Математический анализ - Санкт

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Рекомендуется для направления подготовки
080100 Экономика
Квалификация выпускника - бакалавр
Санкт-Петербург
2011 год
2
1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике
(основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата,
помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в
усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать
процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и
алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков
самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к
научному поиску путей совершенствования своей работы.
2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Математический анализ»
относится к циклу Б.2.1. Математический цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и
компетенции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной
школы. Дисциплина «Математический анализ» является предшествующей для следующих
дисциплин: Теория вероятностей и математическая статистика, Методы оптимальных
решений, Теория рисков, Математические методы и модели, Микроэкономика,
Макроэкономика, Статистика, Эконометрика, Экономическая теория, Экономика фирмы.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
– способен понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом
процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе
защиты государственной тайны (ОК-12);
– владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления
информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК13);
расчетно-экономическая деятельность
способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность
хозяйствующих субъектов (ПК-1);
способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы
рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие
деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов
расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми
в организации стандартами (ПК-3);
аналитическая, научно-исследовательская деятельность
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения
поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных
в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и
обосновать полученные выводы (ПК-5);
способен на основе описания экономических процессов и явлений строить
стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно
интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
организационно-управленческая деятельность
способен использовать для решения коммуникативных задач современные
технические средства и информационные технологии (ПК-12);
педагогическая деятельность
3
способен преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях
различного уровня, используя существующие программы и учебно-методические
материалы (ПК-14);
способен принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического
обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основы математического анализа, необходимые для решения экономических
задач;
Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования для решения экономических задач;
Владеть: навыками применения современного математического инструментария для
решения экономических задач; - методикой построения, анализа и применения
математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических
явлений и процессов навыками применения современного математического
инструментария для решения экономических задач; - методикой построения, анализа и
применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития
экономических явлений и процессов.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц.
Вид учебной работы
Всего
Семестры
часов
1
2
144
54
90
-
-
Лекции
64
22
42
Практические занятия (ПЗ)
80
32
48
Самостоятельная работа (всего)
180
90
90
-
-
Тест №1
20
20
Тест №2
20
20
Контрольная работа №1
14
14
Тест №3
20
20
Контрольная работа №2
7
7
Тест №4
20
20
Контрольная работа №3
7
7
Экзамен
72
36
36
час
324
144
180
зач. ед.
9
3+1
4+1
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
В том числе:
Общая трудоемкость
4
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
1. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность.
Числовые последовательности. Множества и операции над множествами. Определение и
свойства
числовой
последовательности.
Арифметические
операции
над
последовательностями.
Предел
числовой
последовательности.
Сходящаяся
последовательность. Свойства пределов. Теорема о сходимости монотонной ограниченной
последовательности.
Бесконечно
малая
и
бесконечно
большая
числовая
последовательность. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над
последовательностями. Число е. Задача непрерывного начисления процентов.
Функции одной переменной. Основные понятия, связанные с функциями. Основные
элементарные функции. Арифметические операции над функциями. Сложная функция..
Элементарные функции. Функции одной переменной в экономике ( производственная
функция, функция затрат, функция спроса). Предел функции. Определения предела
функции в точке, на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Односторонние пределы. Свойства пределов функции. Сравнение бесконечно малых и
