ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт,
фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны.
Цилиндрические и сферические волны.
Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Глубина проникновения.
Поток мощности. Скорость волны. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой.
Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и
аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.
Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты
Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные
граничные условия Леонтовича.
Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах. Продольное и поперечное
распространение в намагниченной плазме. Обыкновенная и необыкновенная волны.
Эффекты Фарадея и Коттона-Мутона.
Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного
излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.
Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны.
Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление
линии передачи.
Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область
применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.
Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт,
фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны.
Цилиндрические и сферические волны.
Зададим некоторое возмущение, распространяющееся в пространстве, в виде U=U(at–bs), где t –
текущее время; s – пространственная координата, вдоль которой распространяется возмущение, и
продифференцируем 2 раза по t и 2 раза по s:
U
U


 U ( at  bs ) a
 U ( at  bs )b


 (1)
t
 (2)
s


2
2
 U

U
2
2





U
(
at

bs
)
a

U
(
at

bs
)
b


 t2
 s2


сравнивая (1) и (2) и учитывая, что
b2  сек 2  1 , где v – скорость распространения возмущения,

a 2  м2  v2
убеждаемся, что U(s,t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению в частных
производных второго порядка гиперболического типа (уравнению Даламбера), которое принято
называть волновым уравнением:
2 U 1 2 U
 2
0
s 2
v t 2
(1-я каноническая форма).
s
s
Перейдя к характеристическим переменным   t  ,   t  , можем записать уравнение в виде
v
v
2 U
0

(2-я каноническая форма). Эти уравнения описывают распространение возмущения в
пространстве в виде свободных волн. Интегрируя последнее уравнение, находим решение в виде
s
s
суперпозиции двух волн: U( s, t ) = U1 ( )  U 2 ( )  U1 (t  )  U 2 (t  ) , первая из которых является
v
v
уходящей, а вторая – приходящей.
Волны, соответствующие решению однородного волнового
уравнения, называются свободными волнами.
Здесь предполагается, что U изменяется только в одном направлении s, задаваемом единичным
вектором m, тогда s = (mr) (r – радиус-вектор точки наблюдения). В некоторый момент времени t=to
(mr ) 
U() = const, если s = const. Т.к. (mr) = const – уравнение плоскости, то U  t 
 представляет
v 

собой плоскую волну, бегущую в направлении m. Аргумент  определяет фазу волны. Плоскость, на
которой фаза постоянна (фазовый фронт, поверхность равных фаз) перемещается в пространстве со
скоростью v (фазовая скорость).
Если


2
U dt  N , то функция U может быть представлена в виде интеграла Фурье


U( s, t ) 
 i t
 F(s, )e d , где F(s, ) 

1
2

 U(s, t )e
i t
dt (образ). Подставив U(s,t) в волновое уравнение,

2
2
видим что она будет решением, если ее образ F(s,) удовлетворяет уравнению  F k F  0,
(приведенное волновое уравнение или уравнение Гельмгольца). Это уравнение описывает
распространение гармонических свободных волн. Величина k=

v
определяет пространственную
периодичность функции F и называется волновым числом. Решение уравнения Гельмгольца
F(s,  )=A1ei (t  ) e  iks  A 2 ei (t  ) eiks представляет суперпозицию двух гармонических волн c
амплитудами A1, A2 и фазами (t+–ks), (t++ks), бегущих навстречу друг другу. Расстояние,
которое гармоническая волна пробегает за период колебаний Т, или расстояние между точками с
 2 2
одинаковой фазой колебаний называется длина волны . Тогда k= 
. Пусть начальные фазы

v vT 
 и  равны нулю. При А2= 0 имеем уходящую бегущую гармоническую волну F(s,  )=Aei (t  ks ) , а при
А1=0 – приходящую бегущую гармоническую волну
F(s,  )=Aei (t  ks ) . Если А1=А2=А, то
F(s,  )=Aeit  eiks  eiks   2 A cos(ks)eit , т.е. решение представляет собой синфазное гармоническое
колебание, амплитуда которого имеет периодическую пространственную зависимость с
периодичностью /2. Такую ситуацию называют стоячая волна. Точки, в которых F(s) имеет максимум
или минимум называют, соответственно, пучностями и узлами стоячей волны. Расстояние между
соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны ст = /2.
Если волна распространяется в направлении единичного вектора m, можем ввести вектор k = km
(волновой вектор), тогда ks = (kr), и поверхность равных фаз ks = const определяется уравнением
плоскости (kr) = const, нормальной к направлению распространения волны. Если k – вещественный
вектор, то А=const всюду. Такая волна называется однородной плоской волной.
Функция F удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и в том случае, если
k=k+ik но при условии, что |k|2 = k2 – вещественно, т.е. (kk) = 0, а |k|2–|k|2 = k2. В этом случае
 ( k r )
 i (t  ( k r ))
e
решение U(r, t )  U 0 e
описывает неоднородную плоскую гармоническую волну, у
которой поверхность равных фаз и поверхность равных амплитуд – плоскости, ортогональные друг
другу, а скорость меньше, чем у однородной волны с той же частотой и в той же среде.
Для произвольной зависимости от координат однородное волновое уравнение имеет следующий
1 2U
 U 2
 0 . Чтобы плоская волна распространялась в направлении оси х (в
вид
v  t2


  0 , т.е. источником плоской волны
прямоугольной системе координат), должно выполняться
y z
2
является бесконечная плоскость y0z.
1    U  1 2 U 2 U
 2 . Если возмущение исходит
r

r r  r  r 2  2
z


и
волновое
уравнение
имеет
вид

 0,
 z
В цилиндрических координатах  2 U 
от
1 
бесконечного
цилиндра,
 U  1 2 U
 0.
 r

r  r r  v 2 t 2
После
то
несложных преобразований его можно привести к
виду:
2

r U
r
2
 1  
r U
2
v
2
t
2
  0
2
r U . При больших значениях r имеем
r2
Решением этого уравнения является U(r , t ) 
U1,2 (r  v t )

r U
r
2
 1  
r U
2
v
2
t 2
  0.
откуда следует, что поверхность равных фаз –
r
цилиндр, а амплитуда волны убывает пропорционально
r . Такая волна называется цилиндрической.
2

U
1
 2 U . При точечном
В сферических координатах 2 U  1  (r U)  1
(sin

)

r r 2
r 2 sin  

r 2 sin 2   2
2
2
источнике     0 волновое уравнение можно представить в виде:  (r 2U)  12  2 (r U)  0 . Его
r
v t
 
решение –
U
U1 , 2(r  vt )
. В этом случае поверхность равных фаз – сфера, и амплитуда уходящей
r
волны убывает как
1
. Такая волна называется сферической.
r
Литература:
1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.
2. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988.
Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Скорость волны. Глубина
проникновения. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой. Поток мощности.
В средах с потерями (  0) имеем: [H] = iE+E = i ( - i /)E = i  E, где  =  -  =  i /  =
= (1-itg), tg = / - тангенс угла электрических потерь.  = 0отн,; =0отн ;.

