Построение и исследование информационных моделей Построение формальной модели движения тела, брошенного под углом к горизонту Рассмотрим процесс построения и исследования модели на конкретном примере движения тела, брошенного под углом к горизонту. Содержательная постановка задачи «Бросание мячика в стенку». В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в стенку определенной высоты, находящуюся на известном расстоянии. Описательная модель. Сначала построим описательную модель процесса движения тела с использованием объектов, понятий и законов физики, т. е. в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные допущения: • мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой; • изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с , следовательно, движение по оси y можно считать равноускоренным; • скорость бросания мячика мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно, движение по оси X можно считать равномерным. Формальная модель. Для формализации модели обозначим величины: • • • • начальную скорость мячика – V0 , угол бросания мячика – ; высоту стенки – h; расстояние до стенки – S. Используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения для определения координат мячика. Дальность х и высоту у при заданной начальной скорости V и угле бросания для любого момента времени t можно вычислить по формулам: x v0 * cos * t y v0 * sin * t g * t 2 / 2 t s / v0 * cos l s * tg g * s 2 * v0 * cos 2 0l h Формализуем теперь условие попадание мячика в ми шень. Попадание произойдет, если значение высоты мячика / будет удовлетворять условию в форме неравенства: Если L < О, то это означает «недолет», а если l > h, то это означает «перелет». Проект «Бросание мячика в стенку» в электронных таблицах Построение траектории движения мячика Для ввода начальной скорости бросания мячика Vo будем использовать ячейку В1, а для ввода угла бросания — ячейку В2. Введем в ячейки А5:А18 значения времени t с интервалом в 0,2 с и вычислим по формулам значения координат тела х и у для заданных значений времени. В электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются в радианах, поэтому необходимо преобразовать значений углов из градусов в радианы с помощью функции 1 РАДИАНЫ(). 1. Ввести: • в ячейку В5 формулу: =$В$1*СОS(РАДИАНЫ($В$2))*А5; • в ячейку С5 формулу: =$В$1*SIN(РАДИАНЫ($В$2))*А5-4,9*А5*А5 2. Скопировать введенные формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно. Получим в столбце В значения координаты мячика по оси X, а в столбце С – координаты мячика по оси У, вычисленные для определенных моментов времени. Визуализируем модель, построив график зависимости координаты у от координаты х (траекторию движения тела). Для построения траектории движения мячика используем диаграмму типа График. 3. При построении графика в качестве категорий использовать диапазон ячеек В5:В18, а в качестве значений – диапазон ячеек С5:С18. Компьютерный эксперимент. Исследуем модель и определим с заданной точностью (например, 0,1°) диапазон углов бросания, которые обеспечивают попадание мячика в стенку. В качестве начальных условий бросания мячика выберем, например, следующие: скорость бросания v0 – 18 м/с, высота стенки h = 1 м, расстояние до стенки S = 30 м. 4. Ввести : • в ячейку В21 – значение расстояния до стенки; • в ячейку В22 – значение начальной скорости; • в ячейку В23 – значение угла; • в ячейку В25 – формулу для вычисления высоты мячика в момент попадания в стенку для заданных начальных условий: =В21*ТАN(РАДИАНЫ(В23))-(9,81*В21*В21)/(2*В22^2*СОS(РАДИАНЫ(В23)) *СОS(РАДИАНЫ(В23))) Для заданных начальных условий (скорости бросания и расстояния до стенки) проведем поиск углов, которые дают попадание в стенку на высотах 0 и 1 м. Используем для этого метод Подбор параметра. Методом Подбор параметра будем сначала искать значение угла бросания, которое обеспечит попадание мячика в стенку на минимальной высоте О метров. В данном случае значение функции (высота мячика при попадании в стенку) хранится в ячейке В25, а значение аргумента (угла бросания) – в ячейке В23. Значит, необходимо установить в ячейке В25 значение 0 и методом Подбор параметра найти соответствующее значение аргумента в ячейке В23. 5. Выделить ячейку В25, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Сервис-Подбор параметра...]. 6. В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в стенку (т. е. 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$23, содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК. В ячейке В23 появится значение 32,6, т. е. минимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях. Методом Подбор параметра найдем теперь угол бросания, который обеспечит попадание мячика в стенку на максимальной высоте 1 метр. 7. Выделить ячейку В25, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Сервис – Подбор параметра...]. 8. В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наибольшую высоту попадания в стенку (т. е. 1). 9. В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$23, содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК. В ячейке В23 появится значение 36,1, т. е. максимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях. Анализ результатов. Таким образом, исследование компьютерной модели в электронных таблицах показало, что существует диапазон значений угла бросания мячика от 32,6° до 36,1°, при котором обеспечивается попадание в стенку высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с. 2