бесконечно больших. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над
функциями. Предельный переход в неравенствах.
Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции.
Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.
Экономическая интерпретация непрерывности. Замечательные пределы. Непрерывность
на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
2. Математический анализ функций одной переменной.
Производная функции в точке. Определение производной функции в точке.
Односторонние производные. Геометрический и механический смысл производной.
Производная в экономике. Правила вычисления производных, связанные с
арифметическими действиями над функциями. Производная сложной функции.
Производная обратной функции. Таблица производных. Производные высших порядков.
Дифференцируемые функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл
дифференциала. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое условие
дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости и существования
конечной производной. Приближенные вычисления при помощи дифференциала.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма, теорема Ролля,
теорема Лагранжа, теорема Коши, правило Лопиталя.
Монотонность и экстремумы функции одной переменной. Монотонные функции.
Признаки монотонности. Точки стационарности. Локальные экстремумы функции одной
переменной. Признаки существования локального экстремума. Задача оптимизации
функции на отрезке.
Выпуклые функции одной переменной. Определения выпуклости функции на
промежутке. Понятие о неравенстве Йенсена. Признаки выпуклости дифференцируемой
функции. Точки перегиба графика функции. Признаки существования точек перегиба.
Асимптоты графика функции. Исследование функции и построение графика.
5
Формула Тейлора. Многочлены Тейлора и Маклорена. Формулы Тейлора и Маклорена
для n раз дифференцируемых функций. Понятие об остаточном члене формулы Тейлора.
Формулы Маклорена для элементарных функций. Приближенные вычисления с помощью
формул Тейлора, оценка точности.
Применение производной в экономике. Эластичность функции и ее свойства.
Экономическая интерпретация монотонности и выпуклости функций. Исследование
функций в экономике на монотонность и выпуклость.
Интегрирование функции одной переменной. Первообразная функция и ее свойства.
Неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы
вычисления неопределенного интеграла. Определенный интеграл. Интегрируемые
функции. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.
.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Основные методы вычисления определенного интеграла. Понятие о приближенных
методах вычисления определенного интеграла. Несобственные интегралы. Применение
определенных интегралов.
3. Математический анализ функций нескольких переменных
Метрическое пространство Rn. Открытый и замкнутый шар в Rn. Классификация точек
относительно множества (внутренняя, внешняя, граничная, предельная). Открытые и
замкнутые множества. Ограниченное множество. Окрестности точек.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Определение функции n
переменных. График и множество уровня функции двух переменных. Функции
нескольких переменных в экономике. Предел функции n переменных. Непрерывность в
точке и непрерывность на множестве. Свойства непрерывных функций нескольких
переменных.
Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные в точке и
частные производные функции. Вычисление частных производных. Дифференцируемость
функций n переменных. Полный дифференциал, его геометрический смысл. Условия
дифференцируемости функции n переменных. Частная производная сложной функции.
Эластичность функции по переменной. Частные производные высших порядков, свойство
смешанных производных. Производная функции по направлению. Градиент функции и
его свойства. Матрица Гессе. Формула Тейлора для функций нескольких переменных (без
доказательства). Понятие о неявных функциях и дифференцировании неявных функций.
Экономический примеры (предельная норма замещения ресурсов, эластичность
замещения ресурсов, класс функций CES).
Выпуклость и локальные экстремумы функций нескольких переменных. Выпуклые
множества в пространстве Rn. Определения выпуклых вверх (вниз) функций. Признаки
выпуклости. Экономическая интерпретация выпуклости функции.. Локальные
экстремумы функции нескольких переменных. Условия существования локального
экстремума (доказательство для двух переменных). Понятие об условном экстремуме и
методе множителей Лагранжа. Задача оптимизации функции двух переменных.
Экономические примеры. Однородные функции, их свойства и применение в экономике.
Кратные интегралы. Определение и свойства двойного интеграла. Интегрируемые
функции. Повторные интегралы. Теорема Фубини (без доказательства). Вычисление
двойных интегралов прямоугольных и полярных координатах.
4. Ряды
6
Числовые ряды. Определение числового ряда. Сумма числового ряда. Сходимость
числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Свойства сходящихся
числовых рядов. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные
ряды, абсолютная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Признак сходимости