отн=
-9
( отн=10
/36 [Ф/м],
410-7[Гн/м] ). Пусть в такой среде вдоль оси z распространяется плоская гармоническая
 2 Hy 2
 2 Ex
2
волна, удовлетворяющая уравнениям:

k
E

0,
+k H y  0 , где волновое число k =
x
 z2
 z2
  оказывается комплексной величиной: k =  (1  itg ) =  - i.. Из соотношения  2 (1–
itg) = ( – i)2, находим:   
волны: Ex=E0 e– ze–i z, Hy=
  
  
2
2
 1  tg   1 ,   
 1  tg   1 . Решение для уходящей
2 
2



E o – z –i z
ee
Zo
Здесь:  – коэффициент затухания,  – коэффициент фазы, Zo – волновое сопротивление
сре
ды Zo 




 (1  itg )
 Zo ei
,
1
2
  arctg(tg ) 

2,
(
0/2</4),
vф=(
/)=1/   cos (/2)
Таким образом, в поглощающей среде амплитуда уходящей волны убывает по экспоненциальному
закону,
уменьшаясь в e раз на расстоянии d=1/, которое называется глубина проникновения (скин-слой),
длина волны =2/ и фазовая скорость vф= / уменьшаются по сравнению с непоглощающей
средой, в среде с электрическими потерями Ну отстает по фазе от Еx на величину  /2 (в среде с
комплексной величиной является  , Ну опережает Еx), поверхность
магнитными потерями, когда
равных фаз совпадает с поверхностью равных амплитуд. Для сред с tg  >>1 (металлы)


2
, /2, v =
1
 
tg
2
,d 
2

1 i
 , ZS= RS  iX S  2 (1  i)   d – поверхностный
импеданс металла. На границе с хорошо проводящей средой используются приближенные граничные
условия: [En] = ZS[n[nH]] - граничные условия Леонтовича.
В среде с потерями поток мощности через единицу поверхности
П=[EH] становится
комплексным.
Мгновенное значение Пz равно
2
E o2  2z
Пz= E o e  2z cos( t- z)cos( t- z -/2) =
[cos2(t-z)cos(/2) + 0.5sin2( t-
e
Zo
Zo
z)sin(/2)]. Первое слагаемое определяет пульсирующий поток, т.е. мощность, переносимую волной,
второе – колеблющийся с удвоенной частотой поток мощности, среднее за период значение которого
равно нулю (часть периода поток мощности направлен в обратную сторону). Скорость переноса
энергии определяется отношением среднего за период потока мощности к средней плотности энергии
vэ = Пср/Wср. В плоской свободной волне запас электрической энергии равен запасу магнитной
E2
Eo2
энергии Wэ = Wм, следовательно Wср= 0,5 Re(Wэ+ Wм) = Re(|  | o e2z e i + 
e 2z ) =
2
4
4|Z |
0
E2
E2
E2
E2
|  | o e2z (cos +1)=|  | o e2z cos2 (/2). Пср=0.5Re( o e 2z e-i/2)= = o e 2z cos /2 .
4
2
Zo
2 Zo
образом, vэ = 1/   cos (/2), т.е.
Таким
при наличии потерь скорость переноса энергии становится
меньше.
Re П,
Im П
На рисунке показана временная
зависимость вещественной
(сплошная линия) и мнимой
(пунктирная линия) частей вектора
Пойнтинга
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
0
0,5T
1.0T
1.5T
2.0T
t
.
Литература:
1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.
2. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988
3. Матвеев А. Н. Оптика.- М.: Высш. школа, 1985.
Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости.
Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.
Плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль z, имеет вид: E = Eoe–  e– i (z –
z
общем случае   ,   . Для плоской волны должно быть: dt –dz = 0, откуда
t),
где в
dz 
  vф –
dt 
фазовая скорость (скорость перемещения фазового фронта). Если , то vф, причем может быть
vф > c. Означает ли это, что можно передать информацию со скоростью, превышающей скорость света
с?
Рассмотрим распространение колебания более сложной формы (сигнал). Пусть в точке z = 0

1
имеется сигнал f(t) с амплитудным спектром f(t ,0)  Re  A( )ei t d . Каждой составляющей

0
спектра соответствует плоская гармоническая волна, следовательно в точке z > 0 имеем:

1
f(t , z )  Re  A( )ei (t   z ) d . Если , можем перейти к пространственному спектру, т.е.

0
dd, тогда f(t , z ) 
1


Re  A(  )ei[ (  )t   z ]d  . Выделим вблизи максимума огибающей спектра с
0
частотой о участок спектра 2  1  2. Пусть  <<0 , тогда
0 
1
f(t , z )  Re  A(  )ei[ (  )t   z ]d  , где 0 = 0 /v0. Этот участок спектра можно рассматривать как

0 
группу волн или волновой пакет. Полагая в первом приближении  (  )  0  d
d
(   0 )  ... и
0
d
i(
t  z )
 i ( t   z ) 



d 0
0
0
используя замену переменной   0   , получаем: f(t , z )  Re e
A(

)
e
d  . Если







интеграл легко вычисляется, и в результате имеем:
A( )  A(  0 ) = const, этот
d


sin(
t  z )  
 2
d 0

f(t , z )   A(  0 )
 cos(0t   0 z   )  F(t , z )cos  ,
d

где множитель в фигурных скобках


tz
d 0


представляет собой огибающую спектра сигнала (амплитуда волны) F(t,z). Максимум огибающей,
1
соответствующий условию
d
t  z = 0, и прилегающая к нему группа волн перемещается в
d 0
пространстве со скоростью v гр 
z d

t d
, которая называется групповой скоростью.
  0
Связь между фазовой скоростью vф и групповой скоростью vгр:
d
 
vф
d (vф  )
dvф
d vф
d vф


d

d , имеем: v 
. т.к.


v гр 
 vф  
 vф  
гр


2
 d vф
d d   

d
d
d
1
. Если
v ф d
d vф
d
 0 , то vгр≠vф и существует дисперсия – зависимость vф от частоты. Если
d vф
d
 0 , дисперсии
нет и vгр= vф.
Виды дисперсии: vгр<vф (vф ~1/ω) – нормальная; vгр>vф (vф ~ ω) – аномальная. Если
v ф и v гр совпадают по направлению – дисперсия положительная, Если v ф и v гр имеют
противоположные направления – дисперсия отрицательная. Отрицательной аномальной дисперсии
быть не может. Если vгр имеет физический смысл, то это скорость переноса энергии.
Дисперсионное уравнение. В произвольных линейных средах без искажений может
распространяться только плоские гармонические волны, удовлетворяющие уравнению (p) = 0, где 
–
линейный
однородный
оператор (для сред,
подчиняющихся
волновому уравнению

2
= 2  12  2 ). Чтобы гармоническая волна сохраняла форму при любой частоте, необходимо, чтобы
с t
в числе решений было решение вида: p = ei t  i (kr). Пусть  переводит р в некоторую функцию q: (
p) = q. Если q0, то p – свободная волна в данной среде. Продифференцируем по t, учитывая
линейность и однородность :
q ( p)

