НЕТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ РАБОТЕ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ

НЕТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
ПРИ РАБОТЕ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ
Третьякова Ольга Александровна - учитель математики
Изучите азы науки, прежде
чем взойти на её вершины.
никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее.
И. П. Павлов
Начальным этапом учебной деятельности, влияющей на дальнейший её
ход и результаты, является мотивация. Один из мотивов учебной
деятельности
- познавательный. Если познавательный интерес учащихся
ориентирован на научно-теоретические основы, то таким ребятам желательно
предлагать на рассмотрение ситуации, в которых возникает необходимость в
открытии новых фактов, иных путей рассуждения, нестандартных решений.
От того насколько прочно ученик усваивает математический материал,
его глубину
и с какой скоростью
можно судить о математических
способностях. Это лучше всего пронаблюдать при решении задач.
По
количеству заданий, решённых ребёнком за определённое время можно
судить о скорости, по результатам повторно решенных задач – о прочности,
по умению использовать другие способы решения – о глубине.
К умению учащихся учиться приводит союз учителей и родителей,
занимающихся своими детьми. Наша цель: сделать ум ребёнка «пытливым,
подвижным», способным анализировать новые ситуации (Б.В.Инеденко).
Очень важно приучать ученика использовать свой запас знаний при
дальнейшем обучении и не допускать пробелов. Очень важно вникать в
смысл нового материала, опираясь на ранее полученные знания и на
самостоятельно решенные задачи. Не на последнем месте в этом цепочка
логических выводов. Систематическая логическая тренировка на заданиях
приносит пользу. Школа и семья должны действовать совместно в
воспитании учащихся привычки и потребности к самостоятельному труду.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры. Задача почти
всегда – поиск, а средства её решения - интуиция и догадка, эрудиция и
владение методами математики.” Эти же качества человеческого ума
воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто часть своего
досуга отдает умственной гимнастике (решение головоломок, ребусов,
интересных задач и т.д.)
Один из основных видов внеклассной деятельности в школе –
математические кружки, которые способствуют развитию математического
кругозора, творческих способностей
учащихся, прививанию навыков
самостоятельной работы. На кружке не разбираются математические
вопросы, но значение кружка для успеваемости
очень велико, ведь он
помогает учащимся понять внутренние причины, мешающие им хорошо
учиться, ведь он их на начальном этапе развивает, повышает интерес к
предмету, учит активизации мыслительной деятельности, учит рассуждать,
искать истину, спорить, отстаивать свое мнение.
В работе математического кружка учащимися 5-6 классов обычно
много
внимания
уделяется
математическим
развлечениям,
которые
воздействуют на чувства и волю, помогают формировать устойчивый
интерес к предмету, к знаниям. А у нас – учителей ответственная миссия столкнуть детей с «преодолимой трудностью».
Задача №1. 40 учащихся писали контрольную работу, состоящую из
трех задач. Каждый ученик решил хотя бы одну задачу. 8 учеников не
справились с первой задачей, 16 – со второй, 19 – с третьей. Сколько
учащихся решило по одной, по две, по три задачи, если известно, что число
учащихся, выполнивших все задания, на 7 меньше числа учащихся,
решивших по две задачи.
Решение. Справились с первой задачей 32 человека, со второй – 24, с
третьей – 21. Так как все решили хотя бы по одной задаче, то 32+24+21-
40=37 задач решено в классе теми, кто решил по второй и по третьей задаче,
за исключением первых а=4
Пусть х человек решили по две задачи, тогда (х – 7) человек решили по
три задачи, отсюда найдем, сколько задач они решили, не считая одной
задачи, а + которую решили все. Таких задач решили x человек – x задач, а x7 человек 2*(x-7) задач, отсюда, x+2*(x -7)=37; x=17, 17 человек решили по
две задачи, 10 человек решили по 3 задачи, остальные 13 человек – по одной
задаче.
Уравнение можно было составить несколько по-другому: x человек решили
по две задачи, (x-7) человек по три задачи, остальные 40-(x-7)-x человек по
одной задаче, а всего задач было решено 40 + 37= 77, отсюда, 2x+3(x-7)+(40(x-7)-x)=77; x==17.
Задача №2. Если мой удвоенный возраст уменьшить на утроенный мой
возраст шесть лет назад, то получим мой возраст в настоящее время. Сколько
мне лет?
Решение. Пусть мне лет, тогда 2x-3*(x – 6)=x; отсюда x= 9. Мне сейчас
9 лет. Можно эту задачу решить и без уравнения, т.к. сой возраст – число,
большее 6 и делящееся на 3.
