Олимпиада по математике 2013 5

Заочная олимпиада 2013 г. Решения.
5 класс
1. Последовательностью цифр
14012006140120101201
зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие
двузначное число. Расшифруйте.
Решение. Исходная последовательность цифр разбивается на пары: 14 01 20 06 14 01 20 10
12 01. Если каждое число означает порядковый номер буквы в русском алфавите, то мы
получим слово МАТЕМАТИКА.
2. Можно ли представить числа 2013 и 2014 в виде суммы и в виде произведения трёх
последовательных натуральных чисел?
Ответ: 2013 представляется в виде суммы и не представляется в виде произведения.
2014 не представляется ни в виде суммы, ни в виде произведения.
Решение. 2013  670  671  672 . Про произведение: одно из двух последовательных
натуральных чисел чётно, и поэтому произведение трёх последовательных натуральных
чисел также чётно. А 2013 – нечётное число, оно не может быть произведением трёх
последовательных натуральных чисел.
Сумма трёх последовательных натуральных чисел n, n  1, n  2 равна 3n  3 и делится на 3.
Произведение трёх последовательных натуральных чисел также делится на 3, т.к. одно из
них делится на 3. А 2014 на 3 не делится.
3. Найдутся ли три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число,
обладающие следующим свойством: если каждую из этих дробей «перевернуть» (т. е.
заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом?
Ответ: да; например, 1/2, 1/3, 1/6.
Решение. Проще всего подобрать три дроби с числителями, равными 1. Но возможны и
другие варианты, например 2/11, 3/11, 6/11.
4. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой из них
на расстоянии 1 находилось ровно три других точки?
Ответ. Можно.
Решение. Нарисуем равносторонний треугольник со стороной 1 и
сдвинем его на 1 вверх (см. рисунок). Вершины этих двух треугольников
мы и отмечаем: они удовлетворяют условию задачи. Возможны и другие
решения.
5. Бросают кубик, на гранях которого (по одной на каждой грани) написаны различные
цифры от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма цифр на четырёх боковых
гранях оказалась равна 12, во второй – 15. Какая цифра написана на грани, противоположной
той, где написана цифра 3?
Ответ: 6.
Решение. Заметим, что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21. Поэтому сумма
чисел на верхней и нижней грани в первом и втором случаях равна 9 и 6 соответственно.
После первого броска понятно, что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5. Предположим, что
4 напротив 5. Но после второго броска ясно, что либо 1 напротив 5, либо 2 напротив 4.
Противоречие; следовательно, 3 напротив 6.
Заочная олимпиада 2013 г. Решения.
6 класс
1. Сколько существует пятизначных положительных чисел, делящихся на 2013?
Ответ: 45.
Решение. Минимальное из таких чисел равно 2013  5  10065 .
99999 : 2013  49,67... , поэтому максимальное из таких чисел равно 2013 49 .
Следовательно, количество искомых чисел есть 49  5  1  45 .
2. В целях экономии средств Метрострой нанял двух землекопов для рытья туннеля. Один из
них может за час прокопать вдвое больше, чем другой, а платят по договору каждому
одинаково за каждый час работы. Что обойдётся дешевле – совместное рытьё землекопами
туннеля с двух сторон до встречи или поочерёдное рытьё по половине туннеля каждым из
землекопов?
Ответ: дешевле копать до встречи.
Решение. За один час работы быстрый землекоп выкапывает больше, а платят им одинаково.
Значит, метр туннеля, выкопанный быстрым землекопом, обходится дешевле. В варианте до
встречи на долю быстрого придётся больше половины туннеля, а в другом варианте —
только половина. Значит, дешевле копать до встречи.
3. Найдите натуральное число n такое, что n( n  8)( n  50)  2013 .
Ответ: n  11 .
Решение. Разложение числа 2013 на простые сомножители имеет вид: 2013  3  11  61 .
Число n должно быть делителем 2013, и поэтому его следует выбирать из 1, 3, 11, 61, 2013.
Прямым перебором получаем ответ.
4. Обязательно ли равны два треугольника, если они имеют по три равных угла и по две
равные стороны?
Ответ: нет.
Решение. Возьмём треугольник со сторонами 8 см, 12 см и 18 см и увеличим его в полтора
раза. Получится треугольник с такими же углами, а стороны у него будут равны 12 см, 18 см
и 27 см. Возможны и другие примеры.
5. Можно ли отметить на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая
отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой?
Ответ: да.
Решение. Раскрасим доску в шахматном порядке. Заметим, что белые клетки граничат по
стороне только с чёрными, и наоборот. Поэтому сначала отметим несколько белых клеток
так, чтобы у каждой чёрной клетки был ровно один отмеченный сосед (например, так, как на
рисунке слева). Затем отметим несколько чёрных клеток так, чтобы и у каждой белой клетки
появился ровно один отмеченный сосед (так, как на рисунке справа), при этом у чёрных
клеток новых отмеченных соседей не появится.
Заочная олимпиада 2013 г. Решения.
7 класс
1. Задумано простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно
может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Ответ: 7.
Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может
оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя
цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а
тогда и само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Такие числа
действительно существуют; наименьшее из них – 167.
2. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой из них на расстоянии 1
находилось ровно три других точки?
См. решение задачи 4 для 5 класса.
3. Найдите количество всех делителей числа 20132013.
Ответ: 20143  8169178744 .
Решение. Разложение числа 2013 на простые сомножители имеет вид: 2013  3  11  61 .
Поэтому делители числа 20132013 должны иметь вид 3m11n61k , где m, n и k – любые целые
числа от 0 до 2013. Таких троек ( m , n, k ) будет 2014  2014  2014  20143  8169178744 .
4. Бросают кубик, на гранях которого (по одной на каждой грани) написаны различные
цифры от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма цифр на четырёх боковых
гранях оказалась равна 12, во второй – 15. Какая цифра написана на грани, противоположной
той, где написана цифра 3?
См. решение задачи 5 для 5 класса.
5. Что больше – (2013!)2014! или (2014!)2013! ? (Указание: n! – эн факториал – есть
произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.
Например: 5! = 1  2  3  4  5 = 120.)
Ответ: (2013!)2014! > (2014!)2013!

