\item Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных

Вопросы по УМФ . (Все, что доказывалось на лекциях — доказывать)
1. Гамма-функция Эйлера. Определение, рекуррентное соотношение, формула
дополнения.
2. Гамма-функция Эйлера. Определение, асимптотика, график.
3. Бета-функция и её связь с гамма-функцией.
4. Основные и обобщенные функции. Свойства обобщенных функций.
5. Дельта-функция Дирака и ей свойства.
6. Примеры обобщенных функций.
7. Дифференцирование обобщенных функций.
8. Дельтообразные последовательности и слабый предел.
9. Самосопряженный вид дифференциального уравнения. Задача Штурма-Лиувилля для
линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
10. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.
11. Линейные уравнения в частных производных I порядка. Характеристическая система и
ее первые интегралы.
12. Задача Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка.
13. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения
гиперболического типа.
14. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения
параболического типа.
15. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения
эллиптического типа
16. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Уравнение
колебаний струны.
17. Уравнение колебаний струны. Начальные условия.
18. Уравнение колебаний струны. Граничные условия первого рода.
19. Уравнение колебаний струны. Граничные условия второго рода.
20. Уравнение колебаний струны. Граничные условия третьего рода.
21. Уравнение колебаний струны. Краевая задача.
22. Задача Коши для одномерного однородного волнового уравнения. Формула
Даламбера.
23. Задача Коши для одномерного неоднородного волнового уравнения.
24. Cмешанная задача для одномерного однородного волнового уравнения.
25. Cмешанная задача для одномерного неоднородного волнового уравнения
26. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода J (x).
27. Функции Бесселя первого рода J (x) и их свойства. Общее решение уравнения Бесселя
для   n.
28. Функции Бесселя второго рода N (x) и их свойства. Общее решение уравнения
Бесселя для произвольных .
29. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Функции Бесселя полуцелого
индекса.
30. Асимптотика и графики функций Бесселя первого и второго рода.
31. Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода.
32. Асимптотика и графики модифицированных функций Бесселя первого и второго рода.
33. Задача Штурма—Лиувилля для уравнения Бесселя. (Задача 1).
34. Задача Штурма—Лиувилля для уравнения Бесселя. (Задача 2).
35. Ряды Фурье—Бесселя и Дини.
36. Уравнения диффузии и теплопроводности. Типы граничных условий.
37. Уравнение Лапласа. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа.
38. Разделение переменных в двумерном уравнении Лапласа в декартовой системе
координат (случай непрерывных граничных условий).
39. Разделение переменных в двумерном уравнении Лапласа в декартовой системе
координат (случай разрывных граничных условий).
40. Разделение переменных в двумерном уравнении Лапласа в полярной системе
координат.
41. Интеграл Пуассона.
42. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрической системе координат.
u  0, u r a  f1 ( z ), u
z 0
u
z h
0
43. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрической системе координат.
u  0, u r a  0, u
z 0
 f 2 (r ), u
z h
 f 3 (r )
44. Полиномы Лежандра. Производящая функция .Формула Родрига. Рекуррентные
соотношения для полиномов Лежандра.
45. Ортогональность полиномов Лежандра. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения
Лежандра. Ряд Фурье—Лежандра.
46. Присоединенные функции Лежандра. Ряд Фурье по присоединенным функциям
Лежандра.
47. Сферические функции. Задача Штурма-Лиувилля и соотношение ортогональности.
48. Полиномы Эрмита. Производящая функция .Формула Родрига. Рекуррентные
соотношения для полиномов Эрмита.
49. Ортогональность полиномов Лежандра. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения
Лежандра. Ряд Фурье—Лежандра.
50. Ортогональность полиномов Эрмита. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения
Эрмита. Ряд Фурье—Эрмита.
51. Функции Эрмита.
52. Полиномы Лагерра. Производящая функция и формула Родрига. Рекуррентные
соотношения для полиномов Лагерра .
53. Ортогональность полиномов Лагерра. Ряд Фурье-Лагерра.
54. Функция Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности.