УДК 621.56-52 РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ ДАВЛЕНИЙ ХЛАДАГЕНТА НА ВЫХОДЕ ИЗ КАПИЛЛЯРНЫХ ТРУБОК

УДК 621.56-52
РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ ДАВЛЕНИЙ ХЛАДАГЕНТА
НА ВЫХОДЕ ИЗ КАПИЛЛЯРНЫХ ТРУБОК
А.И. Ейдеюс*, В.Л. Кошелев **
* ФГБОУ ВПО «Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота»,
Россия, 236029, г. Калининград, ул. Молодежная , 6
E-mail: kanzbga@bga.gazinter.net
** ООО «ФАВВ рефимпэкс»
Россия, 236000, г. Калининград, Гвардейский проспект, 15
E-mail: info@refimpex.ru
С использованием семи безразмерных переменных установлены степенные зависимости
для расчета давления двухфазного потока в критическом сечении капиллярных трубок при
дросселировании шести современных хладагентов. Статистические оценки показателей степени
получены по компьютерной программе линейной регрессии. Для каждого хладагента отработано
не менее 180 вариантов численного расчета по разработанной ранее программе RefCap при
различных сочетаниях исходных данных.
xладагенты, капиллярная трубка, дросселирование,
паросодержание, переохлажденная жидкость
критическое
сечение,
давление,
Капиллярные трубки (КТ) давно и успешно применяются для
дросселирования жидкого хладагента в холодильных машинах (ХМ) различного
назначения. Возрастающее внимание специалистов к экспериментальным и
теоретическим исследованиям процессов, протекающих в КТ, обусловлено
использованием новых экологически чистых хладагентов и внедрением
реверсивных ХМ. Практический интерес представляют необходимые размеры КТ
при известных значениях холодопроизводительности Q0 и параметров цикла ХМ
или расход хладагента через трубку конкретных размеров при известных
параметрах хладагента на ее входе. К настоящему времени накоплено немало
опытных данных по дросселированию разных хладагентов в КТ. Получены
обобщенные уравнения для расчета расхода хладагента или длины КТ [1, 2].
При дросселировании вскипающего хладагента в КТ, как и при движении
любой сжимаемой среды в трубе, возможен докритический или критический
режим течения. Обобщенные уравнения для расчета КТ распространяются лишь
на критические режимы, в которых давление кипения хладагента в испарителе р0
не влияет на его расход. Если давление кипения р0 превышает давление в
критическом сечении трубки ркр, то расход хладагента оказывается меньше
расчетного. Чтобы обеспечить требуемый расход хладагента, следует уменьшить
длину КТ.
Теория критических режимов течения двухфазных потоков в трубах до
настоящего времени, несмотря на неоднократные попытки, не разработана.
Термодинамический анализ не может учесть сложные явления, связанные с
образованием паровой фазы и распределением фаз в потоке [3]. Требуется
дополнительное проведение экспериментов и обобщение опытных данных.
Экспериментальное определение давления в критическом сечении КТ при
дросселировании хладагентов вызывает ряд затруднений. Они обусловлены
сложностью измерения расхода парожидкостной смеси и ее давления в выходном
сечении трубки. Чтобы зафиксировать критический режим, необходимо
экспериментально установить условия, в которых давление после трубки
перестает влиять на расход хладагента и его давление в выходном сечении. Ввиду
нелинейного влияния параметров хладагента до и после трубки на его расход и
распределение параметров двухфазного потока по ходу движения постановка
эксперимента оказывается дорогостоящей, а опыты - трудоемкими.
В создавшихся условиях целесообразно выбрать физическую модель
процесса дросселирования и выполнить численный расчет КТ, разбивая ее на
короткие участки. Такое деление КТ позволяет учесть нелинейное изменение
термодинамических и теплофизических свойств хладагента. Наиболее
подходящей представляется гомогенная модель адиабатного потока хладагента в
КТ [4]. Дело в том, что внутренний диаметр КТ обычно не превышает 3 мм, что
препятствует четкому разделению фаз. Дросселируемый хладагент в КТ движется
с высокой скоростью и находится в трубке лишь доли секунды, из-за чего
теплоприток от окружающей среды оказывается незначительным. Как показала
практика, в реверсивных ХМ систем кондиционирования воздуха ограничение
теплообмена КТ с окружающей средой обеспечивается использованием тепловой
изоляции. Вариант теплового контакта КТ с всасывающим трубопроводом ХМ в
настоящей статье не рассматривается. Опытных данных по влиянию этого
контакта на процесс дросселирования для обобщения недостаточно.