Лейбница для знакочередующихся рядов. Пример расчета приведенной стоимости вечной
ренты.
Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Область и радиус сходимости
степенного ряда. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена и их применение.
5. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение, его
порядок, решение дифференциального уравнения, интегральная кривая. Задача Коши для
дифференциального уравнения первого порядка. Общее и частное решение
дифференциального уравнения первого порядка. Экономические примеры (модель
естественного роста выпуска, модель научно-технического прогресса нейтрального по
Хэрроду, модель научно-технического прогресса нейтрального по Хиксу).
Интегрирование основных типов дифференциальных уравнений первого порядка
(уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение
Бернулли). Экономические примеры ( модель научно-технического прогресса
нейтрального по Солоу, модель динамики рыночных цен, функция спроса с постоянной
эластичностью, модель финансовых потоков инвестиционного проекта, динамическая
модель Кейнса, уравнение Самуэльсона, модель роста с постоянной скоростью,
логистическая модель роста, производственная функция CES).
Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка. Однородное линейное дифференциальное уравнение,
структура его общего решения. Однородное линейное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами. Структура общего решения неоднородного линейного
дифференциального уравнения. Нахождение частного решения линейного неоднородного
уравнения с постоянными коэффициентами для некоторых типов правой части. Понятие о
методе вариации произвольных постоянных.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
Теория вероятностей и
математическая
статистика
Методы оптимальных
решений
Теория рисков
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
5
Математические
методы и модели
Микроэкономика
6
Макроэкономика
*
2
3
4
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для
изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
*
*
*
*
*
*
*
*
7
7
Статистика
*
*
8
Эконометрика
*
*
10
Экономическая теория
*
*
*
11
Экономика фирмы
*
*
*
*
*
*
*
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
№
Наименование раздела дисциплины
Лекц.
Практ. СРС
зан.
Всего
час.
п/п
1
Введение в математический анализ
6
6
20
32
2
Математический анализ функции
16
26
70
112
22
22
44
88
одной переменной
3
Математический анализ функций
нескольких переменных
4
Ряды
8
10
18
36
5
Дифференциальные уравнения
12
16
28
56
6. Лабораторный практикум не предусмотрен.
7. Практические занятия (семинары)
№
п/п
№ раздела
дисциплины
1
1
2
3
4
5
1
1
2
2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Тематика практических занятий (семинаров)
Множества. Числовые последовательности. Предел
числовой последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции.
Замечательные пределы.
Дифференцирование функций.
Дифференцирование функций, дифференциал и его
применение.
Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
Дифференцирование функций
Дифференциал функции и его применения
Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Монотонность и экстремумы.
Исследование функции и посторенние графика.
Исследование функции и посторенние графика.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Несобственные интегралы.
Контрольная работа №1.
Трудоемкость
(час.)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
17
18
19
3
3
3
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
34
5
35
36
5
5
37
5
38
5
39
40
5
5
Основные понятия функций нескольких переменных.
Частные производные.
Полный
дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Градиент и его свойства.
Производная по направлению.
Локальные экстремумы функции двух переменных
Условный экстремум.
Оптимизация функции двух переменных.
Кратные интегралы.
Кратные интегралы.
Контрольная работа №2.
Знакоположительные ряды
Знакочередующиеся ряды
Степенные ряды
Степенные ряды
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена
Дифференциальные
уравнения
(ДУ)
с
разделяющимися переменными
Линейные и однородные ДУ первого порядка. Задача
Коши.
ДУ Бернулли. ДУ, допускающие понижение порядка
Линейные
однородное
ДУ
с
постоянными
коэффициентами
Линейные ДУ с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью
Линейные ДУ с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью
Метод вариации произвольных постоянных
Контрольная работа №3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
1. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. –
М.: Наука,1980.
2. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. – М.: Наука, 1982.
3. Бугров Я.С. Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. ФКП. – М.: Наука, 1981.
4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш., – М.: ЮНИТИ,
1998.
б) дополнительная литература
1. Математика в экономике: учебно-методическое пособие. Под ред. Н.Ш Кремера. –
М.: Финстатинформ, 1999.
9
2. Математический анализ для экономистов (под редакцией Гриба А.А. и
Тарасюка А.Ф.) – М.: ФИЛИН, 2000.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Бранков А.В. Математика в экономика. –
М.: Финансы и статистика, 1998.
