Найдите из уравнения (15) значение угла в градусах
реклама
ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» Факультет пищевых и химических производств Кафедра Машины и аппараты пищевых производств Седешев М.А. Математические модели объектов проектирования в системе MathCAD Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системы автоматизированного проектирования пищевых производств» Барнаул 2014 УДК 65. 011. 56 Седешев М. А. Математические модели объектов проектирования в системе MathCAD: методические указания/ Алт. гос. техн. ун-т. им. И. И. Ползунова. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2014. – 51 с. На конкретном примере рассматривается аналитический метод создания оптимизационной математической модели и способы ее решения в Маткаде. На этом же примере показан вариант численного решения и постановка математического эксперимента. Для получения уравнения регрессии использован метод Брандона. Рассмотрен анализ размерностей и на его основе найдена новая функциональная зависимость, описывающая процесс. Приведены задания для выполнения контрольных лабораторных работ. Рекомендуются для самостоятельной работы студентам очной и заочной форм обучения. Будут полезны для подготовки и обработки инженерного эксперимента. Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры Машины и аппараты пищевых производств. Протокол № 3 от 13.11. 2014 г. 2 Оглавление Введение ....................................................................................... 4 1 Аналитический метод создания математической модели ..... 5 1.1 Многократное решение уравнений ...................................... 14 1.2 Задания к контрольной лабораторной работе .............. 19 2 Численный метод создания модели через математический эксперимент ..................................................... 20 2.1 Выполнение параллельных вычислений (многократные вычисления по дискретному аргументу) ........ 24 2.2 Задание к контрольной лабораторной работе .............. 28 2.3 Получение уравнения регрессии по методу Брандона ....... 29 2.4 Задания к контрольной лабораторной работе .............. 39 2.5 Уменьшение количества переменных, анализ размерностей ................................................................... 40 2.6 Задания к контрольной лабораторной работе .............. 51 Литература ................................................................................... 51 3 Введение В данной работе рассматривается математическое исследование, предполагающее построение математической модели, в качестве которой выступает простая функциональная зависимость, позволяющая найти наилучшее значение параметра системы при тех или иных значениях входных величин. Для нахождения этой зависимости представлены два принципиально разных подхода решения одной и той же задачи, когда в первом случае математическое моделирование позволяет описать задачу в виде обыкновенного дифференциального уравнения, решить его и получить выражение, которое может быть использовано в практике инженерных расчетов. И второй подход, когда предполагается, что теоретическое описание модели с помощью дифференциального уравнения не приводит к аналитическому решению. Тогда приходится проводить математический эксперимент и с помощью численного решения вместо аналитической функции получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. При этом возникают новые задачи, во-первых, как этот набор табличных цифровых данных превратить в функциональную зависимость, то есть довести решение до инженерной формулы. Во-вторых, нельзя ли существенно уменьшить общий объем эксперимента без потери точности расчетного выражения. Показано, что для подбора аналитической зависимости может быть использован регрессионный анализ, в частности, его разновидность - метод Брандона. Сокращение количества экспериментов возможно за счет представления переменных в виде безразмерных параметров, что достигается применением анализа размерностей. Познакомить с идеями и подходами наиболее распространенных задач постановки и обработки инженерных исследований, получению практических навыков их применения посвящена данная методическая разработка. При чтении этих указаний предполагается, что читатель работает с программой MathCAD 6 Pro (Маткад) или более поздней версией этой программы и при изучении данного пособия будет выполнять на компьютере предложенные примеры. Основной текст методических указаний предназначен для самостоятельной работы студента (СРС). Контроль выполнения СРС, закрепление полученных знаний при СРС, проводится в виде 4 аудиторных контрольных работ: пункты 1.2 и 2.2 – одна контрольная работа, пункты 2.4 и 2.6 – другая работа. 5 1 Аналитический метод создания математической модели Решим следующую задачу. Капля воды начинает двигаться от конька крыши со скоростью V0, направленной по линии наибольшего ската. Определить угол наклона крыши к горизонту , при котором капля будет стекать с крыши в минимальное время, если расстояние между стенами, поддерживающими крышу, равно b, а коэффициент трения равен f (рис. 1). А x Fтр N R Fдв α С m∙g b α В X Рисунок 1 Данная задача относится к классу задач оптимизационного характера, в которой цель – установление и оптимизация математической модели процесса. С точки зрения теории оптимального проектирования заданы проектные параметры: V0, b, f, . Известно ограничение в виде равенства – перемещение капли происходит по скату крыши, длина которого равна b AB=AC=L= . (1) 2 cos( ) Необходимо создать целевую функцию t(), в которой время стекания t будет функцией угла , и решить задачу по поиску экстремума этой функции. 6 Покажем, что в точке экстремума пока еще гипотетической функции t() будет минимум, а не максимум. Из физического смысла задачи область определения этой функции 0<<π/2, а при =0 и =π/2 время стекания равно бесконечности. Нанесите условно эти две точки на график с осями t и на лист бумаги и далее выполняйте построение кривой, читая рассуждения этого абзаца. Эти точки будет соединять кривая функции t(). Понятно, что все остальные значения этой функции будут меньше тех двух случаев, где функция равна бесконечности. Поэтому кривая из одной бесконечности опустится вниз, а затем вновь поднимется до второй бесконечности, обеспечивая при каком-то значении опт минимальное время стекания tмин. Приступим к построению модели. Для этого используем основное уравнение динамики материальной точки в проекциях на оси неподвижных декартовых координат. Обозначим ось, совпадающую со скатом АВ, через X и выберем начало отсчета в точке А. Тогда дифференциальное уравнение движения капли по наклонной поверхности, рассматриваемого как движение материальной точки, будет иметь вид (в дальнейшем обозначение тригонометрических функций, возведение их в степень будет даваться в обозначениях Маткада) m∙ x = Fдв-Fтр= m∙g∙sin()-m∙g∙cos() или x = g∙(sin()-f∙cos()). (2) Данное уравнение второго порядка может быть решено аналитически или, как еще говорят в этом случае, что оно приводится к квадратурам. Интегрируя уравнение (2), находим (3) x = g∙(sin()-f∙cos())∙t+C1. Из начальных условий: x =V0 при t=0 находим C1=V0. Тогда, уравнение (3) примет вид (4) x = g∙(sin()-f∙cos())∙t+V0. Для дальнейшего интегрирования в уравнении (4) разделим переменные. Получим dx = g∙(sin()-f∙cos())∙t∙dt+V0∙dt. Интегрируя, получаем g (sin( ) f cos( )) 2 x= t +V0∙t+C2. 