Эллипс как геометрическое место точек (физико-математическое отделение) методическая разработка урока

УПРАВЛЕНИЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И ДЕЛАМ МОЛОДЕЖИ
Краевое государственное общеобразовательное учреждение
«Бийский лицей Алтайского края»
Эллипс как геометрическое место точек
методическая разработка урока
по геометрии в 9 классе
(физико-математическое отделение)
Разработчик: Анна Леонидовна Невешкина,
учитель математики
Бийск
2007
Тема: «Эллипс как геометрическое место точек» (1 час).
Цель:
образовательная: сформировать понятие об эллипсе как о
геометрическом месте точек; вывести каноническое
уравнение
эллипса,
показать
применение
полученных знаний об эллипсе к решению задач;
показать применение геометрических знаний к
реальным процессам в природе; углубить знание по
теме «Метод координат»
развивающая:
развитие мышления учащихся; развитие памяти;
развитие логического мышления, способности четко
формулировать свои мысли; развитие воображения
учащихся; развитие интереса к геометрии; развитие
устной речи, развития умения написания конспекта.
воспитательная: приобщение к исследовательской деятельности;
развитие кругозора; воспитание аккуратности при
выполнении практических работ.
Тип урока: изучение нового материала
Структура урока:
1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока.
Мотивация изучения нового материала.
2. Актуализация знаний учащихся (ГМТ, окружность и гипербола
как ГМТ)
3. Проведение практической работы (построение эллипса, исходя из
ГМТ).
4. Изучение нового материала (вывод канонического уравнения
эллипса).
5. Первичное закрепление изученного материала.
6. Подведение итогов урока.
Ход урока.
Организационный момент. Мотивация изучения нового
материала.
Начать урок можно, процитировав венгерского математика Дьердье
Пойа: «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в
решении любой задачи присутствует крупица открытия». Как вы думаете,
что означает эта цитата?
Действительно, в решении любой задачи присутствует крупица
открытия и прежде, чем совершить большое научное открытие, нужно
постоянно работать над небольшими задачами, каждая из которых
приближает к решению больших задач, так как большое начинается с малого.
2
И сегодня на уроке мы с вами попробуем совершить небольшое
открытие, которое будет состоять в решении следующей задачи: найти ГМТ,
сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина
постоянная, большая чем F1F2.
Цель нашего урока: выяснить, что за линия удовлетворяет этому
множеству и каким уравнением она задается, а также посмотреть применение
полученных знаний к решению задач.
Актуализация знаний учащихся. Прежде чем мы с вами приступим к
решению задачи (небольшому открытию), давайте вспомним, что мы знаем
про ГМТ.
 Что такое ГМТ? (ГМТ – фигура, которая состоит из всех точек
плоскости, обладающим определенным свойством.
 Какие вы знаете фигуры, определяемые через ГМТ? (окружность
– ГМТ равноудаленных от данной; гипербола – ГМТ для каждой
из которых абсолютная величина разности до двух данных точек
F1 и F2 имеет одно и тоже значение, меньшее, чем F1F2.).
Объяснять по рисункам, заготовленным заранее на доске.
 При выводе уравнений этих линий мы использовали формулу
расстояния между двумя точками, давайте ее вспомним.
А( х1 ; у1 ) В( х 2 , у 2 )
 (А, В)  ( х1  х 2 ) 2  ( у1  у 2 ) 2 .
 Представьте, что вам нужно начертить
окружность на песке (циркуля нет). Как
пользуясь только подручными материалами
это сделать (описать процесс построения
окружности с помощью веревки).
Проведение практической работы. Теперь давайте вернемся к задаче,
которую мы решаем и попробуем практически выяснить, что это за линия.
Сделать рисунок и с помощью него составить план построения линии.