Гидродинамический расчет КТ по коротким участкам переменной длины
базируется на фундаментальных законах сохранения вещества, энергии и
количества движения [4]. При этом рассматриваются осредненные параметры
двухфазного потока по сечению трубки, а уравнения сохранения становятся
одномерными. В трубке постоянного сечения общий перепад давления ∆Р между
двумя участками состоит из перепадов за счет ускорения потока ∆Р у, трения на
стенке ∆Рт и массовых сил ∆Рн (нивелирный напор) [5]. На входе в КТ, а в
докритических режимах и на выходе из нее, имеются также потери давления на
преодоление местных сопротивлений ∆Рм.
Исключению последовательных приближений способствует деление КТ на
участки не по длине, а по общему перепаду давления ∆Р, соответствующему
понижению температуры насыщения ∆ts на 1оС или 0,2оС. Чем меньше ∆ts, тем
точнее учитывается изменение свойств хладагента при понижении давления
насыщения. Составленная в пакете Excel программа RefCap ориентирована на
расчет КТ при дросселировании любого хладагента с известными
термодинамическими и теплофизическими свойствами. Расчет координаты
критического сечения (длины КТ) продолжается до тех пор, пока при заданном
расходе хладагента на некотором удалении от входа сумма потерь давления не
превысит общего перепада давления ∆Р, соответствующего выбранному шагу
понижения ∆ts. Неравенство ∆Р<∆Ру+ ∆Рт+∆Рн+∆Рм свидетельствует о
наступлении критического режима течения. Дальнейшее ускорение потока,
обусловленное парообразованием, возможно лишь при отрицательной длине
участка, что противоречит физике явления.
Данные о свойствах хладагента для ввода в программу RefCap удобно
принимать из пакета REFPROP, в котором можно задавать любой шаг изменения
температуры насыщения ∆ts. В отличие от пакета CoolPack, имеется возможность
копирования выбранных данных и преобразования таблицы с изменением
температуры насыщения в сторону ее понижения. Программа RefCap позволяет
учитывать влияние диаметра и шероховатости трубки, расхода хладагента и его
состояния перед КТ, а также давления кипения на процесс дросселирования.
Результатом расчета является изменение параметров хладагента по ходу его
движения в КТ вплоть до достижения критического режима. Если давление в
критическом сечении ркр>р0, то расчетная длина КТ соответствует сумме длин
всех участков. Когда ркр<р0, программа определяет длину КТ и основные
параметры докритического режима течения.
Давление в критическом сечении ркр является лишь одним из показателей
дросселирования хладагента в КТ. При проектировании и анализе работы ХМ без
соответствующей методики невозможно предсказать достижение критического
режима в КТ. Поскольку энергоэффективность и безотказность ХМ зависят от
степени заполнения испарителя жидким хладагентом, сравнение давлений ркр и р0
имеет практическое значение. Поэтому назрела необходимость получения
эмпирической зависимости для определения ркр.
Расчеты по программе RefCap показывают, что все параметры на выходе
из КТ сложным образом зависят от большого числа размерных величин. При
обобщении расчетных и опытных данных целесообразно перейти к безразмерным
переменным и получать эмпирические зависимости по дросселированию каждого
хладагента отдельно. Для расчета значений длины КТ и расхода хладагента
достаточно использовать шесть безразмерных переменных [6]. Поскольку
критическое давление ркр не учтено ни в одной из них, необходимо ввести
седьмую переменную. Развернутые выражения переменных выглядят следующим
образом:
π1=ℓт/dт;
π2=3600G/(( πd2т/4)(pк/vc)0.5); π3=v”/vc;
π4=dт(pк/vc)0.5/μc;
π5=1-100(∆/dт); π6=1+∆tп/tк; π7=ркр/рк.
Обозначения: dт, ℓт – внутренний диаметр и длина трубки; G – массовый
расход дросселируемого хладагента; рк – давление конденсации хладагента
(давление на входе в КТ); vc, v'' – удельные объемы парожидкостной смеси и
насыщенного пара при давлении конденсации; μc – динамическая вязкость
хладагента на входе в трубку; ∆/dт – относительная шероховатость внутренней
поверхности трубки; ∆tп – переохлаждение жидкого хладагента на входе в КТ (tкtж); tк – температура конденсации хладагента.
Все величины подставляются в размерности СИ. Если в КТ дросселируется
насыщенная жидкость, то параметры смеси vc и μc совпадают с
соответствующими параметрами насыщенной жидкости, т.е. vc=v’ и μc= μ’. При
дросселировании переохлажденной жидкости значения vc и μc находятся на линии
насыщения жидкости при температуре tж=tк-∆tп, но значения v” и μ” по-прежнему
определяются температурой
tк или давлением рк конденсации. При
дросселировании парожидкостной смеси начальные ее параметры зависят от
массового паросодержания х0, определяемого по выражению
x0=(ic-i')/(i''-i'),
где i', i'’ – энтальпия жидкости и пара на линии насыщенния при tк или рк;
ic – энтальпия смеси на входе в КТ.