2 При начальных условиях x=0 при t=0 постоянная интегрирования C2 равна нулю. Следовательно, g (sin( ) f cos( )) 2 x= (5) t +V0∙t. 2 7 В математическую модель, описывающую перемещение материальной точки по наклонной поверхности (5), введем ограничение по перемещению (1) и получим целевую функцию b g (sin( ) f cos( )) 2 = (6) t +V0∙t. 2 cos( ) 2 После того, как задача сформулирована, ее можно решать любым способом. Как видите, уравнение (6) получено и без привлечения Маткада. Однако при интегрировании уравнения (2) можно было бы использовать аналитические (символьные) возможности этой программы. Но не имеет смысла останавливаться на аналитическом методе решения с использованием Маткада, так как это увело бы в сторону от изучаемого вопроса. Отметим только, что для тех, кто добрался до этого места в применении Маткада, это уже не слишком сложно. Уравнение (6) в неявном виде отражает связь между временем стекания капли с крыши t и углом наклона ската . Если зависимость между t и будет выражена уравнением, разрешенным относительно t, то величина t() называется явной функцией аргумента . Данное действие по разрешению уравнения (6) относительно t выполним с помощью Маткада. Введите в Маткад это уравнение с булевым знаком равенства. Выделите переменную t, обратитесь к меню Символика, выберите пункт Решить относительно переменной. Получаем При разрешении уравнения относительно переменной во второй степени Маткад вернул вектор с двумя функциями. В более удобной для использования форме эти функции после преобразований выглядят так (7) 8 (8) Чтобы определить, какая из этих функций нам подходит достаточно нарисовать их графики, что очень легко сделать в Маткаде. Для построения графиков необходимо задаться численными значениями f, b, V0. Рассмотрим вариант, когда f=0, V0=0, b=3. Кроме того, необходимо задаться диапазоном изменения переменной , то есть необходимо найти область определения этих функций. Из физического смысла задачи, как отмечалось выше, изменение определено на промежутке 0<<π/2. Анализируя, в рассматриваемом варианте численных значений f, b, V0, функции (7) и (8) замечаем, что точки разрыва могут быть найдены из условий: cos()=0 и sin()=0. Отсюда, при =0 и =π/2, то есть на концах промежутка имеем точки разрыва (в этих точках функция не определена), а прямые =0 и =π/2 являются асимптотами. Тогда диапазон изменения переменной в Маткаде будет не точно от 0 до 900, а необходимо немного отступить от этих значений, например на 100. Если отступили много и, построив график целевой функции, обнаружили, что в этом диапазоне нет минимума, то это значение подкорректируем. Попутно отметим, что если коэффициент трения не равен нулю, то область определения этих функций изменится. Введите в Маткад (рис. 2) необходимую информацию для построения графика функции (7). Рисунок 2 Функция (7) нам не подходит, так как значения времени в зависимости от угла наклона отрицательны и функция имеет 9 максимум, что противоречит физическому смыслу. Введите в Маткад информацию рисунка 3 для построения графика функции (8). Рисунок 3 Функция (8) нам подходит, так как время положительно и из предварительных рассуждений о виде этой функции мы установили, что она должна иметь минимум. Нахождение минимума этой функции найдем двумя способами. Первый способ, в котором используем непосредственную оптимизацию функции t() и нахождение точки экстремума при помощи функции minerr. Решения выполните по рисунку 4. Функция minerr ищет такое значение аргумента , при котором левая и правая части уравнения, записанного в блоке решения, отличаются друг от друга минимально. На графике (см. рис. 3) проведена горизонтальная линия при значении равном 0.76. Функция t2() ни при каких значениях не достигает этого значения, то есть левая и правая части уравнения не равны друг другу. Рисунок 4 Второй способ, в котором выполним в Маткаде действия для отыскания точки минимума из необходимых условий существования экстремума, то есть из условия равенства нулю первой производной dt 2( ) 0 . Для этого выделите в описании функции t2() d 10 переменную , обратитесь к меню Символика, выберите пункт Дифференцировать по переменной. Получите довольно громоздкое выражение для производной. Для более удобного использования выполните вручную преобразования до выражения (9) и присвойте данной функции имя tt(). (9) Функция tt() лучше смотрится в формате данного текста в двух строчках с переносом на знаке плюс. В Маткаде сложение с переносом на другую строчку выполняется с помощью одновременного нажатия двух клавиш Ctrl и Enter. Выражение, выполненное с переносом на знаке плюс, работает точно также как и сложение без переноса. Перенос имеет редакционное значение. Приравняйте через булево равенство производную нулю в Маткаде и решите полученное уравнение численным методом с помощью функции find (рис. 5). Рисунок 5 Если коэффициент трения и начальная скорость капли равны нулю, то найденный угол =450 (см. рис. 4 и 5) обеспечивает сток воды в кратчайший промежуток времени. Итак, поставленная задача решена. Аналитическим методом получили теоретическую математическую модель (8), описывающую стекание капли (воды) с крыши за минимально возможное время. Однако вернемся вновь к уравнению (6). Часто бывает, что разрешить уравнение относительно функции невозможно или нецелесообразно. Да и нет нужды искать явное выражение, так как существуют математические приемы, приспособленные к изучению уравнений неявно задающих функцию. Поэтому не будем уравнение 11 (6) разрешать относительно времени, а продифференцируем его по переменной , учитывая, что t является функцией от . Получим b sin( ) dt g (cos( ) f sin( )) t 2 =V ∙ + +… 0 2 d 2 cos( ) 2 g (sin( ) f cos( )) 2 t dt ∙ . (10) 2 d Результат дифференцирования уравнения (6) в Маткаде представлен на рис. 6. Получите это выражение. …+ Рисунок 6 Приравнивая производную dt/d нулю в выражении (10), находим в явном виде функцию для времени (12), в которой только одно значение удовлетворяет уравнению (6) и сообщает ему экстремальное значение t, при котором капля воды будет стекать за наименьшее время g (cos( ) f sin( )) t 2 b sin( ) = . (11) 2 2 cos( ) 2 Отсюда b sin( ) t2= . (12) g cos( ) 2 (cos( ) f sin( )) Совместное решение уравнения (6) с уравнением (12) даст точку их пересечения, то есть значение угла, при котором сток воды будет происходить в кратчайшее время. Для этого вносим уравнение (12) в уравнение движения капли (6) b g (sin( ) f cos( )) b sin( ) = 2 2 cos( ) 2 g cos( ) (cos( ) f sin( )) =V0∙ b sin( ) . (13) g cos( ) 2 (cos( ) f sin( )) Выполним преобразование уравнения (13) с использованием таких приемов как умножение и деление обеих частей равенства на одни и те же выражения, возведение обеих частей уравнения во вторую степень, окончательно получим (эти действия не показаны, так как довольно просты, однако обязательно проделать их самостоятельно) 12 4 V02 sin( ) f cos( ) 2 sin( ) ) = . (14) cos( ) f sin( ) g b cos( ) f sin( ) Неявное уравнение (14) является еще одним из вариантов теоретической математической модели, которая определяет угол наискорейшего стекания капли с крыши. Если коэффициент трения равен нулю, то уравнение (14) точно совпадает с уравнением, приведенным в пособии [1] 4 V02 (1-tan()2)2= ∙tan() (15) bg Если и начальная скорость капли равна нулю, то искомый угол из уравнений (14, 15) равен tan()=1. (16) Следовательно, =450. Ранее в решениях (см. рис. 4, 6), нами был найден угол наискорейшего стекания капли с крыши при f=0, и V0=0. Он был также равен 450. Приятно находить подтверждение правильности своего решения из других источников. Хотя и получились одинаковые ответы, однако в математических моделях (8 и 14) отличия есть, и они будут показаны далее. А пока решим более простую задачу. Задано уравнение (16) и необходимо подтвердить решением в Маткаде, что в данном уравнении угол равен 450. Эту задачу можно решить несколькими способами, четыре из которых приведены ниже. Не заглядывая далее в пособие, определите для себя, а как бы вы решали такую задачу. Ниже вам за это будут выставлены оценки. Первое решение. Определим угол через обратную тригонометрическую функцию arctg, которая в Маткаде называется atan. Введите в Маткад информацию, приведенную ниже ( 1 tan( ) Ответ получили в радианах, поэтому в поле ввода единиц измерений введите deg, чтобы получить ответ в градусах Второе решение. Используем меню Символика для нахождения угла. Запишите уравнение (16) в Маткаде с булевым знаком равенства Выделите переменную , выберите пункт Решить относительно переменной из меню Символика и после ввода deg получите окончательный ответ 13 Третье решение. Используем численный метод нахождения решения уравнений с помощью функции find. Четвертое решение. Для решения одного уравнения с одним неизвестным можно использовать встроенную функцию root. Это был небольшой контроль ваших знаний. Если ваши решения в трех случаях совпадают с предложенными четырьмя, то оценка "отлично", если вы придумали один, и он отличается от предложенных, то оценка "отлично". Ну а если вы не остановились и не задумались, то оценка "ноль". 