Список вопросов к экзамену по мат. анализу (часть 1)

ПРОГРАММА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ЧАСТЬ I)
Специальности: 160901(гр.1106) – Техническая эксплуатация летательных аппаратов и
двигателей;
160201 (гр.1119) – Самолето- и вертолетостроение;
Гр. 1123 – АдиЭУ;
Гр.1129 – РД.
Составители:
Анисимова И.В.
I.
Элементы теории множеств
1. Множества и операции над ними.
2. Множества чисел, соотношение между вещественными числами и точками
бесконечной прямой.
3. Понятие функции, способы её задания, отображение множеств.
4. Элементарные функции.
5. Модуль действительного числа, его свойства.
6. Упорядоченные множества.
II
Теория пределов и непрерывность функции
1.
Понятие числовой последовательности. Предел последовательности и
достаточные условия его существования.
2.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей.
3.
Фундаментальные последовательности. Критерий сходимости Коши.
4.
Определение предела функции (по Коши и по Гейне). Критерий Коши
для функции.
5.
Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.
6.
Основные теоремы о пределах функции.
7.
Первый и второй замечательные пределы.
8.
Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке: о
промежуточных значениях, теорема Вейерштрасса об ограниченности
функции, теорема об обращении в 0, теорема о достижении точных
граней, теорема об устойчивости знака.
9.
Непрерывность функции в точке, непрерывность функции на множестве.
Классификация точек разрыва.
10.
Основные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной
функции.
III
Дифференцирование функции одной переменной
1.
Приращение функции. Непрерывность элементарных функций.
2.
Понятие производной. Дифференцирование «по шагам».
3.
Механический и геометрический смысл производной.
4.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
отношения функций.
5.
Касательная и нормаль к кривой.
6.
Дифференциал функции, его геометрический смысл, применение
дифференциала.
7.
Производная обратной функции. Вычисление производных некоторых
обратных функций (табличные производные).
8.
Дифференцирование сложной функции.
9.
Дифференцирование показательно-степенной функции.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
IV
V
Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Определение производных старших порядков. Формула Лейбница.
Производные высших порядков неявно и параметрически заданных
функций. Дифференциал старшего порядка.
Механический и геометрический смысл второй производной.
Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма,
Ролля, Коши, Лагранжа.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Формула Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора для некоторых
элементарных функций.
Представление остаточного члена формулы Тейлора и Маклорена в
форме Лагранжа и в форме Пеано.
Локальный экстремум функции. Необходимые условия экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Достаточные условия выпуклости и перегиба.
Асимптоты графика функции. Построение графика функции.
Интегрирование функции одной переменной
1. Восстановление функции по её производной. Определение первообразной.
2. Неопределённый интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
интегралов.
3. Основные методы интегрирования: замены переменной, интегрирование
по частям.
4. Интегрирование простейших дробей.
5. Разложение алгебраических многочленов на множители. Разложение
рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональной дроби.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
7. Интегрирование простейших и квадратичных иррациональностей.
8. Интегрирование дифференциального бинома.
Определенный интеграл
Интегральная сумма. Понятие определённого интеграла по Риману.
Простейшие свойства интеграла Римана.
2. Механический и геометрический смысл определённого интеграла.
3. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, их свойства.
4. Верхний и нижний интегралы Дарбу, лемма Дарбу.
5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема
Ньютона-Лейбница.
6. Основные методы интегрирования для интеграла Римана: замены
переменной интегрирования, интегрирование по частям.
7. Приложение определённых интегралов: вычисление площадей плоской
фигуры, объём и поверхность тела вращения.
8. Несобственные интегралы I –го и II-го рода и достаточные признаки их
сходимости.
1.
10.
Компьютерные пакеты Mathematica, MATLAB в мат. анализе. Возможности и
применение.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1, 2. М., Наука,
1972.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1965.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т 1,2. М. Высшая школа, 1973
4. Любой справочник по высшей математике.