ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Для поступающих на второй курс
Технических направлений бакалавриата
ПРОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Испытания проводятся для обучавшихся в высших учебных
заведениях. Поступающих в Псковгу на второй курс технических
направлений бакалавриата.
Целью испытаний является выявление и оценка знаний и компетенций
поступающих по математике в объеме первого семестра.
Перед испытаниями проводится консультация.
Испытания проходят в форме экзамена. Испытуемый получает билет,
содержащий четыре вопроса. На подготовку отводится 45 мин. Ответы
даются в письменной форме.
Результаты испытания оцениваются в баллах. Общий результат
определяется как сумма результатов, полученных абитуриентом по итогам
ответа на каждый из вопросов. Максимально возможный общий результат
собеседования составляет 100 баллов. Проходным считается результат,
превышающий 40 баллов.
СОДЕРЖАНИЕ ИСПЫТАНИЯ
Матрицы. Числовые матрицы. Размерность матриц. Диагональная,
прямоугольная, квадратная, единичная, скалярная матрицы. Основные
операции матричной алгебры: транспонирование, умножение на число,
сложение. Умножение матриц.
Определители. Определитель квадратной матрицы второго и третьего
порядков. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по элементам строки (столбца).
Системы линейных уравнений. Система n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными. Матричный способ решения. Формулы
Крамера. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Теорема Кронекера –Капелли. Метод Гаусса – Жордана.
Векторы. Коллинеарные и компланарные векторы.
Линейные
операции: сложение векторов, умножение вектора на число. Их свойства.
Базис в пространствах R 2 и
R 3 . Разложение вектора по базису.
Координаты вектора в базисе. Декартов базис. Скалярное произведение
векторов. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.
Проекция вектора на ось. Векторное произведение векторов. Необходимое и
достаточное условие коллинеарности векторов. Вычисление площади
треугольника и площади параллелограмма с помощью векторного
произведения векторов. Смешанное произведение векторов. Вычисление
объема призмы и пирамиды с помощью смешанного произведения векторов.
Элементы аналитической геометрии. Уравнения прямой на
плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Уравнения плоскости. Угол
между плоскостями. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и
плоскостью. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их
геометрические определения и канонические уравнения. Поверхности
второго порядка, их канонические уравнения.
Введение в дифференциальное исчисление функции одного
аргумента. Понятие функции одной переменной, область определения,
область значения, график. Основные элементарные функции. Предел
функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Необходимое
и достаточное условие существования предела в точке, единственность
предела. Бесконечно малые функции, их свойства и сравнение.
Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Теорема о
связи пределов и б.м.ф. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно
малые функции и их применение при вычислении пределов. Непрерывность
функций одной переменной. Классификация точек разрыва. Сложная
функция, ее непрерывность. Обратная функция, ее существование и
непрерывность. Общие свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
Производная функции в точке, ее геометрический, механический и
экономический смысл. Теорема о непрерывности в точке функции, имеющей
в этой точке производную. Дифференцирование суммы, разности,
произведения, частного. Производная сложной функции. Производная
обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций.
КРИТЕРИ ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТОВ СОБЕСЕДОВАНИЯ
Оценивание производится по результатам ответов на четыре вопроса,
заданных комиссией. Ответ на каждый вопрос оценивается по 25 бальной
шкале.
В ходе собеседования учитываются полнота и логическая
последовательность изложения, знание базовой терминологии. Точность
приводимых
определений,
формулировок,
умение
раскрыть
и
прокомментировать содержание терминов, аргументированность изложения,
наличие фактических ошибок.
Шкала оценивания представлена в таблице:
Количество
баллов
25
20-24
15-19
Содержание ответа
Ответ отличается стройной логикой, знанием материала,
безупречным
владением
базовой
терминологией,
аргументированностью изложения.
Вопрос раскрыт полно и правильно, продемонстрировано
владение материалом в пределах обязательного курса,
отличное знание базовой терминологии, умение раскрыть и
прокомментировать содержание терминов.
Вопрос раскрыт достаточно полно и правильно,
продемонстрировано знание базовой терминологии, однако
имеют место отдельные неточности в изложении материала
10-14
5-9
1-4
0
и комментировании содержания понятий.
Вопрос раскрыт в целом правильно, продемонстрировано
знание в основном базовой терминологии, однако тема
освещена неполно, имеют место пробелы в изложении
материала, отсутствует умение комментировать содержание
понятий.
Вопрос раскрыт фрагментально, в знаниях имеются
существенные пробелы, допущены существенные ошибки.
Предпринята попытка ответить на вопрос, однако имеет
место путаница в базовых понятиях, допущены
многочисленные ошибки, курс не усвоен.
Знания по предмету полностью отсутствуют.
Перечень вопросов аттестационных испытаний
1. Числовые матрицы. Основные операции матричной алгебры: сложение матриц,
умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций.
2. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.
3. Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Матричный
способ решения. Формулы Крамера.
4. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Теорема
Кронекера –Капелли.
5. Метод Гаусса - Жордана.
6. Векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции: сложение
векторов,
7. умножение вектора на число. Их свойства.
2
3
8. Базис в пространствах R
и R . Разложение вектора по базису. Координаты
вектора в базисе. Декартов базис.
9. Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие
ортогональности векторов. Проекция вектора на ось.
10. Векторное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие
коллинеарности векторов. Вычисление площади треугольника и площади
параллелограмма с помощью векторного произведения векторов.
11. Смешанное произведение векторов. Вычисление объема призмы и пирамиды с
помощью смешанного произведения векторов.
12. Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости.
13. Уравнения плоскости. Угол между плоскостями.
14. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве.
15. Угол между прямой и плоскостью.
16. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их геометрические
определения и канонические уравнения.
17. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения.
18. Понятие функции одной переменной, область определения, область значения,
график. Основные элементарные функции.
19. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
Необходимое и достаточное условие существования предела в точке,
единственность предела.
20. Бесконечно малые функции, их свойства и сравнение. Арифметические операции
над функциями, имеющими предел. Теорема о связи пределов и б.м.ф.
Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
применение при вычислении пределов.
21. Непрерывность функций одной переменной. Классификация точек разрыва.
Сложная функция, ее непрерывность. Обратная функция, ее существование и
непрерывность. Общие свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
22. Производная функции в точке, ее геометрический, механический и экономический
смысл. Теорема о непрерывности в точке функции, имеющей в этой точке
производную.
23. Дифференцирование суммы, разности, произведения, частного.
24. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
25. Таблица производных основных элементарных функций.