14 1.1 Многократное решение уравнений Предположим, что, используя теоретическое решение (14), необходимо при фиксированном значении f исследовать влияние начальной скорости V0 на угол при разных значениях b. Затем данные исследования оформить в виде графика, на котором должны быть представлены кривые зависимости =f(V0) с параметром b. Учитывая вид уравнения (14), можно отметить, что аналитически выразить значение угла через остальные аргументы V0, b, f, g нельзя. Это легко проверить с помощью Маткада. (Выполните это, используя пункт Решить относительно переменной из меню Символика). Поэтому используем численный метод для нахождения углов. В качестве примера исследуйте изменение угла при фиксированном значении f=0 в диапазоне изменения начальной скорости V0 от 0 до 10 с шагом 0.1, когда параметр b принимает значения b=3, 5, 7, 9, 11. Получите данные для построения первой зависимости при b=3. Задайте первое значение V0=0 и получите в Маткаде решение (рис. 7). Рисунок 7 Этот результат при начальной скорости капли равной нулю нам уже известен. Теперь в блоке решений, приведенного на рисунке 7, необходимо менять значение V0 на 0.1, 0.2, 0.3 и так далее до 10 и каждый раз получать соответствующее значение . В итоге получим таблицу, в которой будем иметь для каждого значения V0 соответствующее значение . Табличные данные можно нанести на график и по точкам этого графика определить тенденцию изменения угла наискорейшего стекания капли в зависимости от начальной скорости. Используя сплайн – интерполяцию или метод наименьших квадратов можно определить функциональную зависимость (V0) и построить ее график, проходящий через найденные ранее точки. Затем получить таким же образом таблицы значений и зависимости (V0) для b=5, 7, 9, 11 и построить их графики. Как видите, это довольно долгий путь исследования и мы его делать не будем. 15 Маткад позволяет интерактивные многократные нахождения в зависимости от V0 заменить вычислением через функцию, которая связана с блоком решения уравнения (рис. 8). Введите данную информацию в Маткад. Рисунок 8 В данном блоке введена функция f(b,V0), которая зависит от аргументов b и V0,. Всякий раз, когда будет вычисляться функция f(b,V0), Маткад подставляет заданные конкретные значения аргументов b,V0 в блок решения уравнений, решает уравнение относительно неизвестного и возвращает найденное значение корня. На рисунке 9 показано, как построить график зависимости угла наискорейшего спуска в зависимости от начальной скорости V0. Обратите внимание, что дискретный нецелочисленный аргумент введен через целочисленную переменную i. Множитель 180/π введен для перевода радиан в градусы. Ниже информации рисунка 8 введите в Маткад информацию рисунка 9 Рисунок 9 В блоке решений на рисунке 8 введите начальное значение =80∙deg. На графике рисунка 9 изменится кривая зависимости угла от начальной скорости. Если будете вводить другие начальные значения углов, то Маткад будет пытаться строить и другие кривые. Как вы 16 думаете, почему появляются на графиках разные зависимости, и какие из них правильные? Попытаемся ответить на этот вопрос. Сейчас мы рассматриваем вариант решения, в котором после алгебраических преобразований уравнения (13), получили компактное и на первый взгляд удобное выражение (14). При преобразовании уравнений необходимо иметь ввиду, что новое уравнение может не быть равносильным предыдущему. Равносильными уравнениями называются такие уравнения, которые имеют одни и те же корни. Особенно важно установить, не могут ли при этих преобразованиях пропасть некоторые старые его корни или появиться новые. Появление новых не так опасно, ибо всегда можно, получив некоторый корень, подставив его в исходное уравнение и непосредственно проверить, удовлетворяется ли оно. После преобразований исходного уравнения (13) получили уравнение четвертой степени относительно переменной , при решении которого получаем четыре корня. В общем случае решения корни уравнения могут быть все вещественными, часть вещественных и часть комплексных или все комплексные, причем число комплексных корней всегда четное количество. Исходя из этого, при решении уравнения (14) имеем два вещественных и два комплексных корня, графики которых и пытается строить Маткад. Из двух вещественных корней выберите тот, который удовлетворяет исходному уравнению (13). (Выполнить самостоятельно). Покажем с помощью Маткада, что у нас при решении уравнения (14) будет четыре корня, два вещественных и два сопряженных комплексных. Нами решается частная задача, в которой коэффициент трения равен нулю. Тогда от уравнения (14) мы переходим к уравнению (15). Решим уравнение (15) относительно tan(), обозначив его через переменную a. Постоянный параметр 4 V02 обозначим через c, тогда получим уравнение (1-a2)2 = c∙a. bg Решите аналитически данное уравнение относительно параметра a. Для этого выделите переменную a, выберите пункт Решить относительно переменной из меню Символика. Получите огромный вектор аналитического решения по размерам не входящий в экран монитора. Выше этого вектора присвойте численные значения параметрам a и c, например, a=1, c=1. Выделите синей рамкой полученный вектор, жмем на клавишу Равно и получаем численный ответ. Получили два 17 вещественных и два комплексных корня (приведены ниже), что подтверждает ранее высказанное. При задании диапазона изменения V0 не через целочисленную переменную Маткад будет находить только вещественные корни (создайте в Маткаде рисунок 10). Рисунок 10 Постройте график изменения угла наискорейшего спуска капли при постоянной начальной скорости V0=0.1 в зависимости от изменения расстояния между стенами b от 1до 10 метров при неизменных других аргументах (рис. 11). Рисунок 11 Окончательно строим графики, на которых представлены кривые зависимости =f(V0) с параметром b (рис. 12) 18 9 11 b=3 5 7 Рисунок 12 Итак, построены теоретические математические модели в виде двух формульных выражений (7, 12), которые связывают аргументы V0, b, f, g с интересующим нас показателем – углом наискорейшего стекания капли с крыши. На следующем этапе расчетные данные теоретической математической модели сравниваются с фактической информацией из соответствующей предметной области. Это сравнение необходимо для того, чтобы убедиться в адекватности модели, в том, что модельным расчетам можно верить, их можно использовать. Если окажется, что результаты расчетов не согласуются с реальной действительностью, то следует вернуться к построенной модели – быть может, она нуждается в усовершенствовании, или были допущены ошибки в теоретических рассуждениях или в расчетах на ЭВМ. Такие сравнения продолжаются до тех пор, пока они не удовлетворят исследователя. Адекватность теоретической модели может быть установлена из инженерного эксперимента и в частности из физического эксперимента, при котором реальный объект заменяется моделью, чтобы удобно было проводить исследования в лабораторных условиях 19 с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на реальный объект на основе теории подобия. В свою очередь, на основе физического эксперимента может появиться своя эмпирическая математическая модель, из которой можно будет находить интересующие нас параметры. А как бы вы стали проводить физический эксперимент, как моделировали бы стекание капли с крыши, какие бы параметры замеряли и записывали в таблицу данных, чтобы потом найти угол наискорейшего стекания капли с крыши? Ответы на эти вопросы будут даны ниже, но попытайтесь на них пока ответить сами. 1.2 Задания к контрольной лабораторной работе 1.2.1 Найти максимум функции на интервале [0,1]. 