Проанализируем условие задачи и выполним чертеж.
Т. о., нужно построить линию, для которой сумма МF1+MF2
постоянная: значения слагаемых меняются (но всегда неотрицательны, т. к.
это расстояния между двумя точками), а значение суммы постоянно. Длины
отрезков в данном случае удобно измерять с помощью нити (показать, что на
3
нити можно выбирать разные части по длине, а в сумме будет одно и тоже
значение). Совместно с учащимися составляем план (по аналогии с
построением окружности с помощью веревочки).
 Прикрепим концы нити с помощью
кнопок к точкам F1 и F2.
 Карандашом натянем нить так, чтобы
его острие касалось бумаги.
 Будем перемещать карандаш по бумаге
так, чтобы нить оставалась натянутой.
 Вычерчиваем карандашом линию.
Учащиеся выполняют практическую работу по заранее заготовленным
моделям и получают на бумаге линию.
Получившаяся линия называется эллипсом, вы с ней встречались в
курсе черчения. Итак, в тетради записываем число и тему урока: «Эллипс как
геометрическое место точек». В начале урока мы с вами сформулировали
цель и задачи: что за линия удовлетворяет данному множеству, мы выяснили,
осталось вывести ее уравнение и посмотреть, как применяются полученные
знания к решению задач.
Изучение нового материала. Исходя из поставленной задачи,
сформулировать определение эллипса.
Эллипс - ГМТ, сумма расстояний, от которых до двух заданных точек
F1, F2, есть величина постоянная, большая, чем F1F2. Точки F1 и F2
называются фокусами эллипса.
Выведем уравнение эллипса с помощью метода координат: ввести
удобным образом систему координат и в ней найти координаты всех
задействованных точек.
Дано:
F1F2 = 2с
М(х; у), f(x, y)=0
МF1+MF2=2а
2а>2c
Найти: f(х, у) = 0.
Замечание: если точки М, F1, F2 не лежат на одной прямой, то требование
2а>2с избыточное, так как данный факт следует из неравенства
треугольника.
Решение:
1) Введем прямоугольную систему координат так чтобы фокусы F1 и F2
лежали на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка
F1F2. Тогда F1(-c; 0), F2(c; 0).
4
2) MF1   (М, F1 )  ( х  с) 2  у 2 .
3)
МF2   (M, F2 )  ( x  c) 2  y 2 .
M( x, y)  f ( x, y)  0  MF1  MF2  2а
.
(х  с)2  у 2  ( х  с) 2  у 2  2а (*)
4) М( х, у)  f ( x, y)  0  MF1  MF2  2a , т. е. координаты точки М не
удовлетворяют уравнению (*).
5) Уравнение (*) – уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Преобразуем его к более простому виду.
Обе
части
данного
уравнения
( х  с )2  у 2  2а  ( х  с )2  у 2 .
неотрицательны (так как от целого 2а отнимается его часть МF2),
следовательно, возведение в квадрат обеих частей уравнения является
равносильным преобразованием.
х 2  2 хс  с 2  у 2  4а 2  4а ( х  с )2  у 2  х 2  2 хс  с 2  у 2
4 хс  4а 2  4а ( х  с )2  у 2 : ( 4 )
а 2  хс  а ( х  с )2  у 2
Возведем еще раз обе части в квадрат, считая что обе части неотрицательны.
а 4  2а 2 хс  х 2 с 2  а 2 ( х 2  2 хс  с 2  у 2 )
а 4  2а 2 хс  х 2 с 2  а 2 х 2  2а 2 хс  а 2 с 2  а 2 у 2
а 2 ( а 2  с2 )  х2 ( а 2  с2 )  у 2а 2
Так
как,2а22 – с22>0,2 то 2пусть
а2 – с2 = b2
2 2
2
а b  x b  y a |: а b  0
x2 y2
1 2  2
a
b
х2 у2
 2  1 , где b  a 2  c 2 , которое
6) Получили уравнение эллипса
2
а
b
называется каноническим уравнением. Величины а и b называются
соответственно большой и малой полуосями эллипса – т.е., расстояния от
центра эллипса до наиболее и наименее удаленных точек. Названия
«большая» и «малая» объясняются тем, что а>b.
х2 у2
Ответ: 2  2  1
а
b
«Эллипс» в переводе с греческого означает «выпадение», «опущение».
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, что в переводе с латинского
5
означает «огонь», «очаг». Происхождения этих названий связаны
с
оптическими свойствами эллипса, которые вы будете изучать в курсе
физики.
Первичное закрепление изученного материала.
х 2 у2