Для учащихся 7 классов.
Требуется указать, какой график может соответствовать данной ситуации.
ЗАДАНИЯ ПЕРВОГО ЭТАПА.
1. На голове человека растут волосы, которые тот регулярно стрижет,
когда они, достигнут, какай-то определённой длины (всегда одной и
той же). Покажите, какой график может соответствовать в зависимости
длины у определённого волоса от времени х, прошедшего после одной
из стрижек.
2. Конус погружают в воду вниз вершиной. Как зависит у – масса
вытесненной конусом воды – от величины х, выражающей глубину
погружения? Найдите в
3. Конус погружают в воду вниз основанием. Найдите в таблице 2
график, который может выражать зависимость у (масса вытесненной
воды) от х (глубина погружения).
4. У гражданина есть деньги, которые он тратит на покупки. Найдите в
таблице 2 график, соответствующий зависимости количества денег у,
которым располагает гражданин, от количества времени, потраченного
на покупки.
5. Яблоко растет, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит
х дней. Найдите в таблице 2 график, описывающий зависимость массы
яблока у от х.
6. Мяч подняли над полом и выпустили из рук. Как можно изобразить
зависимость величины у (высота мяча над полом) от времени х его
падения?
Таблица
Первая награда - удовольствие от систематических упражнений своей
находчивости, наблюдательности, логического мышления. Вторая награда –
радость раскрытия «секретов» загадочного содержания математических
головоломок.
Все трудные задачи программного материала можно разбить на три
группы.
1. рассматриваются на уроке со всеми учащимися;
2. в качестве необязательного задания задаются на дом;
3. решаются на занятиях кружка.
Конечно, такое разбиение зависит от уровня подготовки школьников, от
их интересов. Примеры задач для кружка.
Задача №1 (6 класс).
Два туриста, имея всего один велосипед должны за полтора часа пройти
маршрут длиной 12 км. Известно, что на велосипеде каждый из них может
развивать скорость 20км/ч, а пешком 5 км/ч. Смогут ли туристы пройти
маршрут без опоздания (на велосипеде одновременно два человека ехать не
могут)?
Задача №2 (8 класс).
В одном сосуде 49 литров воды, а в другом 56 литров. Если долить
первый сосуд доверху водой из второго сосуда, то второй сосуд окажется
наполненным только наполовину. Если же долить второй сосуд доверху
водой из первого сосуда, то первый окажется наполненным только на одну
треть. Узнайте емкость каждого сосуда.
Просто усложненные, решаемые при использовании дополнительной
литературы,
способные
учащиеся
по
отдельным
вопросам
готовят
выступления перед одноклассниками. Это своего рода публичный отчет.
Развивать у учащихся интерес к предмету, интерес к поиску и
исследованию математических закономерностей - задача каждого учителя.
Как показывает опыт, эффективным средством для выработки не только
логических рассуждений является варьирование задач на доказательство, как
замечено, что одна и та же математическая закономерность может быть
основой для довольно большого числа внешне различных задач на
доказательство. Пример таких задач.
1.Доказать, что сумма двух последовательных четных чисел не может
быть точным квадратом.
2. Доказать, что квадрат целого числа, увеличенный на 1 или на 2, не
делится на 4.
3.Доказать, что сумма квадратов двух или трех нечетных чисел не может
быть точным квадратом.
4.Доказать, что уравнение x2+y2=1234567, не имеет решений в целых
числах.
5.Доказать, что если в прямоугольном треугольнике длины всех сторон –
целые числа, то его катеты не могут одновременно выражаться нечетными
числами.
Итогом работы кружка являются математические олимпиады или
конкурсы по решению задач (математический чемпионат «Кенгуру»).
Следующий вид внеклассной деятельности в школе – факультатив или
элективные занятия. На них учащиеся должны иметь возможность научиться
решать более трудные и разнообразные задачи.
Цель
факультативных
(элективных)
занятий:
углубить
знания
учащихся, развивать их интерес к предмету, любознательность, смекалку,
повышать логическую культуру. Во внеклассной работе ребята имеют
возможность
проявить
себя,
свои
творческие
способности.
Исследовательская работа воздействует на них эмоционально, помогает
испытать радость творчества. Учитель имеет возможность проследить за
ходом мысли каждого и порадоваться со всеми - красотой находок некоторых
учеников. В этом ценность факультативных или элективных занятий.
1) 10-11 классы.