1.2.2 Построить график зависимости параметра x от параметра k [0.1..1] из уравнения Определить при каком значении k параметр x достигает максимального значения. 20 2 Численный метод создания модели через математический эксперимент Всегда надо стремиться получить теоретические математические модели в виде аналитических уравнений, например, как в нашем случае в виде тригонометрических уравнений (8, 14). Однако при построении математических моделей с помощью дифференциальных уравнений не всегда удается эти уравнения привести к квадратурам. Для решения таких дифференциальных уравнений пользуются приближенными методами, в частности численными методами. Предположим, что дифференциальное уравнение (2) не решается в квадратурах и необходимо определить угол наклона крыши к горизонту , при котором капля будет стекать с крыши в минимальное время. Рассмотрим частный случай, когда f=0, V0=0. Ответ на этот вопрос мы, конечно, уже знаем это =450 и только остается подтвердить его численным решением дифференциального уравнения (2). Прежде чем приступать к численному решению, давайте вернемся к физическому эксперименту и представим себе, как будет выглядеть самая простая модель крыши с каплей. Для моделирования ската возьмем гладкую доску длиной примерно равной длине письменного стола (размеры определены мною из удобства работы за лабораторным столом). Каплю будем моделировать стальным шариком – при его скатывании (не скольжении) по доске коэффициент трения будет близок к нулю. Далее, при начальной скорости равной нулю, будем скатывать шарик с доски при различных углах установки доски к горизонту, где длина скатывания по доске определяется по формуле (1), и засекать время скатывания. Получим таблицу, в которую занесены углы установки доски и соответствующее время скатывания. Из табличных данных с помощью сплайн – интерполяции можно создать функцию (t) и исследовать ее на минимум. В результате получим экспериментальное (эмпирическое) значение угла наискорейшего скатывания шарика с доски. Значение ранее полученного в теоретическом решении угла в 450 должно быть близким к экспериментальному значению угла. Если суть физического эксперимента понятна, то перейдем к математическому эксперименту – численному решению дифференциального уравнения. Фактически физический и математический эксперимент представляют одно и то же, так как 21 физическую модель – доску с шариком, мы заменили математической моделью – дифференциальным уравнением (2), описывающим движение материальной точки по наклонной поверхности. Поэтому методика проведение исследования с помощью математической модели и физической модели будут совершенно одинаковы – необходимо будет из неоднократных решений (испытаний) дифференциального уравнения получить таблицу значений, в которой для разных углов должны найти время перемещения материальной точки по скату, длина которого L зависит от угла, и подсчитывается по формуле (1). Затем, как и в физическом эксперименте, из этой таблицы создать функцию (t) и определить оптимальный угол из ее исследования на минимум. Но сначала необходимо спланировать эксперимент в целом, например, пока неизвестно, при каком значении b будем проводить математический эксперимент. В математическом эксперименте мы не ограничены рамками лабораторного стола или размерами самой лаборатории. Примем b=3 метра. Далее задайтесь диапазоном изменения угла наклона ската от 10 до 80 градусов с шагом изменения углов в 10 градусов и получите первое решение при =100 (рис. 13). Рисунок 13 В итоге решения дифференциального уравнения второго порядка (2) получили таблицу в виде матрицы, где в столбце с индексом 0 находятся значения времени, в столбце с индексом 1 – перемещения, с индексом 2 – скорости. Из таблицы – матрицы необходимо найти время движения вдоль ската длиной L=1.523, однако в таблице есть только большие и меньшие значения перемещений, в частности 1.483 и 1.528. Для нахождения 22 промежуточного значения используйте сплайн – интерполяцию (рис. 14). Рисунок 14 Итак, из математического эксперимента (из первого испытания) нашли, что при угле =100 время движения капли вдоль ската длиной L=1.523 метра составило t=1.338 секунды. Переменную перетащите ниже информации рисунка 14 и дайте ей глобальной присваивание. Назначая поочередно все последующие значения углов (из принятого диапазона изменения), найдите соответствующие значения времени движения капли и занесите их в вектор vt, а значения углов в вектор v (рис. 15). Рисунок 15 После получения данных рисунка 15 хотелось бы проверить их правильность. Еще из школьного курса известна формула свободного падения тела в пустоте S=(g∙t2)/2, где S – путь, пройденный телом, g – ускорение свободного падения, t – время падения. Воспользуемся этой формулой для сравнительного анализа с движением тела по скату при 23 угле =800. Время вертикального падения должно быть немного меньше, чем время движения по наклонной плоскости. Получаем Этот ответ убеждает, что пока все делаем правильно. Используя данные из векторов vt и v создайте с помощью сплайн – интерполяции функцию зависимости времени t от , а затем найдите минимум функции t() (рис. 16). Рисунок 16 Итак, в данном математическом эксперименте мы показали, что при b=3 угол наискорейшего стекания капли равен 450. Теперь необходимо провести такой же математический эксперимент с другими значениями b. Это мы из теоретических решений знаем (выражение (16)), что при f=0, V0=0 угол наискорейшего стекания капли не зависит от b, а из математического эксперимента пока нет. Конечно, дальнейшие решения математического эксперимента при новых значениях b дадут то же самое значение =450. Только после этого можно сделать вывод, что параметр b не влияет на угол наискорейшего скатывания капли с крыши при f=0 и V0=0. 24 2.1 Выполнение параллельных вычислений (многократные вычисления по дискретному аргументу) Любое вычисление, которое Маткад может выполнять с одиночными значениями, он может также выполнять с векторами или матрицами значений. Один из способов осуществления такого подхода – организация вычислений с использованием дискретных аргументов. То, что будет предложено далее возможно реализовать только в системе MathCAD 6 Pro, в последних версиях эта возможность утеряна, то есть фирма разработчик Маткада этот способ вычислений решила больше не поддерживать в своих программах. Изменим несколько задачу. Для случая b=3, V0=0 необходимо получить зависимость влияния на угол наискорейшего стекания капли коэффициента трения при его изменении от 0 до 1.0. Для численного решения выберем шаг изменения коэффициента трения равным 0.1. Если следовать предыдущему решению, изложенному на рис. 13, 14, 15, 16, то при шаге коэффициента трения 0.1 надо будет провести математический эксперимент 80 раз (с каждым коэффициентом трения – их десять, задать восемь раз углы ). Используя возможность Маткада проводить многократные вычисления по дискретному аргументу, мы избежим