 (i p)  i( p)  i q , т.е. q  qeit , где комплексная
t
t
амплитуда q не зависит от t, но может зависеть от . Подставив p и q в уравнение ( p) = q, получим
уравнение, не зависящее от t, и содержащее  как параметр.
Если продифференцировать по
координатам, получим: q=(p)=(ikp)= ik(p)= ikq, т.е. q=ikq, следовательно, можно
представить q в виде: q=f(,k)ei
t  i(kr)
,
где f(,k) кроме 
коэффициентов оператора. При произвольных  и k
p = ei
и k может зависеть только от
t  i (kr)
не свободная волна, т.к. не
является решением уравнения ( p) = 0. Чтобы определить, какие свободные волны могут
распространяться (имеют право на существование) в данной среде, необходимо выбрать такие  и k,
чтобы f ( ,k ) = 0 . Это уравнение называют дисперсионным уравнением. Каждому значению 
соответствует решение этого уравнения относительно k, и каждому k
– относительно . Для
изотропной среды это уравнение содержит только |k| и его можно привести к виду F( , k ) = 0 –
2
дисперсионное уравнение для данной среды.
Примеры:
а) Дисперсионное уравнение, соответствующее волновому уравнению, есть k2 – 2  c2, где с –
const. В этом случае vф = с,  дисперсии нет.
б) Для волн на поверхности воды потенциал скорости удовлетворяет уравнениям 2 = 0,
 1  2 
i t – i k x – k z
. Получаем дисперсионное уравнение:

 0 . Ищем волну в виде:   е
2
z g t
2
 0 . Отсюда vф= g /, т.е. vф зависит от , следовательно, существует нормальная дисперсия
g
(vф1/).
в) Уравнение поперечного смещения стержня при малых колебаниях имеет вид:
4
    2

 0 , где G – коэффициент изгибной жесткости. Ищем решение в виде: еi t – i k x,
4
2
x
G t

G

получаем дисперсионное уравнение k 4   2  0 , откуда v ô   4
 , т.е. имеется
G
k

аномальная дисперсия (vф).
k
Литература.
1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.
2. Исакович М. А. Общая акустика. - М.: Наука, 1978.
4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля.
Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные
условия Леонтовича.
Пусть плоская волна из среды с параметрами 1 1 падает на плоскую границу раздела со средой,
имеющей параметры 2 2. При этом часть мощности отражается, часть проходит во вторую среду,
вследствие чего возникают отраженная и преломленная волны. Плоскость, содержащая нормаль к
границе раздела и волновой вектор (или вектор Пойнтинга) падающей волны называется плоскость
падения. Чтобы определить соотношения между комплексными амплитудами падающей, отраженной
и преломленной волн, достаточно рассмотреть два частных случая для линейно поляризованных волн:
нормально поляризованная волна (вектор Е нормален к плоскости падения) и параллельно
поляризованная волна (вектор Е лежит в плоскости падения).
1. Нормально поляризованная волна
 – угол падения, – угол отражения,
z
П1
 – угол преломления.
Поле падающей волны:
Е
1
П2 Н2 2, 2
1, 1
Е1 = хоЕ1х Е1х= Епадexp[-ik1(-ycos+zsin)],
Н1
Е
Е2
Н1=( yosin + zocos)H1, H1= пад exp[-ik1(-ycos+zsin)],


Z01
y
компоненты поля отраженной волны:

Е
Е1х=Еотрexp[-ik1(ycos+zsin)], H1= – отр exp[П1
Н1
Z01
k1(ycos+zsin)].
Е1
компоненты поля преломленной волны:
Е
Е2х=Епрexp[-ik2(ycos+zsin)], H2= пр exp[-ik2(ycos+zsin)].
Z02
На границе раздела (у = 0) должны выполняться граничные условия: Е1 = Е2, Н1 = Н2. Для
нормально поляризованной волны имеем: Е1 = Епадexp(-ik1zsin) + Еотрexp(-ik1zsin), Е2= Епрexp(ik2zsin). Чтобы условие Епадexp(-ik1zsin) + Еотрexp(-ik1zsin) = Епрexp(-ik2zsin) выполнялось при
любых z, должно выполняться k1sin = k1sin= k2sin, откуда следует: sin = sin и k1sin = k2sin
– законы Снелиуса.
Е
Е
Е
Учитывая Н1= ( пад – отр )cos и H2= пр cos, запишем граничные условия в виде:
Z02
Z01
Z01

 Е пад  Е отр  Е пр

откуда

(Е пад  Е отр ) Z02 cos θ=E пр Z01 cos ψ
Е отр
Е пад

Z02 cos θ  Z01 cos ψ
 R ,
Z02 cos θ + Z01 cos ψ
Е пр
Е пад

2Z02 cos θ
 Т
Z02 cos θ + Z01 cos ψ
,
где R и T – коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны. (R – коэффициент
отражения, T – коэффициент прохождения). Согласно закону сохранения энергии R2 + T2= 1.
Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:



i k ( y cos  z sin )

i k1 y cos
 i k1 y cos
 i k1 z sin 
 R e
)e
E 2 x  E 0 T e
E1x  E 0 (e

E 0 T sin i k ( y cos  z sin )

E 0 sin  i k1 y cos

e
(1)
(e
 R  e i k1 y cos )e i k1 z sin H 2 y 
H1 y 
Z
Z
02

01

,
,

E 0 T cos i k ( y cos  z sin )

E 0 cos  i k1 y cos
 i k1 y cos
 i k1 z sin 
H

e

2z
(e
 R e
)e
H1z 
Z02


Z01

2
2
2
2. Параллельно поляризованная волна
Поле падающей волны:
Н1 = хоН1х Н1х= Нпадexp[-ik1(-ycos+zsin)], Е1=(yosin + zocos)Е1, Е1= НпадZ01exp[-ik1(-ycos+zsin)],
компоненты поля отраженной волны:
z
П2 E2
H2
2, 2

П1
H1
1, 1
E1

y

П1
E1
H1
Н1х=Нотрexp[-ik1(ycos+zsin)], Е1= НотрZ01 [k1(ycos+zsin)].
компоненты поля преломленной волны:
Н2х=Нпрexp[-ik2(ycos+zsin)],
Е2=
НпрZ02exp[ik2(ycos+zsin)].
На границе раздела (у=0) для любых z должно выполняться
Нпадexp(-ik1zsin) + Нотрexp(-ik1zsin) = Нпрexp(-ik2zsin),
Откуда следуют законы Снелиуса: sin = sin и k1sin =
k2sin.
Учитывая Е1= (НпадZ01+ НотрZ01)cos и Е2= НпрZ02cos, запишем граничные условия для
параллельно поляризованной волны в виде:
Н отр Z01 cos θ  Z02 cos ψ

 Н пад  Н отр  Н пр
откуда

R ,

Н пад Z01 cos θ + Z02 cos ψ

(Н пад +Н отр ) Z01 cos θ = Н пр Z02 cos ψ
Н пр
Н пад

2Z02 cos θ
Т ,
Z01 cos θ + Z02 cos ψ
где R и T – коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны. (R – коэффициент
отражения, T – коэффициент прохождения). R2 + T2= 1.
Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:
Н1x  Н 0 (ei k1 y cos  R e  i k1 y cos )e i k1 z sin
 Н 2 x  Н 0T ei k 2 ( y cos  z sin )



i k y cos
 R e i k1 y cos )e i k1 z sin  ,  E 2 y  H 0 Z02T sin ei k 2 ( y cos  z sin ) ,
Е1 y  Н 0 Z01 sin  (e 1


