Расчет анизотропных оболочек методом граничных элементов

РАСЧЕТ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ю. П. Артюхин, П. Г. Великанов
Казанский государственный университет, Казань, Россия
Одним из основных требований к конструкциям является разумное соотношение
между надежностью и экономичностью. В связи с этим широкое использование
тонкостенных анизотропных материалов в машиностроении представляется вполне
оправданным. Конструкции и детали, изготовленные из таких материалов (в отличие от
изотропных), обладают высокой несущей способностью по произвольно выбранным
направлениям, что позволяет снизить вес конструкций (обеспечить экономичность) с
одновременным увеличением их прочности.
Повышенные требования к прочности и надежности при уменьшении
материалоемкости создают сложные проблемы анализа напряженно-деформированного
состояния (НДС) тонкостенных тел. В связи с этим одной из главных задач механики
тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и
проектирования пластин и оболочек сложной формы при воздействиях локализованных и
распределенных внешних силовых нагрузок, что и является целью настоящей работы.
Рассмотрим малые деформации тонкой линейно-упругой пологой оболочки,
деформирование которой описывается моделью, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява
в рамках теории среднего изгиба [1].
Уравнения равновесия элемента пологой оболочки в усилиях имеют вид [2]
 Txy  Ty
 Tx  Txy

 px  0 ,

 py  0 ,
x y
x y
2
 2 M xy
 2M x  M y


2
 k xTx  k yTy 
(1)
 x2
 y2
 x y
  w
 w    w
 w

 Txy
 Txy
 p  0,
 Tx

 Ty
x x
 y  y  y
 x  z
где k x , k y – главные кривизны оболочки в направлении осей x , y ; px , p y , pz –
компоненты вектора внешней нагрузки, ось z направлена по нормали к центру кривизны.
В результате подстановки в (1) усилий и моментов, определенных через
перемещения для анизотропного материала, получим разрешающую систему нелинейных
дифференциальных уравнений равновесия гибкой пологой оболочки
F U   0 ,
(2)
где F – дифференциальный оператор, а U   u, v, w – вектор перемещения точек
срединной поверхности.
В выражении (2) слева выделяются линейные дифференциальные уравнения изгиба и
плосконапряженного состояния анизотропной пластины, фундаментальные решения
которых для каждого конкретного материала могут быть получены с помощью двумерного
интегрального преобразования Фурье, теории вычетов и понятия об ассоциированном
дифференциальном операторе. Оставшиеся же члены дифференциального уравнения (как
линейные, если таковые есть, так и нелинейные) переносятся направо.
Процесс последовательных приближений для решения системы (2) принимается в
виде
u  k 1  u  k    u u  u  k  , v k 1  v k    v v  v k  ,
(3)
w k 1  w k    w w  w k  ,  k  0,1, 2,... ,






( 0  u  1,
где  u ,  v ,  w
0   v  1,
0   w  1 ) – параметры, обеспечивающие
сходимость итерационного процесса (параметры релаксации). Вектор U  u, v, w
определяется из решения системы линейных уравнений, описывающих изгиб и
растяжение анизотропной пластины.
На контуре  , ограничивающем оболочку, рассматриваются следующие граничные
условия:
w
 0 , u  0 , v  0 – жесткая заделка,
w0,
n
(4)
w  0 , M n  0 , u  0 , v  0 – шарнирное закрепление,
M n  0 , Vn  0 , Tn  0 , Tn  0 – свободный край.
Решение системы выполняется методом компенсирующих нагрузок, в соответствии
с которым область  , представляющая план пологой оболочки, дополняется до
бесконечной плоскости, и на контуре  , который ограничивает область  , к бесконечной
пластине прикладываются компенсирующие нагрузки. Решение ищется в виде:
u  t    G11  t ,   1    G12  t ,   2   ds    u r t  ,

v  t    G21  t ,   1    G22  t ,   2   ds    v r t  ,



 G t, 
w  t     G  t ,   q   
m    ds    wr  t  .
 n  


Здесь t  x, y   ,   ,   ; ds – элемент длины контура  ; Gij  t ,   – матрица
фундаментального решения задачи о плосконапряженном состоянии анизотропной
пластины; G  t ,   – фундаментальное решение задачи изгиба анизотропной пластины;
n   – внешняя нормаль к контуру  ; 1   , 2   , m   – компоненты вектора
компенсирующих нагрузок на контуре  ( 1 ,  2 – усилия в срединной поверхности,
направленные вдоль координатных осей, q , m – усилие нормальное срединной
поверхности и момент вокруг касательной к контуру  ). Функции u r  t  , v r  t  , wr  t 
определяются соотношениями
u r  t    G11  t ,   l1    G12  t ,   l2   d    ,

v  t    G21  t ,   l1    G22  t ,   l2   d    ,
r

w  t    G  t ,   l3    p   d    ,
r

li    li u

k 
  , v k    , w k     ,
(5)
i  1, 2, 3 .
Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений с неизвестными
компенсирующими нагрузками получается при подстановке (5) в граничные условия (4).
При численной реализации алгоритма контур  аппроксимируется отрезками
прямых линий или дугами окружностей и разбивается на граничные элементы, в пределах
которых компенсирующие нагрузки считаются постоянными. Интегралы, не содержащие
особенностей, вычисляются на элементах контура по восьмиузловой формуле Гаусса.
Сингулярные интегралы вычисляются аналитически. Условие окончания итерационного
U  U k  U k    ,
процесса
(3)
принимается
в
виде
где
U
U
2
k 
  u 2  ti   v 2  ti   w2  ti  – принятая норма,  – малая положительная величина,

i

 u  k  , v k  , w k  .
Исследование нелинейного деформирования оболочек сводится к решению
нелинейных задач, зависящих от параметра, который может задаваться различными
способами. При численном решении нелинейных задач строится шаговый процесс для
монотонно изменяющихся значений выбранного параметра. Эффективность алгоритма
зависит от способа выбора этого параметра [3].
В настоящей работе изучение нелинейного деформирования пластин и пологих
оболочек проводится с помощью зависимостей «прогиб – нагрузка». За ведущий параметр
принимался прогиб w* в заданной точке t *  x* , y*  срединной поверхности оболочки. В
данном случае к системе нелинейных уравнений (1) добавляется уравнение w  t *   w* , и
нагрузка p считается неизвестной величиной. Строится итерационный процесс с шагом по
прогибу w* в заданной точке t * , то есть решаются нелинейные задачи для значений
прогибов w0* , w1* ,..., w*N в точке t * . При этом wi*  wi*1  w*  i  1, 2,..., N  .
При значении в точке t * прогиба w0* начальные приближения можно принять в виде
u  0  0 , v0  0 , w0  0 , что соответствует решению на первой итерации задачи изгиба и
растяжения пластины в линейной постановке.
В качестве примера рассматривался частный случай анизотропии – ортотропия. При
этом ставилась задача найти оптимальный угол армирования (угол между осями абсцисс
глобальной системы координат и локальной системы, присущей ортотропной пластине
или пологой оболочке), позволяющей обеспечить максимальную жесткость или прочность
[4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. – Казань: Изд-во КГУ,
1975. – 326 с.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. –
432 с.
3. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования
пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. – Казань: Фэн, 2002. – 199 с.
4. Саркисян В.С. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. – Ереван:
Изд-во Ереванского ун-та, 1970. – 444 с.