такого большого объема работы. Зная из предыдущего решения, что угол наискорейшего стекания при V0=0 равен 450, то диапазон изменения углов примем равным от 450 до 800 с шагом 50. Задайте сразу весь диапазон изменения углов в векторе и получите сразу все решения в векторе r (рис. 17). На рисунке даны два варианта ввода дискретных величин. Теоретически варианты одинаковы, однако вариант 1 может давать сбои в расчетах. Отдавайте предпочтение вводу значений дискретных величин по варианту 2. Рисунок 17 25 На рисунке 18 показаны значения вектора r. В первом случае выведено векторное имя r без нижнего индекса. Маткад показывает содержимое вектора – это 8 матриц решений, в каждой из которых 101 строчка и 3 столбца. В верхней строчке вектора r находится матрица решений r0 для угла =450, в нижней r7 – для угла в 800. Рисунок 18 Вместо векторов (см. рис. 14) сформируйте матрицы времени vti,j и перемещений vsi,j. Извлекая поочередно по j данные из этих матриц, создадим с помощью сплайн – интерполяции функцию времени стекания капли в зависимости от перемещения по наклонной плоскости T(х). Вводя в данную функцию конкретные перемещения Lj, найдем соответствующее время перемещения vt. Затем из векторов vt и v с помощью сплайн – интерполяции создаем функцию t(), которая определяет время стекания капли по скату в зависимости от угла его установки (рис. 19). Рисунок 19 26 Перетащите переменную f ниже рисунка 19 и дайте ей глобальное присваивание (рис. 20). Минимум функции t() найдите через функцию Маткада minerr. Графики приведены для контроля вычислений. Рисунок 20 Ниже введите два вектора f и . Затем, задаваясь значениями коэффициентов трения через глобальную переменную f из вектора f, заполните значениями вектор (рис. 21). Значения углов округляйте до целых чисел. Рис. 21 27 Нанесите данные рисунка 21 на график в виде точек маркерами "квадрат" и с помощью метода наименьших квадратов найдите уравнение линейной регрессии, отражающей тенденцию изменения угла наискорейшего скатывания относительно коэффициента трения (рис. 22). 1 – уравнение, подготовленное для дифференцирования по коэффициентам регрессии; 2 – начальные значения коэффициентов регрессии; 3 – производная по коэффициенту a; 4 – производная по коэффициенту dd; 5 – суммарная погрешность отклонения уравнения регрессии от экспериментальных данных, когда коэффициенты не округлены; 6 – суммарная погрешность отклонения уравнения регрессии от экспериментальных данных, когда коэффициенты округлены; 7 – уравнение регрессии для использования в инженерных расчетах. Рисунок 22 – Определение уравнения регрессии методом наименьших квадратов Итак, в результате проведенного математического эксперимента и выполненного регрессионного анализа получили эмпирическую математическую модель (f)=45+24∙f, (17) 28 дающую значение угла наклона крыши к горизонту в градусах в зависимости от коэффициента трения f, при котором стекание воды будет происходить за минимальное время. Данная формула может быть применима, только если начальная скорость V0=0 и расстояние между стенами равно b=3 метрам, а коэффициент трения меняется в пределах от 0 до 1. По этой формуле нельзя подсчитать угол, например, при f=1.5, так как допустима только интерполяция (но не экстраполяция) результатов, то есть недопустим выход за пределы использованных диапазонов изменения параметров в эксперименте. Если возникла необходимость для расчета углов для других значений b и V0 необходимо вновь для этих значений провести такой же математический эксперимент и получить новую формулу. Прежде чем использовать эти формулы необходимо поставить инженерный эксперимент, подтверждающий адекватность их реальной действительности и только после этого можно эти зависимости записать в справочники для практической работы. 2.2 Задание к контрольной лабораторной работе 2.2.1 Получите из математического эксперимента формулу аналогичную выражению (17) для случая, когда b=5, V0=1 для того же диапазона изменения f (см. выше). Сравните ваши результаты с формулой (7 рис. 22) и сделайте выводы о влиянии параметров на угол опт. 29 2.3 Получение уравнения регрессии по методу Брандона Применяя теоретические формулы (8, 14), мы можем менять параметры b, f, V0 и сразу получать необходимое значение угла наискорейшего стекания воды. Далее будем по-прежнему рассматривать вариант, когда у нас дифференциальное уравнение (2) не решается в квадратурах и нам приходится все данные о процессе получать из математического эксперимента. Давайте на основе такого эксперимента с помощью методов регрессионного анализа создадим эмпирическое выражение, в котором, задавая параметры b, f, V0, могли бы подсчитывать значение угла опт, то есть доведем эксперимент до получения инженерной формулы. Справка. Регрессионный анализ – раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным. Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или от нескольких величин [6]. Для проведения эксперимента спланируем его. Воспользуемся методом однофакторного активного эксперимента, когда будем менять один какой – либо параметр при сохранении всех других параметров, влияющих на процесс, постоянными. При такой постановке опытов определение взаимного влияния параметров требует очень большого числа опытов. При проведении математического эксперимента мы это можем позволить себе. Однако необходимо отметить, что данная методика проведения эксперимента может быть применима и к физическому эксперименту. Только необходимо помнить, что в математическом эксперименте мы имеем строгое детерминированное описание процесса, при проведении физического эксперимента имеем дело со случайными величинами, между которыми существует стохастическая (вероятностная) связь. Поэтому физический или в общем случае инженерный эксперимент требует еще статистической обработки результатов. Однако это не означает, что математический эксперимент нельзя анализировать статистическими методами. Чтобы не уйти в сторону от рассматриваемого вопроса мы далее только коротко коснемся использования статистической обработки в регрессионном анализе. Сжато напомним, что статистическая обработка инженерного эксперимента состоит из корреляционного и регрессионного анализа. В 30 частности регрессионный анализ уравнения традиционно заключается в проверке значимости коэффициентов и адекватности уравнения. Для такой проверки необходима дисперсия воспроизводимости, которую можно определить, если каждый опыт в эксперименте повторен несколько раз или поставлен ряд опытов в какой – либо точке. Дисперсии воспроизводимости проверяются на однородность по критериям Кохрена и Бартлета. Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента, адекватность уравнения определяется по критерию Фишера [3]. Вернемся вновь к нашей задаче. После проведения математического эксперимента с различными вариантами параметров b, f, V0 получили данные об угле наклона крыши к горизонту опт, при котором капля будет стекать с крыши в минимальное время. Эти данные сведены в таблицу 1. Таблица 1- Значение угла наискорейшего стекания воды с крыши в градусах Для математического описания процесса, отраженного в таблице 1, используем одну из разновидностей регрессионного анализа – способ последовательного исключения влияния независимых переменных, известный под названием метода Брандона. По этому методу [2, 3] уравнение регрессии создается в виде произведения произвольных функций y = a∙f1(x1)∙f2(x2)∙f3(x3)…fn(xn), где а – среднее значение функции. Последовательность нахождения функций fi(xi), входящих в уравнение регрессии определяется весомостью переменной xi: чем значительнее влияние на y оказывает xi, тем меньше должен быть порядковый номер индекса i. Если же сравнительное влияние переменных x1, x2,…xn выявлено неверно, то это может сказаться на точности расчета по уравнению регрессии. Вид функций fi(xi) выбирается на основе построения графиков экспериментальных данных в виде точек, по расположению которых и определяется 31 тенденция их изменения. Первоначально определяют среднее значение экспериментальных данных a, делят на него все значения yi и получают новые значения y1. Определение первой функции начинается с того, что строится график зависимости экспериментальных значений y1 от одной переменной, например x1. По виду графика полученных точек определяют тенденцию изменения y1 от x1, подбирают подходящую функцию и методом наименьших квадратов определяют коэффициенты этой первой функции. Затем все экспериментальные значения y1 соответственно делят на значения f1(x1) и получают новые значения y2, которые уже не зависят от x1. По точкам новых значений y2, x2 вновь строится график из точек, подбирается вторая подходящая функция f2(x2), и определяются ее коэффициенты. Вновь все значения y2 делятся на значения функции f2(x2) и получают новые значения y3, которые не зависят уже от x2. Такая процедура продолжается до определения всех функций. Перейдем непосредственно к нашему примеру. Введите в Маткад экспериментальные значения углов опт в виде матрицы. Однако Маткад имеет ограничение по вводу размеров массивов при использовании команды Матрицы из меню Математика. Массив не должен содержать более 100 элементов (у нас 108 элементов). Поэтому для создания большего массива используйте функцию augment. С помощью этой функции создайте новый массив, сформированный из двух массивов, ставя их бок о бок (рисунок 23). Рисунок 23 32 Выведите значения матрицы M на экран, задайте текстовым переменным b, f соответствующие значения и расположите их согласно рис. 24. Задайте значения V0 в векторе vo. Получили что-то похожее на таблицу 1. Рисунок 24 Итак, выполним первый шаг в создании уравнения регрессии по методу Брандона. Определите среднее значение угла в эксперименте и, поделив каждое значение матрицы данных M на найденное значение (рис. 25), получите новую матрицу s. Для нахождения среднего значения элементов матрицы можно использовать встроенную функцию mean. 33 Рисунок 25 Второй шаг – нахождение первой функции f1(x1). С этой целью необходимо нанести данные матрицы s на декартов график в виде зависимости от переменной V0. Для этого массив s с помощью программирования преобразуем в один вектор y1, причем все значения в этом векторе расположим в соответствии с изменением переменной V0, а в векторе x1 сформируем 18 раз значения вектора vo. В функции y(s) столбцы матрицы s, а в функции x(v) значения вектора vo программно ставятся друг под другом. В качестве примера вектор x1 выведен на экран (см. рис. 25). Это же самое можно добиться с помощью многократного применения функции stack, которая формирует вектора или матрицы, ставя их друг под другом. Нанесите данные на график (рис. 26). Видно уменьшение y1 в зависимости от x1. Примите линейное приближение и методом наименьших квадратов определите коэффициенты в уравнении прямой линии a1, k1 не с помощью функции minerr, как на рисунке 26, а с помощью функции find. На этом же графике постройте линию функции Рисунок 26 f1(x1) = 1.052 - 0.105∙x1. Если у вас получились другие коэффициенты и 34 ваша функция проходит через экспериментальные данные, то работайте далее с ними. Поделив все значения вектора y1 на f1(x1), получите вектор y2, который не будет зависеть от x1. Создайте с помощью программы xx вектор x2, в котором будут находиться соответствующие значения коэффициента трения (см. рис. 26). Нанесите (рис. 27) на график данные вектора y2 в зависимости Рисунок 27 от вектора x2 или, что то же самое, в зависимости от переменной f. Видна линейная тенденция возрастания y2 в зависимости от x2. Методом наименьших квадратов с помощью функции minerr были найдены неизвестные коэффициенты в уравнении прямой линии. Найдите эти коэффициенты с помощью функции genfit. На графике с корреляционным полем точек нанесите линию функции f2(x2) = 35 0.781+0.439∙x2. Рисунок 28 Поделите все значения вектора y2 на f2(x2) (рис. 28). Получите вектор y3, который не будет зависеть от x2. Создайте с помощью программы xxx вектор x3, в котором будут находиться соответствующие значения b. Нанесите (рис. 29) на график данные вектора y3 в зависимости от вектора x3. Видна криволинейная тенденция возрастания y3 в зависимости от x3. В качестве эмпирического уравнения описывающего Рисунок 29 данную тенденцию выберем дробно-рациональную функцию вида y = 10∙x/(k∙x+a). Методом наименьших квадратов с помощью функции minerr найдены неизвестные коэффициенты в этом уравнении. Вы найдите эти коэффициенты с помощью функции genfit. На графике (см. рис. 29) с корреляционным полем точек нанесите кривую функции f3(x3)= 10∙x3/(9.698∙x3+0.616). После нахождения последней функции получаем из математического эксперимента эмпирическую зависимость угла наискорейшего стекания воды в зависимости от выбранных параметров V0, f, b 10 b опт= 54,445∙(1,052-0,105∙V0)∙(0.781+0.439∙f)∙( ). (18) 0.616 9.698 b 36 Оценим через это уравнение тесноту связи между переменными эксперимента V0, f, b и интересующей нас величиной опт. Мы знаем, что между этими переменными существует функциональная связь (8, 14), которую мы заменили уравнением регрессии (18). Оценить тесноту нелинейной связи можно с помощью корреляционного отношения, которое определяется из выражения [2] 1 , где = 2 ( j ˆ j ) j 2 ( j ) . j Здесь j - расчетное значение угла по уравнению регрессии (18); ̂ j - экспериментальные данные; - среднее значение экспериментальных данных. Значение находится в пределах 0 ≤ ≤ 1. Чем больше , тем сильнее связь. Если = 1, то существует функциональная зависимость между параметрами. Введите информацию рисунка 30 в Маткад. Рисунок 30 Получили значение = 0.988, что говорит о тесной нелинейной связи приближающейся к функциональной. Теперь давайте оценим близость кривой регрессии к экспериментальным значениям через разность (ошибки) между рассчитанными значениями по формуле (18) и соответствующими табличными данными таблицы 1. Эти отклонения нанесем на график остатков (рис 31). 37 Рисунок 31 Если щелкнуть на графике, то увидите, что максимальное положительное значение отклонения достигают 4.6 градуса, отрицательные – 2.8 градуса. Основное количество (76.852 %) остатков группируются примерно около 1,5 градуса в ту и другую сторону. Если вы считаете, что такие отклонения недопустимы, то создайте новую функцию с помощью метода Брандона. Есть несколько причин тому, что имеем достаточно большие отклонения расчетных значений от табличных данных. Одной из них является то, что мы первоначально не выяснили весомость влияния переменных на значение угла наискорейшего стекания воды. В нашем решении было принято, что самое большее влияние на угол оказывает начальная скорость (x1=V0), однако из экспериментальных данных видно (см. табл. 1), что на угол опт самое большее влияние оказывает коэффициент трения. То есть при создании функции типа (18) первоначально должна быть получена зависимость от коэффициента 38 трения f, затем от начальной скорости V0 и затем от параметра b – расстояния между стенами. Кроме того, большие отклонения возможны из-за малого количества экспериментальных данных по влиянию параметра b. Так, для f и V0 диапазон изменения разбит на шесть уровней, то для b всего на три уровня. Если диапазон изменения параметра b разбить на шесть уровней, то общий эксперимент увеличится со 108 экспериментов до 216, то есть в два раза. При математическом эксперименте количество экспериментов не может служить ограничением в его проведении, так как в дальнейшем существенно выигрываем в точности расчетной формулы. Кроме того, из рисунка 29 видна