 1 . Найти длины его полуосей
1. Эллипс задан уравнением
9
4
и координаты фокусов.
2. Составить уравнение эллипса, если известно, что его большая
полуось равна 5, а один из фокусов задан своими координатами
(-4; 0)
3. Что будет происходит с эллипсом, если фокусы: а) приближаются
друг к другу; б) удаляются друг от друга.
4. Найти геометрическое место точек, для которых сумма
расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной
величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
5. Для заданных точек А и В найти геометрическое место точек С,
для которых периметр треугольника АВС равен постоянной
величине 2а.
х 2 у2

1 и
6. Исследовать взаимное расположение эллипса
16 4
окружности радиуса 7 с центром в начале координат.
х 2 у2

1 и
7. Исследовать взаимное расположение эллипса
9
4
прямой, проходящей через точки с координатами (1; -1) и (3; 1).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы.
а =3; b = 2; с = 9  4  5 .
х2 у2

 1.
25 9
а) эллипс приближается к окружности; б) эллипс сжимается к отрезку.
а) точки, расположенные внутри эллипса; б) точки расположенные вне
эллипса.
Эллипс с фокусами А и В и двумя выколотыми точками.
Пересекаются в четырех точках  2; 3 , 2; 3 .
 36 10 
Пересекаются в двух точках (0; -2),  ;  .
 13 13 

Поставить оценки за работу на уроке.
Подведение итогов урока.
6


Как вы знаете, все математические объекты тем или иным способом
находят свое применение в практике. Эллипс имеет самое непосредственное
отношение к Вселенной. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий
астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг
Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем
Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов. Посмотрите какое
открытие мы с вами сегодня совершили – решили задачу о множестве точек,
а это ГМТ имеет отношение ко Вселенной, в которой все существует (и это
только задача!).
Вы обратили внимание на тему «Эллипс как геометрическое место
точек»? Что это значит? Может быть, эллипс можно рассматривать иначе?
(провести аналогию с рассмотрением гиперболы в курсе алгебры и
геометрии). Действительно эллипс можно рассматривать и с другой точки
зрения – с точки зрения конических сечений. И не только эллипс, но
гиперболу и параболу. В старших классах мы докажем, что эллипс,
гиперболу и параболу можно получить как сечение конуса плоскостью.
Поэтому их и называют коническими сечениями. Конические сечения
изучали еще древнегреческие геометры, и теория конических сечений была
одной из вершин античной геометрии. А уравнения этих линий были
выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.
Домашним заданием. Составить и решить четыре задачи по теме
урока.
Ребята, урок подходит к концу, давайте подведем его итоги. Ответьте
пожалуйста на вопросы.
 Что нового вы узнали на уроке? Или, какие моменты для вас
были наиболее интересными?
 Какая из задач для вас была наиболее легкой, трудной,
интересной?
 Поднимите руки те, кто доволен своей работой на уроке.
Я тоже хочу ответить на последний вопрос. Я довольна нашей с вами
работой, и возвращаюсь к цитате, с которой мы начинали урок. «Крупное
научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой
задачи присутствует крупица открытия». Большое начинается с малого. На
каждом уроке мы с вами постоянно решаем задачи – делаем небольшие
открытия и я верю в то, что однажды все эти открытия (не только по
математике) соберутся в ваших головах вместе в единую систему и ктонибудь из вас совершит крупное научное открытие, которое даст решение
крупной научной проблемы.
Благодарю вас за работу на уроке. Урок окончен. До свидания.
7
Список использованной литературы.
1. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учебное пособие для
учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики / Л. С. Атанасян, В.
Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. – М.: Просвещение, 1997.
– 176 с.: ил.
2. Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и Кл.
с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров. А. Л. Вернер, В. И.
Рыжик. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 451 с.: ил.
3. И. Смирнова, В. Смирнов Геометрия на профильном уровне
обучения. Лекция 3 // Математика № 19 – 2006г – стр. 39 – 46.
4. Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г. Элементы геометрии в
задачах. – М.: МЦНМО, 2003. – 168 с.
5. Бобров С. П. Волшебный двурог. Издание 3-е. – М. МЦНМО, 2006.
– 512 с.
6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д.
Аксенова. – М.: Аванта+, 1998. – 688с.: ил.
8