4. Ведина О.И., Десницкая В.Н., Варфоломеева Г.Б., Тарасюк А.Ф. Математика.
Математический анализ для экономистов. – М.: Филинь, 2000
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учебник. – М.:
Гос.Изд.физ-мат.литература,1983.
6. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). – М.:
Высшая школа, 1983
в) программное обеспечение не предусмотрено
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1. http://www.intuit.ru/
2. http://www.edu.ru/
3. http://www.i-exam.ru/
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Документ-сканер, принтеры, компьютеры и пакеты программ обработки результатов
тестирования.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
В течение первого семестра изучается математический анализ функции одной
переменной. Для проверки самостоятельной работы в первом семестре запланированы два
теста и контрольная работа. Максимальное число баллов за контрольную работу №1 равно
20, тесты №1 и №2 оцениваются в 40 баллов каждый. Минимальное количество баллов,
при котором тест или контрольная работа считаются сданными, равно 23 для теста и 9 для
контрольной работы. В течение семестра необходимо набрать не менее 55 баллов. Во
втором семестре изучается математический анализ функций нескольких переменных,
ряды и дифференциальные уравнения. Для проверки знаний проводятся два теста (по 38
баллов каждый) и две контрольных работы (по 12 баллов). Максимальное число баллов,
которое можно получить за работу в семестре, равно 100. Минимальное количество
баллов за тест равно 20, за первую контрольную работу – 8, за вторую – 7. В течение
семестра необходимо набрать не менее 55 баллов. Каждый семестр заканчивается
экзаменом. Максимальное число баллов, которое можно получить на экзамене, также
равно 100. Итоговая оценка (в баллах) вычисляется по формуле Q  0,8  Qсем  0, 2Qэкз , где
Qсем – баллы, полученные за работу в семестре, а Qэкз – за экзамен. Набранное итоговое
количество баллов переводится в оценку согласно следующей таблице:
итоговое количество баллов
до 55
от 55 до 70
от 70 до 85
от 85
оценка
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
10
Примерные вопросы и задачи теста №1.
1. На рисунке изображены графики функций
f ( x ) и g ( x) , заданных на промежутке
[ 2;5] .
Справедливо утверждение:
А) Функция f ( g ( x)  4) убывает.
Б) Уравнение
f ( g ( x)) = 3 имеет два решения.
В) Наибольшее значение функции f ( f ( x )) равно 5.
Г) Число 2 является корнем уравнения g ( g ( x)) = 2 .
2. Справедливо утверждение:
А) Если последовательности xn и
xn  yn
yn
монотонны и неограничены, то последовательность
неограничена.
Б) Если последовательности
xn
и
yn
монотонны и
yn  0 , то последовательность
xn
yn
монотонна.
В) Всякая строго возрастающая последовательность целых чисел имеет член, больший 10.
Г) Если ( xn ) и ( yn ) – возрастающие последовательности отрицательных чисел, то
последовательность
3. Значение
( xn yn )
a , при котором
А) 1 .
4. Дана функция
Б)
1
f ( x) =
убывает.
x2  a
= 1 равно:
lim
x ax  1
. В)
2.
2x 1
. Справедливо утверждение:
x2  4
Г)
1
.
2
11
А) Функция
f ( x ) непрерывна в каждой точке области определения.
Б) Функция f ( x ) имеет ровно две точки разрыва.
В) Функция f ( x ) имеет точку устранимого разрыва.
Г) Функция f ( x ) ограничена на промежутке [ 1;1] .
Выбор одного ответа.
Пусть функция u ( x ) определена и ограничена в некоторой окрестности точки
x0 ,
а
v ( x ) является бесконечно большой при x  x0 . Тогда при x  x0 функция
u ( x)
f ( x) 
…
v( x)
функция
А. бесконечно малая Б. бесконечно большая В. может не иметь предела
Г. может иметь ненулевой предел
Примерные вопросы и задачи теста №2.
Ответы ДА или НЕТ.
Дан график производной f ' ( x) некоторой функции f (x ) :
f  x 
2
1
2
1
0
1
2
3
x
1
2
Справедливо утверждение:
на промежутке (1;0) функция
f (x ) возрастает
на промежутке  2;0  график функции f (x ) имеет точку перегиба
в точке  1 функция f (x ) имеет максимум
на промежутке (2;3) функция f (x ) убывает
Функции
f ( x ) и g ( x) определены и дифференцируемы на всей числовой оси. Известно,
что f (1) = 0 , f (2) = 3 , g (1) = 2 , g (1) = 2 . Тогда производная функции f ( g ( x))
в точке 1 равна
А) 1 .
Б) 2 .
В) 3 .
Г) 6 .
Дан график производной
[0;5] .
f ( x) некоторой функции f ( x ) , заданной на промежутке
12
Справедливо утверждение:
А) Функция f ( x ) выпукла вниз. Б) Функция
f ( x ) строго возрастает.
В) Функция f ( x ) не имеет корней. Г) График функции f ( x ) имеет точку перегиба.
Функция
f ( x ) определена на промежутке (0;2) . Справедливо утверждение:
А) Если
f ( x ) строго возрастает на промежутке (0;1) и строго убывает на промежутке
(1;2) , то 1 является точкой максимума этой функции.
Б) Если функция f ( x ) дифференцируема при всех x  1 , причем f ( x)  0 при
0  x  1 и f ( x)  0 при 1  x  2 , то 1 является точкой минимума функции f ( x ) .
В) Если f ( x ) непрерывна на промежутке (0;2) , строго убывает на промежутке (0;1)
и строго возрастает на промежутке (1;2) , то 1 является точкой минимума этой функции.
Г) Если функция f ( x ) дифференцируема при всех x  1 и имеет положительную
вторую производную при всех x  1 , то 1 является точкой минимума функции f ( x ) .
Числовой ответ.
Для функции y