нелинейная зависимость угла от параметра b и чем больше точек возьмем, тем точнее выявим эту нелинейную тенденцию изменения угла от b. Последнее и самое главное – эти ошибки будут присутствовать всегда при обработке любого эксперимента – физического или математического. Не надо забывать, что, обрабатывая экспериментальные данные, мы занимаемся аппроксимацией, то есть упрощаем (заменяем) неизвестную функцию более простой или даже пусть более сложной, но другой. В нашем случае мы попытались аппроксимировать теоретические формулы (7, 12) другим более простым выражением (18). Экспериментальные точки на графиках отражают факты, а кривые, проведенные через эти точки – мнение экспериментатора об этих фактах. Поменяв удачно мнение и предложив для аппроксимации другое выражение, вы сможете несколько уменьшить отклонения от фактов, но практически никогда не сможете сделать их равными нулю. Поэтому представление результатов инженерных экспериментов всегда была одной из самых трудных частей проведения научных исследований. Можно знать о существовании множества сложных взаимосвязей между данными, однако если эти взаимосвязи не выражены в виде графиков, уравнений или словесных описаний, понятных вашим коллегам, то будет лишь напрасно потеряно время. В результате нашего исследования найдена инженерная формула (18), по которой удобно находить угол наискорейшего стекания воды в зависимости от коэффициента трения f, начальной скорости V0 и от параметра b – расстояния между стенами. 39 2.4 Задания к контрольной лабораторной работе 2.4.1 Получите новую зависимость (18) по методу Брандона с учетом высказанных замечаний и того, что угол наискорейшего стекания воды имеет линейную зависимость от параметров f и V0. Оцените точность расчета полученного выражения по графику остатков и тесноту нелинейной связи корреляционным отношением. 2.4.2 Точка A закреплена на конце нити длиной R. Движение точки описывается дифференциальным уравнением g ∙sin(φ) + = 0, R R где g=9.8м/с2, R=0.1м. Какую горизонтальную скорость V0 нужно сообщить точке, чтобы она отклонилась от вертикали на максимальный φ угол φ=300? Известно, что приведенное дифференциальное уравнение не интегрируется в квадратурах, поэтому решить задачу численным методом. Подсказка: из курса теоретической механики известно соотношение V = R∙ . Ответ: V = A V0 0.512 м/с. 2.4.3 Аппроксимируйте функцию y(x)=1/(1+25∙x2) на интервале [-1, 1] с помощью интерполирования многочленом, сплайн интерполирования и подходящей функцией по методу наименьших квадратов. Оцените погрешности аппроксимирования с помощью графиков остатков. 40 2.5 Уменьшение размерностей количества переменных, анализ Анализ размерностей [4, 5] позволяет указать минимальное число и вид безразмерных параметров, от которых зависит изучаемая величина. Для правильного применения анализа размерностей необходимо знать число переменных в эксперименте. Если все переменные известны, то можно сразу же их преобразовать, применив первую часть теоремы Букингема: "Если какое-либо уравнение однородно относительно размерностей, то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций величин". Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбора основных единиц, а безразмерные комбинации представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности сокращаются. Если не удается получить систему безразмерных комбинаций, то это является верным признаком того, что было что-то пропущено. Вторая часть теоремы Букингема формулируется так: "если некоторым уравнением f(A1,A2,…An) = 0 связаны n физических величин A, для описания которых используется k основных единиц, то это уравнение может быть приведено к виду, связывающему n-k безразмерных параметров π, то есть можно записать функцию f(π1,π2,…πn-k) = 0". Так, например, если рассматриваемое явление описывается в общем виде соотношением, связывающем пять каких-то физических величин, и если эти величины выражаются посредством трех основных единиц измерения, то n=5, k=3. Следовательно, n-k=2 и указанная функциональная зависимость может быть представлена в виде функции между некоторыми двумя безразмерными комплексами π1 и π2: φ(π1, π2)=0 или π1=f(π2). Чем меньше параметров, тем проще вести исследование. В этом источник полезных приложений анализа размерностей. Применим к нашей задаче о стекании капли с крыши анализ размерностей. Нам известно, что угол наискорейшего стекания воды зависит от начальной скорости V0, коэффициента трения f, расстояния между стенами b и ускорения силы тяжести g. Вы можете задать 41 вопрос, почему в задачу мы включили постоянную g, которую уж никак нельзя назвать переменной. На этот вопрос можно сказать, что во вселенной на планетах, имеющих значение g больше или меньше данного, стекание воды происходило бы по-другому. Анализ размерностей по своей природе фундаментален и применим ко всей вселенной. Постоянная g необходима потому, что без нее описание системы не будет полным. Опыт применения анализа размерностей показывает, что вопрос о включении g иногда является серьезной головоломкой и для того чтобы, принять правильное решение, необходимо хорошее знание предмета исследования. Итак, в общем виде имеем функциональную зависимость от следующих величин: = φ(V0, b, f, g) или φ(V0, b, f, g, ) = 0 (19) Запишем в системе измерений СИ единицы измерения и размерности величин, входящих в зависимость (19): [V0] = м/с = LT-1; [b] = м = L; [f] = безразмерная переменная; [g] = м/с2 = LT-2; [] = радиан = безразмерная переменная. В данном случае число переменных n=5, число их единиц измерения (длина, время) k=2. Тогда число безразмерных комплексов, описывающих процесс, должно быть равно n-k=3. Конструирование безразмерных параметров πi проведем по правилу, предложенному Релеем. Для этого запишем аргументы в функции в степенях = φ( V0 , b, f, g). (20) Подставляем вместо символов их размерности L0T0 = φ((LT-1),L,(L0T0),(LT-2)). (21) Чтобы данное уравнение было однородным относительно размерностей, должны быть равны показатели степеней при L и T в левой и правой части уравнения (21), отсюда получим систему уравнений 0 = ++0+, 0 = -+0-2∙. Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Выразим две неизвестные через переменную , тогда получим = -2∙, = . 42 Подставляя эти значения показателей степени в уравнение (20), получаем = φ( V02 ,b,f,g). Объединяя члены с одинаковыми показателями степени, получаем безразмерные комбинации g b = φ(( 2 ),f). (22) V0 Пять первоначальных переменных дают три безразмерные комбинации. В связи с тем, что начальная скорость может принимать значение ноль (делить на ноль нельзя), то нам ничего не мешает функциональную зависимость (22) записать в другом виде V02 - ) ,f ). g b Теперь необходимо найти фактическую функцию, определяющую угол наискорейшего стекания воды в зависимости от этих параметров. Такая функция нами была найдена ранее из теоретических рассуждений (14), в которой в явном виде присутствуют все найденные только что безразмерные параметры. Будем по-прежнему считать, что теоретическое решение нами не может быть получено. Поэтому проведем математический эксперимент, используя данные проведенного анализа размерностей, с целью получения инженерной формулы для расчета угла наискорейшего стекания воды с крыши. Зададимся диапазоном изменения безразмерных параметров. Примем изменение коэффициента трения f от 0 до 1 на шести уровнях, то есть с шагом изменения через 0.2. Обозначим безразмерный = φ(( V02 через переменную c. Минимальное значение этого g b параметра cмин = 0, при V0 = 0. Примем максимальное значение V0= 1 м/с, а минимальное значение b=1 м, тогда cмах = 1/9.8 = 0.102. Примем семь уровней изменения переменной c от 0 до 0.102. После проведения однофакторного активного математического эксперимента получим значения углов в радианах. Умножив каждое значение на 180, и разделив на π (здесь π = 3.14..), получим значения углов наискорейшего стекания воды с крыши в градусах. Введите эти данные в матрицу M, а семь значений переменной c поместите в вектор с (рис. 32). Над матрицей в качестве пояснения введены текстовые значения коэффициента трения. параметр 43 Рисунок 32 Для удобства работы с экспериментальными данными, как и ранее на рис. 25, поместите столбцы матрицы M в один вектор y. В векторе x1 поместите соответствующие значения коэффициента трения f, а в векторе x2 - значения безразмерного параметра c (рис. 33). Рисунок 33 Переход к векторам выполнен для того, чтобы каждому значению y поставить те значения x1 и x2, при которых оно было получено. Это будет нагляднее, если создать матрицу, например W, из 44 этих трех векторов и в ней показать это соответствие (воспринимайте ее как таблицу, созданную для объяснения, рис. 34). Рисунок 34 Построим два декартовых графика в виде точек, с данными значения угла наискорейшего стекания капли в зависимости от коэффициента трения f и в зависимости от безразмерного параметра c (рис. 35). Рисунок 35 Из рисунка 35 видим линейную зависимость угла от коэффициента трения и нелинейную зависимость от параметра c. Экспериментальные данные y, x1 и x2 определяют поле точек поверхности, которую мы попытаемся описать уравнением регрессии. Эту поверхность еще называют поверхностью отклика. Ниже на рис. 36 на основе экспериментальных данных построена будущая 45 поверхность отклика. Нелинейность вдоль оси x2 наблюдается и на этом графике. Рисунок 36 Первоначально определите зависимость угла наискорейшего стекания воды в виде линейного уравнения регрессии от параметров x1 и x2 (уравнение (1), рис. 37). Коэффициенты уравнения найдите по методу наименьших квадратов из условия (2 рис. 37). 46 Рисунок 37 Адекватность уравнения регрессии математическому эксперименту будем добиваться повышением степени полинома (многочлена) и оценивать по сумме квадратов отклонений экспериментальных данных от расчетных (уравнение (3), рис. 37). Зафиксируем, что для линейного уравнения регрессии это значение равно 43.697. Чем меньше это значение, тем точнее уравнение регрессии отражает тенденцию изменения экспериментальных данных и тем выше его адекватность эксперименту Оценим также точность расчета углов наискорейшего стекания по разности между значениями рассчитанными по уравнению регрессии и экспериментальными данными. Построим графики остатков (рис. 38). Пусть точность расчета по уравнению должна лежать в пределах плюс-минус один градус. На графиках остатков проведем эти линии и подсчитаем количество точек попавших в этот интервал. Всего у нас 42 экспериментальные точки, значит (см. рис. 38), 14 точек не попадают в этот интервал. Графики остатков можно строить по параметрам x1, x2, y или вообще по i, они будут равноценны (проверить, построив недостающие графики), поэтому далее будем строить какой-либо один из этих графиков. Продолжим совершенствовать наше уравнение регрессии и улучшать его адекватность экспериментальным данным. Рисунок 38 Оценим на точность расчета эффект взаимодействия переменных или как еще их называют факторов x1, x2. Запишем новое уравнение с эффектом взаимодействия (уравнение (1), рис. 39) и по методу наименьших квадратов (уравнение (2), рис. 39) найдите новые коэффициенты в уравнении регрессии. 47 Заметим, что сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от расчетных изменилась незначительно по сравнению с линейным уравнением регрессии (стало 37.375, было 43.697). Рисунок 39 Сравнивая точность расчета углов по уравнению регрессии в сравнении с экспериментальными значениями, устанавливаем, что общее количество точек, входящих в интервал выбранной точности, изменилось на две – было 28, стало 30 (рис. 40). Отсюда делаем вывод, что эффект взаимодействия факторов незначителен, но он есть. Рисунок 40 48 Повысим степень полинома уравнения регрессии до второй и повторим все действия по нахождению коэффициентов уравнения регрессии (рис. 41). Рисунок 41 49 Критерий близости кривой регрессии к экспериментальным данным – минимум суммы квадратов отклонений между экспериментальными данными и рассчитанными по уравнению регрессии изменился существенно по сравнению с линейным уравнением регрессии (стало 6.759, было 43.697). Графически сравнив (рис. 42) разность между значениями углов по уравнению регрессии и экспериментальными значениями, устанавливаем, что все точки остатков находятся в интервале от минус 0.72 до плюс 0.82 градуса. Рисунок 42 Кроме того, получили очень высокое значение корреляционного отношения (0.999), что говорит о тесной нелинейной связи приближающейся к функциональной. Подбор уравнения регрессии может быть продолжен. Надо попробовать еще увеличить степень полинома или выполнить перебор математических моделей другого вида, например, использовать функции типа показательной, дробно-рациональной, логарифмической и так далее. Из их конечного множества следует остановиться на том варианте аппроксимации, которому отвечает минимальное значение 50 минимума суммы квадратов отклонений между экспериментальными данными и рассчитанными по уравнению регрессии. Для нахождения уравнения многомерной полиномиальной регрессии можно использовать встроенные функции Маткада regress и interp. Однако разработчики Маткада в руководстве пользователя [7] не указали порядок следования факторов в полиноме и связанных с ними коэффициентов. Не указали также порядок следования в возвращаемом векторе функции regress значений этих коэффициентов. Решение с использованием встроенных функций приведено (рис.43), но пользоваться им затруднительно. Однако, если вам в явном виде не нужны значения коэффициентов (не нужна инженерная формула), то работать с этими функциями можно, так как функция interp правильно все понимает и конечные результаты расчетов одинаковы с предыдущим (см. рис. 42) – точки на графиках остатков полностью совпадают (см. рис. 43). Рисунок 43 Порядок следования коэффициентов в векторе z становится понятен только после приведенных обозначений коэффициентов и соответствующих им значений из решения на рис. 41. 51 2.6 Задания к контрольной лабораторной работе 2.6.1 Рабочий процесс вентилятора определяют следующие величины: плотность среды , кг/м3; число оборотов в единицу времени n, 1/с; диаметр винта D, м; расход воздуха Q, м3/с; напор H, н/м2; и мощность N, вт. Составьте безразмерные комбинации. 2.6.2 Испытываются насосы по перекачки жидкости. Повышение давления P в перекачиваемой жидкости зависит от следующих величин: диаметра рабочего колеса D, скорости вращения рабочего колеса n, плотности жидкости , объемного расхода жидкости Q. Получить безразмерные комбинации. Литература 1 Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов. В 3т. Т. 2 Динамика /Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1991. - 640 с. 2 Ахназарова С.Л. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии: учеб. пособие для химико - технологических вузов/ Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. – М.: Высш. школа, 1978. – 319 с., ил. 3 Федоров В.Г. Планирование и реализация экспериментов в пищевой промышленности /Федоров В.Г., Плесконос А.К. – М.: Пищевая промышленность, 1980. – 240 с. 4 Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. – М.: Мир, 1972. – 381 с. 5 Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. Т. 1. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1976.- 536 с. 6 Математическая энциклопедия Т. 4 / Гл. ред. И.М. Виноградов.- М.: Советская Энциклопедия, 1984. - 1216 стб., ил. 7 MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95: пер. с англ. – М.: Инф.- издат. дом "Филинъ", 1996. – 712 с. 52