i k1 y cos
i k 2 ( y cos  z sin )
 R e i k1 y cos )e i k1 z sin 
E1z  H 0 Z01 cos  (e
 E 2 z  H 0 Z02T cos e
(2)
Для диэлектриков 1= 2= 0, и коэффициенты Френеля можно записать в виде:
2
2
cos θ
cos θ
n1 cos θ  n 2 cos ψ
n2
n 2 cos θ  n1 cos ψ
n2
,
R 
Т 
, R 
, Т 
n1 cos θ + n 2 cos ψ
n1 cos θ + n 2 cos ψ
n 2 cos θ + n1 cos ψ
n 2 cos θ + n1 cos ψ
где n1 = 1 , n 2 =  2 – показатели преломления первой и второй среды, соответственно.
Анализ этих выражений показывает, что для параллельно поляризованной волны существует угол
n
ε2
падения Б = /2 – , при котором R||=0. Этот угол, определяемый из соотношения tgБ= 2 
,
n1
ε1
называется угол Брюстера или угол полной поляризации, т.к. при падении под углом Б на границу
раздела волны с произвольной поляризацией отраженная волна становится нормально
поляризованной, т.е. имеет линейную поляризацию.
Из закона Снелиуса sin  =
n1
sin θ следует, что в случае n1>n2 (волна надает из более плотной
n2
среды) существует критический угол падения кр, при котором sin =1. Если  >кр, то sin >1 (это
возможно, если  мнимая величина), и cos = 1  sin 2  также становится мнимой величиной. В этом
случае поле во второй среде имеет характер неоднородной плоской волны (боковой волны), скорость
которой меньше скорости света, амплитуда в направлении нормали к границе раздела убывает по
 k y ch
закону e 2
, т.е. вдали от границы раздела поле отсутствует, энергия переносится вдоль границы.
Это явление называется полным внутренним отражением.
При падении волны из свободного пространства на границу раздела с хорошо проводящей
средой, у которой tg1, sin  1, т.е. тангенциальные компоненты поля на поверхности проводника
непрерывно переходят в поперечные компоненты поля уходящей вглубь проводника волны.
Соотношение между ними можно записать в виде Е=Zos[Hyo], где Zos – поверхностный импеданс
проводящей среды, yo – орт нормали к границе раздела. Это импедансное граничное условие называют
приближенным граничным условием Леонтовича.
Литература.
1. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио, 1971.
2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989
Волны в анизотропных средах
Для изотропных сред, свойства которых не зависят от направления, B = H и D = E, где  и  скалярные величины, следовательно: Bx= Hx, By=Hy, Bz=Hz, Dx= Ex, Dy=Ey, Dy=Ey. Существуют
анизотропные среды, которые в разных направлениях имеют различные свойства, т.е. связь между
проекциями векторов B и H или D и E описывается соотношениями
Bx= xxHx+ xyHy + xzHz, By= yxHx+ yyHy + yzHz, Bz= zxHx+ zyHy + zzHz, .
Dx= xxEx+ xyEy + xzEz, Dy= yxEx+ yyEy + yzEz, Dz= zxEx+ zyEy + zzEz, .
Формально эту связь принято представлять в виде
и
, где
и
являются
тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости, соответственно:
В природе неизвестны вещества, у которых
 xx ,  xy ,  xz 
  xx ,  xy ,  xz 
одновременно  и  имеют тензорный характер,




поэтому в дальнейшем будем рассматривать
   yx ,  yy ,  yz 
    yx ,  yy ,  yz 
вещества, обладающие или диэлектрической или
 ,  ,  
 ,  ,  
магнитной анизотропией.
 zx zy zz 
 zx zy zz 
Типичными представителями анизотропных сред являются намагниченные плазма и феррит.
Плазма - электрически нейтральный газ, в котором значительная часть атомов или молекул
ионизирована
Под действием электрического поля на каждый электрон действует сила Fk= –Eeo (кулоновское
взаимодействие). Если движущийся со скоростью v электрон находится в постоянном магнитном поле
Н=, на него действует сила Лоренца Fл = –eoo[vH=], вследствие чего электрон получает также
вращательное движение. В этом случае уравнение движения электрона имеет вид:
mo
d 2r
dt
2
 eo E  eo μ o
[ ddtr H], где r – смещение электрона относительно исходного положения, mо
и eо – масса и заряд электрона. При смещении электрон приобретает электрический момент p = reo.
Пусть H== zoH= и E=Eeit. Решение ищем в виде r = reit. Если N – концентрация электронов, то
электрический момент единицы объема (вектор электрической поляризации) Ре=Nreo. Тогда
уравнение движения для единицы объема (без учета столкновения электронов):
–
2moPe=NeoE–ieooH=[Pezo]. Обозначив m= oeoH=/mo – частота гиромагнитного резонанса
вращения электрона) и o = eo2N  mo o – критическая частота плазмы, имеем
(частота
 ε x i b 0 
ω2
ω
 P e  ε o o E  i m [P ez o ] .
e
Учитывая, что D=P +oE, получаем: D  ε E , где ε   i b ε x 0  , ε z
ω
ω2
0 0 ε 
z

 ω2 
 1  o  ,
 ω2 



ω2 
ω 2o ω m
ε x  εo  1  2 o 2  , b  ε o
. При изменении направления Нz меняется знак b.
 ω  ωm 
ω(ω 2  ω 2m )
Продольное распространение плоской волны в намагниченной плазме
При продольном распространении (вдоль H=) d  d  0 . Решение ищем в виде плоских
dx
гармонических волн: Ez=Hz=0, Ex,y=E0x,y e–ikz, Hx,y=
E0 y, x
Z 01, 2
[H]=i E, [E]=–iH, имеем систему уравнений:
dy
e–ikz. Подставляя в уравнения Максвелла
E
–ik E 0 x = –i(xE0x–ibE0y) , kE0y=  0 y ,. из второй пары уравнений k= /Z01, k= /Z02.
Z 01
Z 01
E
ik E 0 y = i(ibE0x+xE0x),
kE0x=  0 x
Подставляя в первую пару, получаем
Z 02
Z 02
(k2–2xo)E0x= –i2boE0y
откуда следует Е0y= iE0x и дисперсионное уравнение:
(k2–2xo)E0y= i2boE0x
(k2–2xo) = 2bo или k1,2 =   о (ε x  b) , Z01,2=
,
o
(ε x  b )
.
Таким образом, получили два решения, следовательно в намагниченной плазме одновременно
распространяются две волны с волновыми числами k1=  о (ε x  b) и k2=  о (ε x  b) , имеющие
разные волновые сопротивления Z01 =
Ex1=E01cos(t–k1z)
Ey1=E01sin(t–k1z)
Hx1= – E 01 sin(t–k1z)
o
(ε x  b )
и Z02 =
o
(ε x  b )
:
волна круговой
поляризации левого
Ex2=E02cos(t–k2z)
Ex2=E02sin(t–k2z)
волна правого вращения,
при x=b, k2  0, поэтому ее
вращения
H02= E02 sin(t–k2z)
называют необыкновенная волна.
Z02
Z01
ω2
0
k1=ko 1  ω(ω ω )
m
Hy1= – E 01 cos(t–k1z)
Z01
Hy2= E02 cos(t–k2z)
Z02
ω2
0
k2=ko 1  ω(ω ω )
m
Необыкновенная волна при   m исчезает вследствие резонансного поглощения (явление
гиромагнитного резонанса). Полное поле можно представить в виде: Еx=Ex1+Ex2=2Eocos[0.5(k1–
k2)z]cos[t–0.5(k1–k2)z], Еy=Ey1+Ey2=2Eosin[0.5(k1–k2)z]cos[t–0.5(k1–k2)z], в каждый момент времени
Еx и Еy синфазны, угол наклона вектора Е относительно оси x:  = arctg(Ex/Ey) = 0.5(k1–k2)z, т.е. поле
имеет линейную поляризацию, но плоскость поляризации медленно вращается при распространении
волны. Это явление называется эффект Фарадея. Угол, на который поворачивается плоскость
поляризации при прохождении волной единицы длины ! = 0.5(k1–k2), называется постоянная
Фарадея. Среды, в которых наблюдается эффект Фарадея, называются гиротропными (вращающими).
Этот эффект невзаимный, т.к. при изменении направления Н= меняет знак b. Поскольку Z01 Z02, поле
Н имеет эллиптическую поляризацию.
Поперечное распространение в намагниченной плазме
При поперечном распространении (вдоль оси х)
d
d