 sin 2 x выписана формула Тейлора по степеням  x   . Найти
2

значение коэффициента при


x 
2

3
.
Примерные вопросы и задачи теста №3.
Ответы ДА или НЕТ.
Пусть
f  x; y   2 x 2  3xy  4 y 2  x  5 y , Тогда верны следующие утверждения:
 1; 1 является точкой минимума функции f  x; y  .
Функция f  x; y  не имеет точек максимума.
Точка  1;1 является стационарной точкой функции f  x; y  .
Длина вектора - градиента функции f  x; y  в точке  1; 1 больше 1.
Точка
13
Первая частная производная функции
f ( x, y ) = ln( xy 2  x 3 ) по переменной x в точке
(1;0) равна:
А) 1.
Б) 2.
В) 3.
Г) 4.
Справедливо утверждение:
f ( x, y ) = 2010 x 2  2011xy  2012 y 2 имеет ровно две точки максимума.
3
2
Б) Функция f ( x, y ) = x  3 xy  6 y имеет по крайней мере две стационарные точки.
А) Функция
В) Существует функция, имеющая более 100 стационарных точек.
Г) Если функция f ( x, y ) не имеет ни одной стационарной точки, то она не имеет ни
наименьшего, ни наибольшего значения.
График функции
y = f ( x) изображен на рисунке:
y
2
y=f(x)
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Справедливо утверждение:

Г) 
А)
6
5
6
5
f ( x)dx = 2 . Б)

6
5
f ( x)dx = 6.5 . В)

6
5
f ( x)dx = 7 .
f ( x)dx = 80 .
x
Функция
f ( x ) задана на промежутке [1; ) формулой
sin t
dt.
t
1
f ( x) = 
Справедливо утверждение:
А) Функция f ( x ) является монотонной.
Б) Функция
f ( x ) возрастает на промежутке [2;3] .
В) Точка x =  является точкой минимума функции f ( x ) .
Г) В точке x =  функция принимает наибольшее значение.
Примерные вопросы и задачи теста №4.
Выбор ответа.
При любых значениях постоянных c1 и c2 функция y( x)  c1 sin3x  c2 cos3x
является решением дифференциального уравнения:
А. y   9 y  0 Б. y   9 y  0 В. y   3 y   0 Г. y   3 y   0
14
Частное решение для дифференциального уравнения
в виде
1)
Axe  x
2)
Axe  x  B

Даны ряды:
2n
,

n
!
n 1
3)

2n
,

2
n
n 1
y   2 y   y  xe  x можно искать
( Ax 2  Bx)e  x 4) ( Ax  B )e  x

nn
,

n
!
n 1

(n!)3
.

(2
n
)!
n 1
Количество расходящихся среди них равно
А) 0.
Б) 1.
В) 2.
Г) 3.
Д) 4
Числовой ответ.
Найдите коэффициент при
x3 в разложении функции f ( x) 
3
в ряд
( x  1)(2 x  1)
Маклорена.
Примерные задачи контрольной работы №1.
Вычислить интегралы
x  arctg x
dx
1  x2
x3  4 x 2  1
2. 
dx
x3
1. 
3.  (4 x  2)cos 2 x dx
1  ln x
dx
x
1
e
4. 

5.

e2
dx
x ln 4 x
Примерные задачи контрольной работы №2.
Задача
№1.
Найти
частные
производные
z  sin 2 ( x  y )  sin 2
первого
порядка
x
 cos 2 2 y .
y
Задача №2. Найти экстремумы функции z 3x
2
 y2 4 y 5 .
Задача №3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции z  5 xy  y в области,
2
ограниченной неравенствами x  4, y  5 x  5 .
2
Примерные задачи контрольной работы №3.
1
Задача №1. Изменить порядок интегрирования
2 x
 dx 
0
x
2
f ( x, y )dy .
15

Задача №2. Вычислить
2 sin x
 dx 
0
x
ydy .
2
2
Задача №3. Вычислить в полярных координатах
4 x 2
 dx 
2
( x 2  y 2 )dy .
0
Разработчики:
СПбГУЭФ
СПбГУЭФ
доцент
В. Н. Десницкая
доцент
В. Г. Дмитриев
ЭМИ РАН
директор
Л. А. Руховец
СПбГМТУ
профессор
В. Б. Хазанов
Эксперты: