Математика Вариант 2-1 Математика Часть 2 Вариант № 2 При выполнении заданий 19 – 23 используйте бланк ответов № 2. Укажите сначала номер задания, а затем запишите его решение. Инструкция по выполнению работы Работа состоит из двух частей. В первой части 18 заданий, во второй – 5. На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут). Время на выполнение первой части ограничено – на нее отводится 90 минут; по истечении этого времени ответы на задания первой части работы сдаются. Первая часть работы включает 8 заданий с выбором одного верного ответа из четырёх предложенных и 10 заданий с кратким ответом, требующих написать ответ в виде числа, последовательности цифр или формулы. Ответы на эти задания укажите сначала на листках с заданиями экзаменационной работы, а затем перенесите в бланк № 1 . Для заданий с выбором ответа в бланке ответов № 1 справа от номера выполняемого задания поставьте знак « » в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного задания. Если требуется соотнести некоторые объекты (например, графики, обозначенные буквами А, Б, В, и формулы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4), то впишите в таблицу под каждой буквой соответствующую цифру и перенесите в бланк ответов № 1 получившуюся последовательность цифр. Для исправления ответов к заданиям с выбором ответа используйте поля бланка № 1 в области «Замена ошибочных ответов». В случае записи неверного краткого ответа зачеркните его и запишите рядом новый: Вариант 2-2 19 При каких y расстояние между точками A (4; y ) и B (9; 3) равно 13? 20 4 x 2 , Построить график функции y x 4, если x 0 . если x 0 С помощью графика решить неравенство y 0 . 21 Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а сумма первых 10 членов этой прогрессии равна 10. Найдите наименьший положительный член прогрессии. 22 При каких значениях параметра a произведение корней уравнения x 2 2ax 2a 2 4a 3 0 принимает наибольшее Все необходимые вычисления, преобразования и прочее выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нем можно проводить нужные линии, отмечать точки, выполнять дополнительные построения. Задания второй части выполняются на бланке № 2 с записью хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать его номер. Желаем успеха! значение ? В ответе запишите значения a и max . 23 На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг на 1 минуту быстрее второго и через полчаса обогнал его ровно на круг. На сколько процентов скорость первого велосипедиста больше скорости второго? Математика Вариант 2-3 Математика Вариант 2-4 Часть 1 1 1) 4,536 кг 2) 4536 10 3 кг В какое из нижеприведенных выражений можно преобразовать произведение 7 1 фунт равен 453,6 г. Как эта величина записывается в метрах? ( x 2 4) ( x 2) . 4) 4536 10 2 кг 3) 0,4536 кг 1) x 3 2 x 2 8 2 Из полной 3-литровой банки отлили 1 л молока. Сколько примерно процентов 3) x 3 2 x 8 молока осталось в банке? 1) 0,67% 3) 67 % 2) 0,33% Представьте выражение Числа x и y отмечены точками на числовой прямой. 0 1 x x , x y, x y y x 3) x y, , x y y x y, x . y Решите уравнение 9 x 2 6x 8 0. x4 Ответ: ______________ x , x y y x 4) x y, x y, y 2) x y, 1) 3b 2 9 2b 2 в виде суммы дробей. 3b Ответ: ___________________ y Расположите в порядке убывания числа x y, 4) ( x 2) 2 ( x 2) 4) 33 % 8 3 2) ( x 2) 2 ( x 2) 10 2 Парабола, изображенная на рисунке задается уравнением y x 3 x . Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите x x 3 2 при x 3 . 3 2 2 4 Найти значение выражения соответствующее ей утверждение. Ответ: __________ 5 6 Из формулы H gt 2 x 2 3x y 0 x y 5 1) Система имеет одно решение x 2 3x y 0 x 1 0 2) Система имеет два решения x 2 3 x y 0 y x 0 3) Система не имеет решений А) 2 выразите время t . Ответ: __________ Б) Какое из данных выражений нельзя преобразовать к виду 12500 ? В) 1) (10 5 ) 2 2 5 8 5 2) 55 2 2 3) 53 2 5 4) 53 10 2 А Ответ: Б В Математика 11 Вариант 2-5 Математика 16 Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали Вариант 2-6 . На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура квадраты со стороной 5 см. Пусть x см - длина меньшей стороны листа двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут картона. Требуется найти размеры листа картона, если объём коробки равен двигатель нагревался до температуры . 5 дм 3 . Какое уравнение соответствует условию задачи? 12 1) 2 x 10 x 10 5 50 2) 2 x 10 x 10 5 5000 3) 2 x 5x 5 5 5000 4) 10 x 2 75 x 125 50 Из геометрических прогрессий, заданных формулой общего члена, выберите ту, для которой выполняется условие b4 2 . 3 2 n 1) bn 2 2n 2) bn 3 n2 3) bn 3n 2n 2 3 n 4) bn 27 Ответ: _____________ 13 3 2 x 5 (1 x) 4 Решите систему неравенств: 3 2 ( x 1) x 5 17 Ответ: _______________________ 14 Парабола задана уравнением y 3 Одновременно бросают 2 кости. С какой вероятностью сумма очков на верхних гранях будет равна 7 ? Ответ: _____________ 1 ( x 1)2 . 