 0.
dz
dy
Тогда уравнения Максвелла имеют
вид:
0 = i(xEx–ibEy)
d Hz
= i(ibEx+xEy)
dx
d Hy
dx
= izEz
d Ez
= ioHy
dx
d Ey
dx
= ioHz
Hx = 0
Ищем решение в виде Ex,y= E0x,yeikx. Подставляя в уравнения
Максвелла, получаем две системы уравнений, описывающих
поведение двух волн:
дисперсионное уравнение для этой волны: k2 = 2zo или k об  ω ε z μ o . Эта
kE0z = oH0y волна «не чувствует» постоянного магнитного поля и называется обыкновенной.
1
Волновое сопротивление обыкновенной волны Zоб= μ 0 , фазовая скорость – vоб =
.
ε zμ o
εx
kH0y = zE0z
kE0y = oH0z
Эта волна кроме поперечной имеет продольную составляющую вектора Е,
причем
kH0z = (ibE0x+ xE0y)
E0x находится в квадратуре с E0y, т.е. вектор Ен вращается в плоскости x0y.
xE0x = ibE0y
Исключая E0x и H0z, получаем дисперсионное уравнение для этой волны:
2
k2
н  ω μo
ε 2x  b 2 , откуда
εx
kн = ω μ о
ε 2x  b 2
. Вследствие таких особенностей эта волна
εx
называется необыкновенной. Волновое сопротивление для необыкновенной волны Zн=
μ0 ε x
2
ε2
xb
,
εx
фазовая скорость – vн =
μ 0 (ε 2x  b 2 )
При отсутствии потерь вектор Пойнтинга имеет вещественную

продольную составляющую и мнимую поперечную. Учитывая ε x  ε o 1 


,
2
2 
ω  ωm 
ω o2
b  εo
ω o2 ω m
ω(ω2  ω 2m )
видим, что при  m, x  – ∞, vн  0,
т.е. эта волна исчезает (поперечный магнитный резонанс).
При поперечном распространении (для   m) полное поле H = y0Hоб + z0Hн, E = z0Eоб + Eн.
Н
H
Поскольку об  0 y ei (k н  k об ) x и kн  kоб , при поперечном распространении волны периодически
Hн
H0z
меняется вид поляризации. Это явление называется эффект Коттона- - Мутона.
Аналогичные явления имеют место и при распространении волн в намагниченном феррите –
веществе, обладающем магнитными свойствами ферромагнетиков (отн=510000) и электрическими
свойствами диэлектриков (отн=520). В магнитном поле магнитная ось атома прецессирует вокруг
направления поля Н=, вследствие чего магнитная проницаемость феррита становится тензором
μ x

μ̂   i α
 0

iα
μx
0
0 
,
0 
μ o 

где μ x  μ x 1 


ωωo
ω m ω o  ,
. Для получения выражений, описывающих
 = о 2
ω  ω 2m
ω 2  ω 2m 
поведение волн в феррите, достаточно воспользоваться принципом двойственности, т.е. в выражениях
для плазмы сделать взаимную замену: H  E,   – .
Литература. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио, 1971.
Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя.
Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.
Излучение – процесс преобразования энергии источника в энергию свободных волн. Математически задача
сводится к решению неоднородного волнового уравнения. В случае электромагнитных волн удобнее
e
e
m
m
e
m
ст e
ст m
использовать векторные потенциалы: 2A + k2A = –j , 2A + k2A = –j , где A и A – электрический и
ст e
ст m
магнитный векторные потенциалы, j и j – объемные плотности электрических и магнитных сторонних
токов, заданных в объеме Va. Используя метод функции Грина, запишем решение в виде:
A( x, y , z ) 
1
4
 j( x, y, z)
Va
e ik r
dxdydz ,
r
(1)
где x, y , z – координаты точки наблюдения, x, y , z  – координаты точки источника, r– расстояние от точки
источника до точки наблюдения. Для вычисления компонент поля используются соотношения:
Е = i Ае + (i )–1(Ае) – Ам , Н = iАм + (i )–1(Ам) + Ае
(2)
Если rо и r радиус-векторы точки наблюдения и точки источника, то r  ro  r  ro2  r2  2ro r cos  , где  –
угол между rо и r. При rо  r, разложив в ряд Тейлора, имеем: r = rо– rcos + (r2sin2)/2ro+( r3cossin2)/2
r2о+ … .
В зависимости от расстояния до точки наблюдения используются
разные приближения:
z


r
ro
jст r
y

Va
x

а) при r  r, дальняя зона (зона Фраунгофера) в показателе
экспоненты используется первое приближение: r  rо– rcos.
Минимальное значение rмин, (граница дальней зоны) начиная с
которого можно пользоваться этим приближением, определяется из
условия (r2sin2)/2ro/8, откуда следует rмин 2L2  , где L –
максимальное значение r (размер излучателя),  – длина волны. В
этом случае учитывая, что rcos= xsin cos +ysin sin +zcos =
rsin sin cos(–)+cos cos),
выражение (1) имеет вид
A  ( x, y , z ) 
eik r
j( x, y, z)eik ( xsin cos +ysin sin  zcos ) dxdydz .
4 r Va
–2
–3
При вычислении Е и Н по формулам (2) отбрасываются слагаемые, пропорциональные r и r . Тогда Е= –
е
м
е
м
ik(оА +А ), Е=–ik(оА +А ), Еr=0; Н= Е  о, Н= –Е  о, Нr=0; где о– волновое сопротивление среды;
А=Аxcos cos+Аycos sin +Аzsin , А= –Аxsin +Аycos, Аr=Аxsin cos+Аysin sin + Аzcos.
В общем случае поле в дальней зоне можно представить в виде: Е= Ео
e  ik r
f(,)p(,)ei(,). Таким образом, в
4 r
дальней зоне а) поле поперечно; б) в окрестности точки наблюдения Е=НZо, Е=НZо, т.е. поле имеет характер
плоской волны; в) в общем случае поле имеет эллиптическую поляризацию, которая определяется векторной
 ik r
функцией p(,) (поляризационной характеристикой); г) зависимость поля от расстояния e
, т.е. поле
4 r
является суперпозицией сферических волн; д) угловое распределение в дальней зоне не зависит от r и
определяется функцией f(,), которая называется амплитудная диаграмма направленности (зависимость
амплитуды поля от направления в дальней зоне при фиксированном расстоянии). Форма диаграммы
направленности (ДН) характеризуется направлением максимума о,о, шириной главного лепестка (на уровне
половинной мощности) 0,5, 0,5 и уровнем боковых лепестков УБЛ (отношение амплитуд максимально
бокового лепестка и главного); е) поток мощности Пr=(|Е|2+|Е|2)/2о, Im П=0; ж) форма поверхности равных
фаз зависит от фазовой диаграммы направленности (,), и не всегда является сферой с центром в начале
координат. Если поверхность равных фаз сфера, то ее центр называется фазовым центром излучателя.
При r  2L2   дальняя зона переходит в промежуточную зону (зону Френеля). При расчете полей делаются
следующие приближения: в знаменателе r = rо, в показателе ехр r= rо– rcos + (r2sin2)/2ro, тогда
Ap (θ,j,r) 
eikr
r2
j exp[ik(r cosα  sin 2 α)]dv . Расчет Е и Н делают по тем же формулам, что и в дальней зоне, заменив