В треугольнике АВС угол В равен 1000. В этом треугольнике проведена
биссектриса угла С, пересекающая АВ в точке Е, а на стороне АС взята точка
Д так, что угол СВД равен 200.Доказать, что угол СЕД равен 100.
2) В учебниках чаще стали встречаться задачи с экономическим
содержанием.
1)
Самая
простая
функция,
встречающаяся
в
экономических
исследованиях – это функция y=ax + b- уравнение прямой.
Полные издержки производства на промышленном предприятии делятся на 2
части.
а) Переменные издержки, пропорциональные объему продукции.
Переменные издержки на единицу продукции обозначим а.
б)
Постоянные
издержки,
например,
затраты
на
содержание
административных зданий, сооружений, оборудования, оплата аренды,
кредитов и т.д. Обозначим их b
2) Издержки при перевозке сырья двумя средствами транспорта выражается
функциями
R1(x) = a1*x +b1
R2(x) = a2*x +b2,
Где х – расстояние в сотнях километров. Начиная, с какого расстояния,
становится более экономичным второе средство транспорта? Решение
проиллюстрируйте графически.
Варианты.
1. R1(x) = 20*x + 40; R2(x) = 10*x +100.
2. R1(x) = 25*x + 140;
R2(x) = 100*x +290.
3. R1(x) = 45*x + 180;
4. R1(x) = 40*x + 160;
R2(x) = 12*x +300.
3.При
решении
R2(x) = 10*x +390.
некоторых
задач
применяются
элементарные
трансцендентные уравнения.
а) Какой процент света проникает в глубь леса на 10 м., если в нем на
каждом квадратном метре растет одно дерево, а средний диаметр стволов на
уровне глаз равен 0,10м.?
б) Проволока в к раз длиннее ее поперечного сечения. Во сколько раз
нужно увеличить длину проволоки, сохранив величину его поперечного
сечения и диэлектрик, но что бы емкость не удвоилась?
Часто думают, что для занятий математикой необходимы особые
способности.
Математические способности нужны для тех, кто освятит свою жизнь
математике. Особенно ценно для всех развивать логическое мышление,
умение правильно, обоснованно и последовательно рассуждать. Способности
для специальных занятий математикой необходимы, но не достаточны.
Математический талант - это прежде всего напряженный, хорошо
организованный труд.
Из опыта работы видно, для того чтобы ученик сформировал свой
стиль учебного труда, нам – учителям, необходимо помочь ему над
обучением:
1) анализу возникшей ситуации;
2) умению ставить вопросы, следить за логикой изложения материала,
делать обобщения;
3) контролю за своими действиями;
4) приемам запоминания материала и воспроизведения, забытого;
5) общим методам решения задач.
И так постепенно у детей появляется желание решать задачи правильным
способом, успех же в поиске такого решения дает им возможность делать
маленькие открытия. И еще очень важно, что именно в школе ученик и
должен научится разумно распорядится своими способностями, а успешное
выполнение этой задачи зависит от нас – учителей.
Очень большую помощь на развитие математических способностей
учащихся, оказывает всесоюзная заочная математическая школа при МГУ.
Ею организованны успешные занятия, как с коллективом учеников, так и с
одним
ребенком
под
руководством
учителя
математики.
Подъем
математической культуры напрямую зависит от проведения олимпиад
разного уровня (школьная, республиканская, российская), к которым надо
серьезно готовиться, обдумывать трудные ситуации в заданиях. Для этого
желательно организовать занятия «Готовимся к олимпиаде», предварительно
подобрать задачи, позволяющие опять же учиться мыслить, рассуждать,
творить.
ГОТОВИМСЯ К ОЛИМПИАДЕ.
Математические игры.
Предполагается, что играют двое, ходы делают по очереди, причем
игроки не могут пропустить ход. Вопрос всегда один и тот же: кто побеждает
в данной игре – первый, т.е. тот, кто начинает игру, или второй?
Игры – шутки.
Исход игры не зависит от того как играют соперники, а зависит только
от начальных данных игры.
а) Двое по очереди ломают шоколадку размером м*н. За один ход
разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль
углубления (но только одного). Проигрывает тот, кто не может сделать
очередного хода.
б) На доске в строку написано р целых чисел. Игроки по очереди
расставляют между ними знаки плюс или минус. После того, как все места
заполнены, подсчитывают результат. Если он четен – выигрывает первый,
если нечетен – выигрывает второй игрок.
в) В мешке лежит 101 конфета, двое по очереди берут из мешка по
одной
до
десяти
конфет.