В последнем случае vc=v’(1-x0)+v”x0, а μc=μ’(1-β)+μ”β, где β – расходное
объемное паросодержание. Связь между массовым х и расходным объемным β
паросодержанием определяется выражением
β=х/[х+(1-х)(v’/v”)].
Важной задачей при обобщении любых данных является выбор вида
эмпирической зависимости. Для расчета длины трубки и расхода
дросселируемого в КТ хладагента приемлемыми оказались степенные
зависимости [6]. Аналогичную зависимость можно применить и для обобщения
результатов расчета критических давлений. С учетом безразмерных переменных
представим ее в виде
π7=℮в0 π1в1 π2в2 π3в3 π4в4 π5в5 π6в6 .
(1)
Для определения показателей степени b0…b6 использована программа
регрессионного анализа. С этой целью предварительно логарифмируется
уравнение (1):
lnπ7=b0+ b1lnπ1+b2lnπ2+b3lnπ3+b4lnπ4+b5lnπ5+b6lnπ6.
После ввода новых переменных y=lnπ7 и хi=lnπi получаем линейное
уравнение регрессии:
y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b6x6.
(2)
Программа линейной регрессии входит в состав ряда математических
пакетов, включая пакет Excel. По введенному в нее массиву исходных данных
методом наименьших квадратов определяются статистические оценки (вероятные
значения) коэффициентов уравнения регрессии, а также показатели
дисперсионного оценивания неизвестных параметров выбранной модели. К ним
относятся стандартные ошибки для зависимой переменной sey и коэффициентов
уравнения регрессии sei, регрессионная ssрег и остаточная ssост сумма квадратов,
коэффициент детерминированности r2=R2, степень свободы df и F – статистика.
Они определяются по формулам:
z
z
z
ssост=∑(yi-ŷi)2; ssрег=∑( ŷi-ў)2; ў=(1/z)∑yi ;
i-1
i-1
df=z-k-1: sey=(ssост/df)0.5;
r2=1- ssост/(ssост+ssрег);
i-1
F = r2(z-k)/[(1-r2)(k-1)],
где yi, ŷi – действительные и предсказанные по модели значения; ў –
среднее значение отклика; z – число точек исходных данных; k – число
независимых переменных в уравнении регрессии.
Чем меньше стандартные погрешности sey, sei и суммы квадратов ssрег, ssост
и чем больше значения r2 и F, тем точнее выбранная модель описывает исходные
данные. Степень свободы df косвенно отражает число точек в массиве исходных
данных. В нашем случае k=6, а z=df+7. Результаты регрессионного анализа для
шести хладагентов приводятся в таблице.
Предварительно по каждому из рассматриваемых хладагентов было
выполнено не менее 180 вариантов расчета КТ по программе RefCap при разных
сочетаниях конструктивных и режимных параметров. Анализ показал, что
расчетные значения расхода хладагента и длины КТ хорошо совпадают с
опытными и эмпирическими данными, приведенными в работах [1; 2]. С
использованием размерных величин для каждого варианта получены
безразмерные переменные π1…π7 по приведенным выше выражениям. После их
логарифмирования формируется массив исходных данных, в котором известными
считаются значения lnπ1… lnπ6, а искомой величиной является lnπ7. Заметим, что
для обобщения данных по дросселированию всех хладагентов потребовалось бы
вводить еще ряд безразмерных переменных, учитывающих свойства каждого
хладагента.