4πr Va
2r
А на АФр.
В зоне Френеля свойства поля а), б), в) и е) сохраняются, однако: поле не является сферической волной, т.к. на
монотонную зависимость 1/r накладывается осциллирующее затухающее колебание; угловое распределение
становится зависящим от r, т.е. форма ДН зависит от расстояния. Границы зоны Френеля:
При r
L L

4 2
L L3 L
2 L2

 rp 
.
4 2 

L
начинается ближняя зона. В этом случае расчет полей ведется по точным формулам (1) и (2),

однако получить аналитические выражения для полей удается лишь в некоторых частных случаях. В ближней
зоне Еr  0;
3
Нr  0, Н  Е  о, Н  – Е  о, следовательно, П  0, П  0 и Im П  0, т.е. появляется колеблющаяся
мощность, вследствие чего вблизи излучателя создается запас энергии.
Диаграмма направленности линейного излучателя с бегущей волной тока.
е
Пусть вдоль оси z расположен линейный излучатель длиной L с бегущей волной тока I oze–iz(x–0)(y–0).
 ikr
В этом случае Aez  Io e
4 r
L/2

e
i ( k cos   ) z 
е
е
е
dz . В дальней зоне имеем: А = –А zsin, E= –ikZoА =
L/ 2
ik Zo Io e  ikr
f(),
4 r
kL
kL
(cos   cos  o )]
sin[ (cos  cos o )]
2
2
=fэ()fc(). (fэ()=sin – множитель элемента, fc()= kL
–
kL
(cos   cos  o )
(cos  cos o )
2
2
sin[
где f()=sin
множитель системы, cosо=  k – направление максимума ДН). При L> быстрее изменяется fc(), поэтому
рассмотрим зависимость множителя системы от скорости волны тока, определяемой значением . Введем
величину =kcos, имеющую смысл пространственной частоты (–), тогда
L
sin[ (   o )]
2
f()= L
.
(   o )
2
F()
0.
5
0
90
=0
-0.5
-6 -5 -4 -3 -2 -
0

2
3
4
5
L/2
270
90
F()
0 k
0.
5
0
0
180
-0.5
0
-6 -5 -4 -3 -2 -

2
3
4
5
L/2
270
90
F()
=k
0.
5
0
-0.5
0
180
0
180
0
-6 -5 -4 -3 -2 -

2
3
4
5
L/2
270
90
F()
0.
5
0
-0.5
k
0
180
-6 -5 -4 -3 -2 -
 =–k
0

2
=k
3
4
5
L/2
270
На рис. показаны нормированные
fс() и соответствующие ей fc()
для различных значений .
Пунктирными линиями
обозначены границы области
видимых углов, когда ||k
(cos1). Область,
соответствующая ||k,
называется областью мнимых
углов, т.к. при этом cos1.
Видно, что уменьшение скорости
волны тока приводит к
смещению максимума ДН от
нормали к оси излучателя. Если
скорость волны тока меньше
скорости света (k), большая
часть энергии “излучается” в
область мнимых углов, т.е.
отсутствует в дальней зоне и
находится вблизи излучателя.
Для
синфазного
излучателя
о
0,5=51  / L, УБЛ=0.21.
Излучение волн плоским раскрывом (апертурой)
Пусть на прямоугольной площадке, расположенной в плоскости x,y задано распределение поверхностных
e,m
токов J (x, y). В дальней зоне A
e ,m

e  ikr
J e ,m ( x, y )eiuxivy dxdy  , где u = ksincos, v = ksinsin, S
4 r S
e
m
= ab – площадь раскрыва. Тогда E= –ik(ZoA ycossin – A xsin) =


e  ikr
ik
sin   Z o cos   J ey eiuxivydxdy    J mx eiuxivydxdy   ,
4 r
S
S


e
m
E= –ik(ZoA ycos– A x coscos)= ik


e  ikr
cos   Z o  J ey eiuxivydxdy   cos   J mx eiuxivydxdy   . Если
4 r
S
 S

источником излучения
является поверхность с заданным на ней распределением электромагнитного поля, например раскрыв
e
m
m
а
рупорной антенны, то согласно принципу эквивалентных токов J =[Hn], J = – [En]. В этом случае J x= E y,
e
а
а
а
а
J y= – H x= – E y/Zф (здесь
Zф= E y/H x – сопротивление фронта волны, возбуждающей раскрыв) и
выражения для полей имеют вид:
Z

eikr
sin   0 cos  1  Eay ( x, y)eiuxivydxdy,
4 r
 Z
S
 ikr
Z

e
E  ik
cos   0  cos   E ay ( x, y)eiuxivydxdy,
4 r
 Z
S
E  ik
Таким образом, излученное поле является суперпозицией сферических волн, имеет в общем случае
эллиптическую поляризацию и диаграмма направленности излучателя может быть представлена в виде
Z
произведения множителя элемента на множитель системы: f(,) = fэ (,)fc(,), где fэ () = 0 cos   1 при
Z
 = 0, и fэ () = cos  
а
Z0
при  = 90о, т.е. при Zф  Z0 ДН элемента излучающей поверхности имеет форму
Z
а
а
кардиоиды. Если E y(x,y) = E 1y(x)E 2y(y), то множитель системы fc(,) =
E
S
a
y
( x, y )eiuxivydxdy  =
E
a
y
( x , y )eiuxdx 
S
E
a
y
( x , y )eivy dy  , и при равномерном синфазном распределении поля в раскрыве
S
 ka

 kb

a
b
sin  cos   sin 
sin  sin  
u sin v sin 
2
2




2 
2 
.
a
b
ka
kb
u
v
sin  cos 
sin  sin 
2
2
2
2
sin
fc(,) =
Литература
1. Марков Г. Т., Петров Б. М., Грудинская Г. П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.:Сов.радио,1979.
Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая
частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии
передачи.
Плоские однородные волны – простейший тип волнового процесса. При наличии границ
возникают неоднородные плоские волны, распространяющиеся вдоль этих границ, т.е. возникают
плоские направляемые волны. Это делает возможным передачу энергии на большие расстояния с
минимальными потерями. Варианты конструктивного исполнения направляющих систем (линий
передачи) приведены на рисунке.
симметричные линии
несимметричные линии
волноводы
однопроводная линия
Будем считать эти системы продольно однородными (их свойства сохраняются в одном
прямолинейном направлении, например, вдоль оси z). Свободные плоские гармонические волны,
способные распространяться в направляющей системе, определяются из однородных уравнений
Гельмгольца: 2Е + k2E = 0, 2H + k2H = 0. В отличие от плоской волны в неограниченном
пространстве, в направляющих системах могут существовать неоднородные плоские волны, имеющие
продольную составляющую поля Еz или Нz. Связь между продольными и поперечными
составляющими поля определим, используя метод разделения переменных, т.е. полагая Е =
Е(x,y)exp(iz), H = H(x,y)exp(iz). Здесь  – продольное волновое число, определяющее скорость
распространения волны вдоль z. Для поперечных компонент поля имеем 2Е+ (k2– 2) E= 0, 2Н+
(k2– 2) Н= 0, где (k2– 2) = 2 – поперечное волновое число, k2 = 2,  и  – параметры среды,
заполняющей линию передачи. Используя координатную запись однородных уравнений Максвелла
относительно комплексных амплитуд Е и Н, имеем:
rot H = iE
 Hz
y
затем
rot E = –iH
+ iHy = iEx
 Ez
y
iEx+
+ iEy = –iHx
 Ez
x
решая относительно Еx и Нy, а
= iHy
 Hz
x
iHx +
= – iEy
относительно Еy и Нx ,
получаем систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие поля:
Ez
 Hz
 i
,
x
y
Ez
 Hz
  2 E y  i
 i
,
y
x
  2 E x  i
 Hz
Ez
 i
y
x
Hz
Ez
  2 H x  i
 i
x
y
  2 H y  i