2 Найдите координаты вершины параболы. Ответ: ______________ Записан возраст (в годах) преподавателей кафедры: 24, 25, 25, 27, 42, 45, 48, 49, 50, 52, 53. На сколько лет отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Какая из данных прямых не пересекает график функции y x 1 ? Ответ: _____________ 18 15 1) y 4 2) y x 2 3) y x 4) y x 1 Математика Вариант 2-7 Математика Ответы к заданиям части 1 Номер задания Правильный ответ 1 2 3 4 5 3 3 2 -2,5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2H g 19 Вариант 2-8 При каких y расстояние между точками A (4; y ) и B (9; 3) равно 13? //Ответ: -15; 9. //Решение. Запишем уравнение для квадрата расстояния между точками. Получим: 25 ( y 3) 2 169 3 2 b 3 3 b -2 3, 1, 2 2 2 2 x4 1; 3 Баллы 2 1 0 20 2 8 1 6 y 3 12 y 3 12 x 15 x 9 . Критерии оценки выполнения задания Ход решения верный, оба его шага выполнены. Получен верный ответ. Ход решения верный, но получен один из двух верный ответ. Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 4 x 2 , x 4, если x 0 . если x 0 Построить график функции y С помощью графика решить неравенство y 0. //Ответ: x [4; 2] . На 5 лет //Решение. 4 3 2 1 Решения и критерии оценивания к заданиям части 2 Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Если решение ученика удовлетворяет этим требованиям, то ему выставляется полный балл, которым оценивается это задание: № 19 – 2 балла, №20 и 21 – 3 балла, № 22 и 23 – 4 балла. Если в решении допущена описка или ошибка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. -4 Баллы 3 2 0 -2 2 4 Критерии оценки выполнения задания График построен верно. Неравенство решено верно (графически или аналитически) График построен верно. При решении неравенства допущена ошибка или описка, в результате чего получен неверный ответ. Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. Математика 21 Вариант 2-9 Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а сумма первых 10 членов этой прогрессии равна 10. Найдите наименьший Математика Вариант 2-10 убывает на отрезке [3; 1] , следовательно, достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка при a 3 . Тогда max ( 3) 9 . положительный член прогрессии. Баллы 4 //Ответ: 0,6. //Решение. Составим систему, соответствующую условиям задачи. Получим: 2a 19 d S 1 20 100 20 2 S 2a1 9d 10 10 10 2 2a1 19 d 10 2a1 9d 2 d 0,8 . a1 2,6 Выпишем формулу общего члена an a1 d (n 1) 2,6 0,8(n 1) 0,8n 3,4 17 n 5 . Таким 4 образом, первый положительный член есть a5 2,6 4 0, 8 0, 6 . и решим неравенство a n 0 , т.е. 0,8 n 3,4 0 Баллы 3 2 0 n Критерии оценки выполнения задания Ход решения верный, все его шаги выполнены. Получен верный ответ. Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка и ответ отличается от правильного. Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 3 0 23 Критерии оценки выполнения задания Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно. Получен верный ответ. Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна вычислительная ошибка или описка, и ответ отличается от правильного. Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг на 1 минуту быстрее второго и через полчаса обогнал его ровно на круг. На сколько процентов скорость первого велосипедиста больше скорости второго? //Ответ: на 20%. //Решение. Пусть L (м) - длина кольцевой трассы, v1 ( м / мин ) - скорость первого велосипедиста, v 2 ( м / мин ) - скорость второго велосипедиста. Тогда за полчаса первый велосипедист пройдет путь 30 v1 ( м ) , а второй 30v 2 ( м) . 22 При каких значениях параметра a произведение корней уравнения x 2 2ax 2a 2 4a 3 0 принимает наибольшее значение ? В ответе запишите значения a и max . //Ответ: a 3 ; max 9 . //Решение. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен, т.е. D a 2 2a 2 4a 3 (a 2 4a 3) 0 a [3; 1] . 4 Пусть x1 и x 2 - корни уравнения. Согласно теореме Виета произведение корней x1 x 2 2a 2 4a 3 . Функция 2a 2 4a 3 2a 12 1 монотонно Разность этих путей равна длине трассы L . L 30v1 30v 2 . Первый L , а второй – за время v1 L L L . Разность времен составляет 1 минуту, т.е. t 2 ( мин) 1. v2 v 2 v1 30v1 30v 2 30v1 30v2 Подставляя значение L , получим уравнение: 1. v2 v1 велосипедист проходит 1 круг за время t1 ( мин) Произведя почленное деление в левой части равенства, получим уравнение: Математика Вариант 2-11 30v1 30v2 v 60 1 . Обозначив отношение скоростей 1 k , придем к v2 v1 v2 равнению 30k 61 находим k1 30 0 или 30k 2 61k 30 0 . Решая это уравнение, k 5 6 , k 2 . Поскольку скорость первого велосипедиста больше 6 5 v 6 скорости второго, то k 1 и мы выбираем значение k 1 . Нам нужно найти, v2 5 на сколько процентов скорость первого велосипедиста больше скорости второго, поэтому разность скоростей надо поделить на скорость второго и умножить на 100%. v1 6 v2 5 v1 v2 1 v2 5 v1 v2 1 v2 5 1 100 % 20 % . 5 Таким образом, скорость второго лыжника на 20% меньше скорости первого. Баллы 4 3 0 Критерии оценки выполнения задания Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно. Получен верный ответ. Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна ошибка в вычислениях или в преобразованиях, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены правильно. Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.