Когда
все
конфеты
разобраны,
игроки
подсчитывают взятое количество конфет. Если эти числа взаимно просты –
выигрывает первый игрок, в противном случае выигрывает второй.
Минимакс.
а) Лиса Алиса и кот Базилио делят 10 золотых монет по следующему
правилу. Сначала Базилио делит все золотые на две кучки, в каждой не менее
двух монет. Потом Алиса делит каждую из этих кучек еще на две кучки. Из
полученных четырех кучек наибольшая и наименьшая достается Алисе, а две
средние – Базилио. Кому, сколько достанется?
б) Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят торт
следующим образом. Малыш указывает на поверхности торта точку, а
Карлсон по прямой, проходящей через эту точку разрезает торт на два куска
и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить по больше. Где
Малыш должен поставить точку?
Сюжеты математических игр разнообразны.
Игры с алгебраическим и геометрическим содержанием.
а) Написано уравнение
x3 + …x2+ …x + ….= 0
без коэффициента.
Двое по очереди ставят коэффициенты (действительные числа). Второй
игрок стремится к тому, чтобы хоть один корень уравнения был целым.
Может ли первый ему в этом помочь?
б) В уравнение
x3+ ….x2+…x + ….=0
Двое по очереди ставят целые коэффициенты. Может ли первый игрок
добиться, чтобы все корни уравнения были целыми?
в) Двое при каждом ходе проводят по одной диагонали в правильном
100-угольнике так, чтобы они не пересекались. Кто победит?
Игры в камушки.
В куче 1997 камней, которые двое берут по очереди. Разрешается взять
1,10 или 11 камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто должен
победить?
Олимпиады не только развивают у учащихся способность к решению
нестандартных задач, но и прививают интерес к прикладной математике.
Мне кажется, главное вызвать интерес к предмету, а затем постоянно его
поддерживать, а пробудить его надо на базе самой математике.
Олимпиады
способствуют
укреплению
взаимопонимания
между
школьниками, играют роль своего рода научных конференций, помогают
ребятам расширить свой кругозор, дать возможность пообщаться друг с
другом, школьникам, которых объединил общий интерес и любовь к
математике.
Олимпиадные
задачи
всегда
красивы
и
интересны
с
математической точки зрения, формулировки – яркие, а решения по
возможности основано на оригинальных идеях. Математические олимпиады
издавна,
с
1933
года
(Тбилиси,
Грузия)
пользуются
заслуженной
популярностью.
Они
способствуют
развитию
устойчивого
интереса
учащихся к изучению математики.
1. Доказать, что для любого числа t выполняется неравенство
t4 – t +1/2>0
2. В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины
двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями
четырехугольника. Доказать, что диагонали равны.
3. В сенате 30 сенатов. Каждые два из них либо дружат, либо враждуют.
Каждый сенатор враждует ровно с шестью другими. Каждые три
сенатора образуют комиссию. Найти общее число таких комиссий, в
которых все три члена попарно дружат, либо все три попарно
враждуют.
4. а) существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 15
равных многоугольников, не являющихся прямоугольниками?
б) можно ли указанным образом разрезать квадрат?
В заключение хотелось бы отметить, что работа педагога с одаренными
детьми — это сложный и никогда не прекращающийся процесс. Он требует
от учителя личностного роста, хороших, постоянно обновляемых знаний в
области
психологии
одаренных
и
их
обучения,
а
также
тесного
сотрудничества с психологами, другими учителями, администрацией и
обязательно с родителями. Он требует постоянного роста мастерства
педагогической гибкости, умения отказаться оттого, что еще сегодня
казалось творческой находкой и сильной стороной.
Список литературы
1. Н.Х. Агаханов, Л.П. Купцов и др. Математическая олимпиада
школьников (9 класс): М. Просвещение 1997.
2. Б.Э. Кордемский, А.В. Хадов. Удивительный мир чисел: М.
Просвещение 1986.
3. Ф.Ф.
Нагибин,
Е.С.
Канин.
Математическая
шкатулка:
М.
классах:
М.
Просвещение, 2003.
4. И.С.
Петраков.
Математические
кружки
в
8-10
Просвещение 1987.
5. Занятие математического кружка в
VI классе. Методические
рекомендации: М. 1991.
6. Математика в школе. №3-1981, №5-1982, №4-1987, №1-1990, №5-1991,
№4-2001.
7. Ежедневная учебно-методическая газета «Математика» №11-2003.
8. Нестандартные уроки математики V-IX классы: М. Школьная пресса,
2004.