2014!
 ( 2013! )2013!
Решение. Во-первых, ( 2013! )
Во-вторых, ( 2014! )
2013!

2014
 ( 2013! )2013!  20142013! .


 ( 2013! )2013!  ( 2013! )2013!

Очевидно, что ( 2013! )2013!  20142013! , и тем более ( 2013! ) 2013!
первое выражение больше второго, т.е. (2013!)2014! > (2014!)2013!.
2013

2013
 2014 2013! , поэтому
.
Заочная олимпиада 2013 г. Решения
8 класс
1. Простым или составным является число 20132013 + 8?
Ответ: составным.
Решение. 2013  3  671 . Поэтому 2013 2013  8  (( 2013)671) 3  2 3 . Это выражение
раскладывается по формуле суммы кубов на два целых сомножителя, больших единицы.
2. Куб распилили на две части. Может ли на срезе получиться 2013-угольник?
Ответ: нет.
Решение. Чтобы получить сторону многоугольника на срезе, нужно распилить одну из
граней куба. Всего граней шесть, поэтому на срезе не может получиться многоугольник с
количеством сторон более шести.
3. Обязательно ли равны два треугольника, если они имеют по три равных угла и по две
равные стороны?
См. решение задачи 4 для 6 класса.
4. Известно, что для некоторой последовательности чисел a1, a2, …, an, …
a1 + a2 + … + an = n3 для любого числа n. Найдите остаток от деления a20132013…2013 (число
2013 повторено 2013 раз) на 12078.
Ответ: 1.
Решение. Для любого числа n an  (a1  a2  ...  an  1  an )  (a1  a2  ...  an  1 ) 
 n 3  ( n  1)3  3n 2  3n  1 . Очевидно, что для указанного в условии индекса
n  20132013 ...2013 (много раз) 3n 2  3n  3n( n  1) нацело делится на 3  2  2013  12078
(n делится на 2013 и нечётно; n  1 делится на два). Таким образом, искомый остаток равен
1.
5. Что больше – (2013!)2014! или (2014!)2013! ? (Указание: n! – эн факториал – есть
произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.
Например: 5! = 1  2  3  4  5 = 120.)
См. решение задачи 5 для 7 класса.
Условия и решения задач 3 – 5 для 5 класса, 2, 4, 5 для 6 класса, 1, 2, 4 для 7 класса, 3 для 8
класса взяты с косметическими изменениями из книги И.В.Ященко «Приглашение на
Математический праздник» (изд-во МЦНМО, 2005)