полагая E┴ = xoEx+ yoEy и H┴ =
xoHx+ yoHy ,
в векторной форме имеем:
т.о.,
для
нахождения структуры поля достаточно решить  Еz+  Ez = 0 и  Hz+  Hz = 0. В зависимости от
структуры поля направляемые волны делятся на
  2 E   igrad  E z  i[z o , grad  H z ],
  2 H   igrad  H z  i[z o , grad  E z ] ,
2
2
2
2
поперечные – ТЕМ или Т волны (отсутствуют продольные составляющие поля),
электрические – ТМ или Е волны (имеется продольная составляющая электрического поля),
магнитные – ТЕ или Н волны (имеется продольная составляющая магнитного поля),
гибридные – ЕН волны (имеется продольные составляющие электрического и магнитного поля).
Критическая частота: для волн Е и Н типа из 2 = (k2– 2) следует, что   k 2   2 является
вещественной величиной, если
  k, в этом случае Е  exp(–iz), т.е. амплитуда волны,
распространяющейся вдоль z остается постоянной и меняется только фаза. Если  > k, то  – мнимая
величина, следовательно, постоянной остается фаза и по экспоненте убывает амплитуда. При = 0
имеем:  = k = 2fкр  , где fкр=  /2  – критическая частота, которой соответствует
критическая длина волны кр=2/. Таким образом, длина
2




 
1 
  кр





2
,

фазовая скорость vф = 

с
 
1 
  кр





2
волны в направляющей системе
ча энергии по волноводным
, и переда
линиям (трубам) возможна только при f >fкр.
2
Для ТЕМ волн (Еz =0 и Нz = 0)  = 0, следовательно,  = k и fкр= 0, т.е. передача энергии возможна на
всех частотах, включая нулевую (постоянный ток).
Волновое сопротивление линий передачи определяется исходя из следующих соображений:
используя систему уравнений, связывающих продольные и поперечные составляющие поля, получаем

z o E  ,
для Е(ТМ) волн (Нz=0):   2E  igrad  E z ,   2 H   i z o grad  E z , откуда H  

 


 Z0 1  
т.е.
  кр


передачи.
Z 0Eл
2

 , где Z0=  – волновое сопротивление среды, заполняющей линию



Н(ТЕ) волн
(Еz=0):   2 H   igrad  H z ,

z oE  , т.е.
H 

Zо

. Для ТЕМ волн (Нz=Еz=0,
Z0Нл 

2

  
Для
=k)
 2 E   i z o grad  H z  ,
откуда

z o E  ,

откуда
H 
имеем:

1 
  кр 



k

 Z0 . Поскольку ТЕМ волны могут существовать только в двухпроводных линиях,
 
если расстояние между проводниками << , под волновым сопротивлением двухпроводной линии
передачи принято понимать Zл=U/I в режиме бегущей волны , где U   E  dl – напряжение между
ZТ0 л 
D

проводами линии на расстоянии D, I  Jdl – ток вдоль проводника (Р–– периметр провода, J –
P
поверхностная плотность тока). Характеристическое сопротивление двухпроводной линии передачи
(которое часто называют волновым сопротивлением) может быть выражено через погонные
Z
D
L
индуктивность L` и емкость C` линии: Z л 
. Например, для коаксиальной линии Z л  0 ln ,
C
2 d
если D и d – диаметр внешнего и внутреннего проводов соответственно.
Плотность потока мощности, переносимой по линии передачи Пz=0.5(zo[EH]=0.5(E[Hzo].
| E |2
1
Учитывая H   z o E   , имеем ReП z   . Мощность, переносимая через поперечное сечение
2 Z0 л
Z0 л
линии передачи S, определяется выражением Pср 
1
| E |2 ds . Максимальная мощность,
2 Z0 л

S
передаваемая по линии передачи, ограничена максимальной амплитудой напряженности
электрического поля, при которой происходит электрический пробой среды, заполняющей линию
передачи (для воздуха Емах=30кВ/см).
Литература.
1. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио, 1971.
2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989.
Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область
применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.
В среде без потерь амплитуда и скорость волны являются функциями координат, поэтому описание
свободных волн в изотропной среде при   0 (k  ) может быть сведено к ряду геометрических
закономерностей. Любая из компонент электромагнитного поля в неоднородной среде подчиняется
волновому уравнению 2Et2v2(x,y,z)2E=0 или уравнению Гельмгольца 2E0v2(x,y,z)2E0=0 (для
монохроматических волн). Учтем, что v=c/n, где c =1/ 0 0 – скорость волны в вакууме,
n(x,y,z)= отн отн – показатель преломления среды. Тогда уравнение Гельмгольца можно записать в
виде 2E0 + n2 k02E0 = 0, где k=nk0 (k0 = 0 0 ). Ищем решение в виде Е0=A(x,y,z)e-ikL(x,y,z).Подставив
в уравнение, имеем kо2A{n2–|L|2}–ikо{2(A)(L)+A2L}+2A=0. (1) При kо имеем |grad L|2 = n2 ,

k
k
или grad L = n (2). – нормаль к поверхности равных фаз; L(x,y,z) = const – решение, которое для
k
k
любого n(x,y,z) представляет собой поверхность равных фаз и называется эйконал , а уравнение (2) –
уравнением эйконала. Это уравнение – основа геометрической оптики. Можно записать в виде