Таблица. Результаты обобщения
Table. Results of generalization
Показатель
b0
se0
b1
se1
b2
se2
b3
se3
b4
se4
b5
se5
b6
se6
r2
sey
F
df
ssрег
ssост
R134а
-9,12551
0,68919
0,07242
0,03814
1,07983
0,08029
0,38386
0,01372
-0,00891
0,01053
-0,10254
0,05418
-0,57952
0,13810
0,99319
0,03506
5080,15
209
37,47
0,257
Функция уравнения регрессии (2) у=ln(ркр/рк)
R22
R290
R407С
R410А
R600а
-9,09268 -7,51967 -6,73137 -7,44349 -3,28258
1,03581 0,54339 0,68897 0,48608 0,43324
0,06099 -0,01882 -0,04909 -0,01739 -0,26104
0,05959 0,02822 0,03958 0,02552 0,02452
1,07178 0,90542 0,81042 0,92075 0,37804
0,12041 0,06497 0,07975 0,05343 0,05140
0,36601 0,33274 0,31303 0,26115 0,29975
0,01637 0,01219 0,01233 0,00774 0,01058
-0,00449 0,00899 0,01768 0,00546 0,06252
0,01422 0,00941 0,01038 0,00472 0,00848
-0,06251 -0,01535 0,01633 0,01625 0,06909
0,06104 0,05204 0,05079 0,04165 0,03778
-0,39449 -0,21827 -0,08719 -0,16227 0,86826
0,15959 0,09769 0,11483 0,06583 0,11495
0,99414
0,9937
0,99441 0,99541 0,99028
0,02981 0,03304 0,02993 0,03034 0,04442
4945,44 4600,64 5186,05 10703,39 4549,05
175
175
175
296
268
26,36
30,14
27,87
59,11
53,85
0,155
0,191
0,157
0,273
0,529
Как видно из таблицы, стандартные погрешности sey находятся в пределах
0,029…0,044. Уменьшение числа знаков после запятой до четырех слабо влияет
на результаты расчета. При увеличении количества точек исходных данных
(вариантов расчета КТ) возможно некоторое изменение коэффициентов b 0…b6 и
показателей дисперсионного оценивания. Вполне допустимо использование
экспериментальных данных для обобщения, если в процессе опытов измерены все
величины, из которых формируются безразмерные переменные.
Приведенные в таблице коэффициенты b0…b6 позволяют по уравнению (1)
определять отношение π7=ркр/рк при дросселировании выбранного хладагента в
конкретных условиях. При этом должны быть известны размеры и шероховатость
КТ, а также состояние хладагента на ее входе. Оно определяется температурой tк
или давлением конденсации рк, переохлаждением ∆tп или начальным
паросодержанием х0. Для выполнения расчетов достаточно использовать
инженерный калькулятор.
Чтобы наглядно судить о точности аппроксимации, по каждому хладагенту
графически сопоставлялись рассчитанные по уравнению (1) значения π7у со
значениями π7р, определенными по программе RefCap. Точечная диаграмма
взаимосвязи между π7у и π7р для 216 вариантов дросселирования хладагента R134а
показана на рисунке. Как видим, расхождения невелики, а полного совпадения
быть не может по той причине, что при обобщении учитываются только
параметры хладагента на входе в КТ. Программа же RefCap использует
справочные данные о свойствах хладагента на каждом участке КТ.
π7р
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
π7у
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Рис. Диаграмма сопоставления результатов расчета для R134а
Fig. The diagram of comparison of results of calculation for R134a
Таким образом, использование уравнения (1), наряду с уравнениями для
расчета длины КТ и расхода хладагента [6], позволяет с достаточной точностью
определять основные показатели дросселирования шести хладагентов в КТ
принятых размеров при разных сочетаниях параметров хладагента на ее входе.
При проектировании ХМ важно правильно подобрать размеры КТ, а при анализе
ее работы интерес представляет расход хладагента через трубку принятых
размеров в неноминальных режимах работы. Во всех случаях следует сравнивать
критическое давление с давлением кипения хладагента.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Li Yang, Wen Wang. 2008. A generalized correlation for the characteristics of
adiabatic capillary tubes. Jnt.J. Refrigeration. 197-203.
2. ASHRAE. 2002. ASHRAE Handbook – Refrigeration. American Society of
Heating, Refrigerating and Air conditioning Engineers. Atlanta (chapter 45).
3. Вайсман, М.Д. Термодинамика парожидкостных потоков /М.Д. Вайсман.Л.: Энергия, 1967.-272с.
4. Ейдеюс, А.И. Гидродинамический расчет капиллярных трубок /А.И.
Ейдеюс, В.Л. Кошелев // Вестник МАХ. - 2008.- №3. – С.36-39.
5. Лабунцов, Д.А. Механика двухфазных систем /Д.А. Лабунцов. – М.:
Издательский дом МЭИ, 2007. -384 с.
6. Ейдеюс, А.И. Безразмерные уравнения для расчета капиллярных трубок
/А.И. Ейдеюс, В.Л. Кошелев // Вестник МАХ. - 2011. - №2. – С.10-15.
CALCULATION OF CRITICAL PRESSURE OF THE COOLANT
ON THE EXIT FROM CAPILLARY TUBES
A.I. Ejdejus, V.L. Koshelev
With use of seven dimensionless variables exponential dependences for calculation of pressure of a two-phase flow in critical section of capillary tubes are received at throttling six modern refrigerants. Statistical exponents are obtained by linear regression computer program. For each refrigerant is
processed not less than 180 variants of numerical calculation under the program RefCap developed earlier
at various combinations of the initial data.
refrigerants, capillary tube, throttling, critical cross-section, pressure, void fraction (flow quality), subcooled liquid