Задачи по геометрии (лето 2012) На диагонали АС ромба ABCD

Задачи по геометрии
(лето 2012)
1.
На диагонали АС ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек
A и C, а на прямых АВ и BC — точки М и N соответственно так, что AE = NE и
CE = ME. Пусть K — точка пересечения прямых АМ и СN. Докажите, что
точки K, Е, D лежат на одной прямой.
2.
На стороне АС прямоугольного треугольника АВС выбрана точка D. Медиана
АМ пересекает высоту СН и отрезок BD в точках N и K соответственно.
Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KМ.
3.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки М и N
соответственно. Диагональ BD пересекает стороны АМ и AN треугольника
AMN, соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что
эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K,
определяемая условиями EK AD, FK AB, лежит на отрезке MN.
4.
Внутри прямого угла KLM взята точка Р. Окружность S1 с центром О1
касается сторон LK и LP угла KLP в точках А и D соответственно, а окружность
S2 такого же радиуса с центром О2 касается сторон угла MLP, причем стороны
LP — в точке В. Оказалось, что точка О1 лежит на отрезке АВ. Пусть C —
точка пересечения прямых O2D и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла
ABD.
5.
Окружность с центром О вписана в четырехугольник ABCD и касается его
непараллельных сторон ВС и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая
АО и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF — в точке N,
а прямые BK и CN — в точке М. Докажите, что точки О, K, M и N лежат на
одной окружности.
6.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона АВ перпендикулярна стороне CD,
а сторона BC — стороне DE. Докажите, что если АВ = АЕ = ED = 1, то DC + CD
< 1.
7.
Окружность с центром О вписана в треугольник АВС и касается его сторон АВ,
BC и АС в точках E, F и D соответственно. Прямые АО и СО пересекают
прямую EF в точках N и М. Докажите, что центр окружности, описанной около
треугольника OMN, точка О и точка D лежат на одной прямой.
8.
Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и
пересекаются в точках C и D (точка C расположена дальше от АВ, чем точка
D). Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, не
зависит от длины отрезка АВ.
9.
В остроугольном треугольнике АВС на высоте BK как на диаметре построена
окружность S, пересекающая стороны АВ и ВС в точках E и F соответственно.
К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что точка
их пересечения лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины В.
10. Дан четырехугольник ABCD, в котором AB = AD и  ABC =  ADC = 90°. На
сторонах ВС и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF  AE.
Докажите, что AF  BE.
11. Существует ли такой выпуклый (все углы меньше 180°) пятиугольник ABCDE,
что все углы ABD, BCE, CDA, DEB и ЕАС — тупые?
12. В треугольнике АВС, в котором АВ = BC, на стороне AB выбрана точка D.
Вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно.
Касательная, проведенная к S1 в точке D, пересекает второй раз S2 в точке М.
Докажите, что ВМ AC.
13. Дан угол с вершиной В. Построим точку М следующим образом. Возьмем
произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на
сторонах данного угла. Через две противоположные ее вершины проведем
касательные к описанной около нее окружности. Через М обозначим точку
пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки М?
14. В треугольнике АВС взята точка O такая, что  СОА =  В + 60°,  СОВ =
 А + 60°,  АОВ =  С + 60°. Докажите, что если из отрезков АО, BO, CO
можно составить треугольник, то из высот треугольника АВС тоже можно
составить треугольник и эти треугольники подобны.
15. На сторонах АВ и ВС равностороннего треугольника АВС взяты точки D и K, а
на стороне АС — точки E и М так, что DA + AE = KC + CM = AB. Докажите, что
угол между прямыми DM и KE равен 60°.
16. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках М и N. Докажите, что если
вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S1, а
вершины B и D — на окружности S2, то точка пересечения его диагоналей
лежит на прямой MN.
17. Точки О1 и О2 – центры соответственно описанной и вписанной окружностей
равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). Окружности, описанные около
треугольников АВС и О1О2А, пересекаются в точках A и D. Докажите, что
прямая BD касается окружности, описанной около треугольника О1О2А.
18. Все вершины треугольника АВС лежат внутри квадрата K. Докажите, что
если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан
треугольника АВС, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри
K.
19. В параллелограмме ABCD точки М и N — середины сторон BC и CD
соответственно. Могут ли лучи АМ и AN делить угол BAD на три равные
части?
20. В остроугольном треугольнике АВС через центр O описанной окружности и
вершины B и C проведена окружность S. Пусть ОK — диаметр окружности S,
D и E — соответственно точки ее пересечения с прямыми АВ и АС. Докажите,
что ADKE — параллелограмм.
21. Окружность S с центром О и окружность Sʹ пересекаются в точках А и В. На
дуге окружности S, лежащей внутри Sʹ, взята точка С. Точки пересечения АС
и ВС с Sʹ, отличные от A и B, обозначим E и D соответственно. Докажите, что
прямые DE и ОС перпендикулярны.
22. На сторонах BC, СА, АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки А1,
В1, С1 так, что медианы А1А2, В1В2, C1С2 треугольника А1В1С1 соответственно
параллельны прямым АВ, BC, СА. Определить, в каком отношении точки А1,
В1, С1 делят стороны треугольника АВС.
23. Дан треугольник АВС. Точка А1 симметрична вершине А относительно прямой
BC, а точка С1 симметрична вершине C относительно АВ. Докажите, что если
точки А1, В и С1 лежат на одной прямой и С1В = 2А1В, то угол СА1В — прямой.
24. В треугольнике АВС на стороне АС нашлись такие точки D и E, что АВ = AD и
ВЕ = ЕС (Е между A и D). Тоска F — середина дуги BC окружности, описанной
около треугольника АВС. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной
окружности.
25. Восстановите треугольник АВС по углу A и прямой Эйлера.