 
1
L k
производной по направлению:
 n( x, y, z) , т.о. L( x,y,z)   n( x, y, z)(kd s) . Функция grad L
s
k
k
приводит к понятию луча. Луч - линия, касательная к которой совпадает с направлением grad L. Лучи
- кривые, ортогональные к поверхности равных фаз (волновому фронту), определяемой из уравнения
L(x,y,z) = const.
Уравнения геометрической оптики для электромагнитных волн
Полагая E=E0(r)e-ikoL(r) , H=H0(r)e-ikoL(r) и используя векторное тождество rot(,a)= rota+[grad,a],
запишем ур-я Максвелла в виде:  rot H 0  [  H 0 , gradL]   E0 n ,  rot E0  [  E0 , gradL]   H 0 n , при k  
ik
ik
и обозначив e =  E0 , h =  H0 , имеем: |h, gradL| = en, |e, gradL| = –hn
– уравнения
геометрической оптики (УГО), т.е. уравнения Максвелла для очень высоких частот. Условия
совместимости этих ур-ий: подставим h из 2-го в 1-е и учтем, что egradL ,
тогда (gradL(x,y,z))2 = n2(x,y,z) – ур-е эйконала, которое является условием разрешимости УГО.
L
,
L
параллельный gradL, получаем gradL=ns, подставляя в УГО и сократив на n, имеем [h, s]=e; [e, s]=–h,
т.е. e, h и s образуют правую тройку, значит проекции e и h на s отсутствуют (поле поперечное).
Для среды без потерь, где n и L – вещественные функции, вводя единичный вектор s=
Поскольку (ee*)=(hh*), то
|E|2=|H|2, откуда | E |  μ  Z0 , т.е. поле в точке наблюдения
|H|
ε
представляет локально плоскую волну. Поток мощности П=
т.е. энергия переносится вдоль s (вдоль лучей).
1
v
v
1
[EH*]=
[eh*]= (ee*)s= (hh*)s,
2
2
2
2 
Поверхность равных фаз определяет равенство L = const , т.е. из ур-я эйконала надо найти L(x,y,z)
при заданном n(x,y,z). Пусть имеются две эквифазные поверхности 1 и 2 на расстоянии r друг от
друга. Мощности, переносимые через площадки ds1 и ds2 равны dP1= П1ds = v1 |e1|2ds1, dP2= П2ds=
2
v 2 |e |2ds . В геом. оптике предполагается гипотеза о сохранении энергии вдоль лучевой трубки (нет
2
2
2
обмена энергии между соседними лучевыми трубками) т.е. dP1= dP2 , откуда |e1|2ds1= |e2|2ds2 (3). Т.о.
зная |e1| или |h1| можно найти |e2| или |h2|. Пусть главные радиусы кривизны площадки ds1 равны 1 и
2, тогда в однородной среде для ds2 имеем 1+r и 2+r, следовательно ds1/ds2 = 1 2/(1+ r)( 2+r). Из
(3) имеем |e1|2/|e2|2 = (1+ r)( 2+r)/1 2. Т.о. из УГО можно получить информацию о характере поля,
форме лучей, изменении интенсивности вдоль лучей. Сведений об абсолютном значении и
ориентации E и H получить нельзя.
Условия применимости геометрической оптики
Рассмотрим условия, при выполнении которых можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми в (1).
1) koAn2  2(A)( L)  koAn >>(A) (т.к. |L| = n), или |  A |<< |A| n / , т.е. изменение
x
амплитуды на длине волны должно быть много меньше величины самой амплитуды.
2) kon2  2L  2-я производная связана с кривизной ПРФ. Для плоской кривой L=f(x) радиус
кривизны
 L 3/ 2
3/ 2
2
)
L
(1  n)3 / 2 , полагая 2 L   L , имеем    (n 1) , т.е. радиус

x
L
L 
; т.к. |
| n,  L  2
 n2
x2
2 L
 L
x
x 2
x 2
кривизны волнового фронта должен быть>>. С другой стороны, |2L|=|(L)|=|n|, т.е.
(1 
 n
| | 2 n , следовательно
n x
изменение n на длине волны должно быть << величины n.
3) ko2A2  2A – это условие связано с кривизной поверхности равных амплитуд А и может быть
записано в виде 2nA/ >>/2nA2, т.е. радиус кривизны ПРА, отнесенный к , должен быть >> .
Чтобы пренебречь дифракционными явлениями размер фронта волны D должен быть >> /n. Эти
условия не выполняются в точках, где пересекаются лучи (фокус оптических систем); в средах с
резкими неоднородностями; в мутных средах; при прохождении поверхностей с поглощающими
экранами и т.д.
В неоднородной среде луч, соединяющий две точки р1 и р2, является кривой линией. Для каждой
точки луча имеем: dL= (grad Ldr)=| grad L||dr|=k0n(r)dl, где dr направлен по лучу, dl – элемент длины
пути. Изменение фазы вдоль луча равно L 
p2
p2
p1
p2
 d L   n(r)dl . Принцип Ферма утверждает, что
интеграл вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация L относительно соседних
путей интегрирования равна нулю. Учитывая, что dl/v = dt и n(r)=c/v(r), где dt – время прохождения
p2
p
2
dl
dl
пути dl со скоростью v, с – скорость света в вакууме, имеем L  k 0 c 
= 
, где интеграл
v
v
p
p1
p2
dl
v
p1

дает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от р1 до р2. Это позволяет сформулировать
принцип Ферма следующим образом: лучом, соединяющим две точки является тот путь, который
делает стационарным время, затрачиваемое на его прохождение. Ферма в 1657г. сформулировал его
следующим образом «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако таких путей может
быть много, например, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой
изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).
В однородной среде луч – прямая линия. При переходе границы раздела между двумя различными
средами луч меняет направление. Соединим лучом точку р1(0,у1) в среде с показателем преломления
n1 с точкой р2(а,у2) в среде с показателем преломления n2. Луч пересекает границу раздела в точке
n1 2 2 n 2 2
y1  x 
y2  (a  x) 2 . Используя
c
c
n1 x
n 2 (a  x)

 0 . Учитывая, что
2
2
y1  x
y22  (a  x) 2
(х,0). Полное время распространения света от р1 до р2 равно t =
условие
x
y12  x 2
t
 0,
x
стационарности
 sin 1 ,
ax
y22  (a  x) 2
получаем:
 sin  2 , где  – угол между направлением луча и нормалью к границе
раздела, имеем: n1sin1 = n2sin2 – закон преломления.
В плоскослоистой среде луч искривляется. Это явление называется рефракция. Радиус кривизны
луча  для плоскослоистой среды определяется
с
n+dn
b
следующим образом: согласно рисунку =ab/d. Из
+d
закона преломления имеем: nsin= =(n+dn)sin(+d)
dh
n
nsin +ncos d +sin dh. Отсюда ncos d = = – sindh.
а
Из подобия треугольников abc и Оab находим
dh
dh
. Таким образом,
ab 

cos(  d ) cos 


d

ab
dh
n


dn
d d cos 
sin 
dh
.
Для нормального состояния атмосферы dn  0 и
dh
радиус кривизны луча в радиодиапазоне рад25000км, в оптическом диапазоне – оп50000км. При
расчете радиотрасс считается, что луч распространяется по прямой, =90о, но радиус Земли
аз
аз
принимается равным aэкв 
, где аз – радиус Земли, равный 6370 км. Для

1  а з /  1  а dn
з
dh
dn

5

1
нормальной атмосферы
и аэкв= 8500 км, т.е. расстояние прямой видимости
 4  10 км
О
dh
увеличивается приблизительно на 15%.
В зависимости от состояния атмосферы различают следующие типы рефракции:
а)
б)
в)
г)
д)
dn
dh
dn
dh
dn
dh
dn
dh
dn
dh
0
– отрицательная (луч отклоняется от Земли), аэкв< аз.
0
– рефракция отсутствует (луч остается прямым), аэкв= аз .
0–
положительная (луч отклоняется к Земле), аэкв> аз.
 1.57  10 4 км 1
– критическая (луч параллелен поверхности Земли), аэкв .
 1.57  10 4 км 1 –
сверхкритическая ( луч возвращается к Земле), аэкв < 0.
Литература
1. Матвеев А. Н. Оптика.- М.: Высш. школа, 1985.
2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989.