решение задачи; - приводили основные формулы и обосновывали их выбор; - анализировали полученные результаты и делали выводы. УСПЕХОВ ВАМ В ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ! М.П Заведующий кафедрой _____________ З.А. Филимонова 6